[조건 수식 확인]: \(a > 1\) , \(y = a^x\) , \(y = \log_a x\) , \(y = x\) , \(-1\) , \(y = -x + k\) , \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\) , \(x_2 = y_1,\; y_2 = x_1\) , \(f(x) = 3^{x-2} + 1\) , \(x_1 < x_2\) , \(f(x)\) , \(g(x)\) , \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\) , \(\mathrm{PQ}\) , \(\mathrm{H}\) , \(S_{\mathrm{OPQ}}\) , \(m \in \{1, 2, 3, 4\}\) , \(y\) , \(c_m\) , \(\displaystyle\sum_{m=1}^{4} c_m\)

[단계 A [원리 선언] — 문항 1-1 해설]: \(y = 3^{x-2} + 1\)에서 \(3^{x-2} = y - 1 \implies x - 2 = \log_3(y - 1)\)이므로 \(x, y\)를 바꾸면 \(g(x) = \log_3(x-1) + 2\)가 되어 역함수이다. \(f(4) = 3^2 + 1 = 10\)이고 \(4 + 10 = 14\)이므로 \(\mathrm{P}(4, 10),\; \mathrm{Q}(10, 4)\)이며 \(\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = 6\sqrt{2}\)이다.

[단계 B [수식 전개] — 문항 1-2 해설]: 대칭성에 의해 원점 \(\mathrm{O}(0,0)\)에서 직선 \(y = -x + 14\)에 내린 수선의 발은 \(\mathrm{H}(7, 7)\)이고 \(\overline{\mathrm{OH}} = 7\sqrt{2}\)이다. 따라서 삼각형 \(\mathrm{OPQ}\)의 넓이는 \(S_{\mathrm{OPQ}} = \dfrac{1}{2} \times 6\sqrt{2} \times 7\sqrt{2} = 42\)이다.

[단계 C [결론 도출] — 문항 1-3 해설]: \(f(1) = \dfrac{4}{3},\; f(2) = 2,\; f(3) = 4,\; f(4) = 10\)이므로 조건 \(1 \le y \le f(m)\)을 만족하는 정수 개수는 \(c_1 = 1,\; c_2 = 2,\; c_3 = 4,\; c_4 = 10\)이다. 합은 \(\displaystyle\sum_{m=1}^{4} c_m = 1 + 2 + 4 + 10 = 17\)이다.

[조건 수식 확인]: \(\mathrm{ABCD}\) , \(\pi\) , \(\cos C = -\cos A,\; \sin C = \sin A\) , \(\mathrm{ABD}\) , \(\overline{\mathrm{BD}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AD}}^2 - 2\,\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AD}}\cos A\) , \(\overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{BC}} = 2,\; \overline{\mathrm{CD}} = 3,\; \overline{\mathrm{DA}} = 5\) , \(\mathrm{CBD}\) , \(\cos A\) , \(R\) , \(S\) , \(\mathrm{A}, \mathrm{C}\) , \(\mathrm{BD}\) , \(\mathrm{E}, \mathrm{F}\) , \(\dfrac{\overline{\mathrm{AE}}}{\overline{\mathrm{CF}}}\)

[단계 A [원리 선언] — 문항 2-1 해설]: \(\triangle\mathrm{ABD}\)에서 \(\overline{\mathrm{BD}}^2 = 3^2 + 5^2 - 2\cdot 3\cdot 5\cos A = 34 - 30\cos A\)이고, \(\triangle\mathrm{CBD}\)에서 \(\cos C = -\cos A\)이므로 \(\overline{\mathrm{BD}}^2 = 2^2 + 3^2 + 2\cdot 2\cdot 3\cos A = 13 + 12\cos A\)이다. \(34 - 30\cos A = 13 + 12\cos A\)에서 \(42\cos A = 21 \implies \cos A = \dfrac{1}{2}\)이고 \(\overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{19}\)이다.

[단계 B [수식 전개] — 문항 2-2 해설]: \(\sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)이므로 사인법칙에서 \(R = \dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{2\sin A} = \dfrac{\sqrt{19}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{57}}{3}\)이다. 사각형 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}(3\cdot 5 + 2\cdot 3)\sin A = \dfrac{21\sqrt{3}}{4}\)이다.

[단계 C [결론 도출] — 문항 2-3 해설]: 두 삼각형 \(\mathrm{ABD}, \mathrm{CBD}\)는 밑변 \(\overline{\mathrm{BD}}\)를 공유하므로 높이의 비는 넓이의 비와 같다. 따라서 \(\dfrac{\overline{\mathrm{AE}}}{\overline{\mathrm{CF}}} = \dfrac{\triangle\mathrm{ABD}}{\triangle\mathrm{CBD}} = \dfrac{15}{6} = \dfrac{5}{2}\)이다.

