🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅵ (해석·기하 통합 논증) | 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 탐구 3061 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]
[제시문 (가)] 밑이 \(a > 1\)인 지수함수 \(y = a^x\)와 로그함수 \(y = \log_a x\)의 그래프는 직선 \(y = x\)에 대하여 서로 대칭이다.
[제시문 (나)] 기울기가 \(-1\)인 직선 \(y = -x + k\)가 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\)는 \(x_2 = y_1,\; y_2 = x_1\)을 만족한다.
좌표평면에서 곡선 \(f(x) = 3^{x-2} + 1\)과 곡선 \(g(x) = \log_3(x-1) + 2\)가 직선 \(y = -x + 14\)와 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\) (\(x_1 < x_2\))라 하자. 다음 물음에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 서로 역함수 관계임을 증명하고, 교점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)의 좌표와 선분 \(\mathrm{PQ}\)의 길이를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 원점 \(\mathrm{O}(0,0)\)에서 직선 \(\mathrm{PQ}\)에 내린 수선의 발 \(\mathrm{H}\)의 좌표와 삼각형 \(\mathrm{OPQ}\)의 넓이 \(S_{\mathrm{OPQ}}\)를 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 자연수 \(m \in \{1, 2, 3, 4\}\)에 대하여 부등식 \(1 \le y \le f(m)\)을 만족시키는 정수 \(y\)의 개수를 \(c_m\)이라 할 때, \(\displaystyle\sum_{m=1}^{4} c_m\)의 값을 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제6회 문항 1 답안 작성란 (20점)]
• [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점): 소문항별 핵심 정리와 계산 근거를 논리적 순서에 따라 기술하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅵ (해석·기하 통합 논증) | 대수 Ⅱ. 삼각함수
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.36 탐구 3062 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
[제시문 (가)] 원에 내접하는 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 마주 보는 두 내각의 합은 \(\pi\)이므로 \(\cos C = -\cos A,\; \sin C = \sin A\)가 성립한다.
[제시문 (나)] 삼각형 \(\mathrm{ABD}\)에서 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BD}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AD}}^2 - 2\,\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AD}}\cos A\)가 성립한다.
원에 내접하는 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 네 변의 길이가 \(\overline{\mathrm{AB}} = 3,\; \overline{\mathrm{BC}} = 2,\; \overline{\mathrm{CD}} = 3,\; \overline{\mathrm{DA}} = 5\)일 때, 제시문 (가), (나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 두 삼각형 \(\mathrm{ABD}\)와 \(\mathrm{CBD}\)에서 코사인법칙을 적용하여 \(\cos A\)의 값과 대각선 \(\overline{\mathrm{BD}}\)의 길이를 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)가 내접하는 원의 반지름 \(R\)와 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이 \(S\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 꼭짓점 \(\mathrm{A}, \mathrm{C}\)에서 대각선 \(\mathrm{BD}\)에 내린 수선의 발을 각각 \(\mathrm{E}, \mathrm{F}\)라 할 때, 선분 길이의 비 \(\dfrac{\overline{\mathrm{AE}}}{\overline{\mathrm{CF}}}\)를 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제6회 문항 2 답안 작성란 (20점)]
• [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점): 소문항별 핵심 정리와 계산 근거를 논리적 순서에 따라 기술하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅵ (해석·기하 통합 논증) | 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.30 탐구 3063 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-05]
[제시문 (가)] 미분가능한 함수 \(p(x)\)가 \(x = \alpha\)에서 극값을 가지면 \(p'(\alpha) = 0\)이고, 그 좌우에서 \(p'(x)\)의 부호가 바뀐다.
[제시문 (나)] 곡선 \(y = p(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 영역의 넓이는 \(\displaystyle\int_a^b |p(x)|\,dx\)로 구한다.
실수 전체에서 정의된 삼차함수 \(p(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\)에 대하여 제시문 (가), (나)를 바탕으로 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 함수 \(p(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하고, 방정식 \(p(x) = 0\)의 모든 실근을 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 도함수 \(p'(x)\)가 최솟값을 갖는 점 \(\mathrm{M}(a, p(a))\)에서의 접선의 방정식 \(y = L(x)\)를 구하고, 이 접선의 \(x\)절편과 \(y\)절편을 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 구간 \([0, 3]\)에서 곡선 \(y = p(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(A\)를 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제6회 문항 3 답안 작성란 (20점)]
• [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점): 소문항별 핵심 정리와 계산 근거를 논리적 순서에 따라 기술하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅵ (해석·기하 통합 논증) | 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.34 탐구 3064 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-06]
[제시문 (가)] 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\)에서의 속도가 \(v(t)\)이고 시각 \(t=0\)에서의 위치가 \(x_0\)일 때, 시각 \(t\)에서의 위치는 \(x(t) = x_0 + \displaystyle\int_0^t v(s)\,ds\)이다.
[제시문 (나)] 시각 \(t = a\)에서 \(t = b\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리 \(D\)는 \(D = \displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt\)이다.
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t \ge 0\)에서의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)일 때, 제시문 (가), (나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 점 \(\mathrm{P}\)가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각 \(t_1, t_2\) (\(t_1 < t_2\))와 그 시각에서의 위치 \(x(t_1), x(t_2)\)를 각각 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 시각 \(t = 0\)부터 \(t = 4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)의 위치의 변화량 \(\Delta x\)와 시각 \(t = 4\)에서의 가속도 \(a(4)\)를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 시각 \(t = 0\)부터 \(t = 4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 총 거리 \(D\)를 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제6회 문항 4 답안 작성란 (20점)]
• [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점): 소문항별 핵심 정리와 계산 근거를 논리적 순서에 따라 기술하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅵ (해석·기하 통합 논증) | 기하 Ⅰ. 이차곡선
[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.15 탐구 3065 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
[제시문 (가)] 포물선 \(y^2 = 4px\) (\(p > 0\)) 위의 점 \(\mathrm{P}(x_0, y_0)\)에서 초점 \(\mathrm{F}(p, 0)\)까지의 거리는 준선 \(x = -p\)까지의 거리 \(x_0 + p\)와 같다.
[제시문 (나)] 포물선 \(y^2 = 4px\) 위의