[조건 수식 확인]: \(p(x)\) , \(x = \alpha\) , \(p'(\alpha) = 0\) , \(p'(x)\) , \(y = p(x)\) , \(\displaystyle\int_a^b |p(x)|\,dx\) , \(p(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\) , \(p(x) = 0\) , \(\mathrm{M}(a, p(a))\) , \(y = L(x)\) , \(A\)

[단계 A [원리 선언] — 문항 3-1 해설]: \(p'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3) = 0\)에서 \(x=1\)일 때 극댓값 \(p(1) = 4\), \(x=3\)일 때 극솟값 \(p(3) = 0\)이다. 또한 \(p(x) = x(x-3)^2 = 0\)의 실근은 \(x = 0, 3\)이다.

[단계 B [수식 전개] — 문항 3-2 해설]: \(p'(x) = 3(x-2)^2 - 3\)은 \(x = 2\)에서 최솟값 \(-3\)을 가지며 \(\mathrm{M}(2, 2)\)이다. 접선은 \(y - 2 = -3(x - 2)\), 즉 \(y = -3x + 8\)이므로 \(x\)절편은 \(\dfrac{8}{3}\), \(y\)절편은 \(8\)이다.

[단계 C [결론 도출] — 문항 3-3 해설]: 구간 \([0, 3]\)에서 \(p(x) = x(x-3)^2 \ge 0\)이므로 넓이는 \(A = \displaystyle\int_0^3 (x^3 - 6x^2 + 9x)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - 2x^3 + \dfrac{9}{2}x^2\right]_0^3 = \dfrac{81}{4} - 54 + \dfrac{81}{2} = \dfrac{27}{4}\)이다.

[조건 수식 확인]: \(\mathrm{P}\) , \(t\) , \(v(t)\) , \(t=0\) , \(x_0\) , \(x(t) = x_0 + \displaystyle\int_0^t v(s)\,ds\) , \(t = a\) , \(t = b\) , \(D\) , \(D = \displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt\) , \(t \ge 0\) , \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\) , \(t_1, t_2\) , \(t_1 < t_2\) , \(x(t_1), x(t_2)\) , \(t = 4\) , \(\Delta x\) , \(a(4)\)

[단계 A [원리 선언] — 문항 4-1 해설]: \(v(t) = 3(t-1)(t-3) = 0\)에서 운동 방향 전환 시각은 \(t_1 = 1,\; t_2 = 3\)이다. \(x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\)이므로 \(x(1) = 4,\; x(3) = 0\)이다.

[단계 B [수식 전개] — 문항 4-2 해설]: 위치의 변화량은 \(\Delta x = x(4) - x(0) = 64 - 96 + 36 = 4\)이고, 가속도 \(a(t) = v'(t) = 6t - 12\)에서 \(a(4) = 12\)이다.

[단계 C [결론 도출] — 문항 4-3 해설]: 구간별 이동거리는 \(D = \displaystyle\int_0^1 v(t)\,dt - \int_1^3 v(t)\,dt + \int_3^4 v(t)\,dt = (4 - 0) + (4 - 0) + (4 - 0) = 12\)이다.

[조건 수식 확인]: \(y^2 = 4px\) , \(p > 0\) , \(\mathrm{P}(x_0, y_0)\) , \(\mathrm{F}(p, 0)\) , \(x = -p\) , \(x_0 + p\) , \(y_0 y = 2p(x + x_0)\) , \(\mathrm{F}\) , \(y^2 = 12x\) , \(\mathrm{P}(3, y_0)\) , \(\mathrm{Q}\) , \(\mathrm{P}\) , \(\mathrm{H}\) , \(y_0\) , \(\mathrm{PF}\) , \(\overline{\mathrm{QF}} = \overline{\mathrm{PF}}\) , \(\mathrm{FPQ}\) , \(S_{\mathrm{FPQ}}\)

[단계 A [원리 선언] — 문항 5-1 해설]: \(4p = 12\)에서 \(p = 3\)이므로 \(\mathrm{F}(3, 0)\), 준선은 \(x = -3\)이다. \(y_0^2 = 36\) (\(y_0 > 0\))에서 \(y_0 = 6\)이고, 포물선 정의에 의해 \(\overline{\mathrm{PF}} = 3 + 3 = 6\)이다.

[단계 B [수식 전개] — 문항 5-2 해설]: 접선 \(l\)은 \(6y = 6(x + 3) \implies y = x + 3\)이므로 \(\mathrm{Q}(-3, 0)\)이다. 따라서 \(\overline{\mathrm{QF}} = 3 - (-3) = 6 = \overline{\mathrm{PF}}\)가 성립한다.

[단계 C [결론 도출] — 문항 5-3 해설]: 수선의 발 \(\mathrm{H}(-3, 6)\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{PH}} = 6,\; \overline{\mathrm{HQ}} = 6,\; \overline{\mathrm{QF}} = 6,\; \overline{\mathrm{FP}} = 6\)이므로 사각형 \(\mathrm{PFQH}\)는 한 변이 \(6\)인 정사각형(마름모)이고 둘레는 \(24\)이다. \(\triangle\mathrm{FPQ}\)의 넓이는 \(S_{\mathrm{FPQ}} = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18\)이다.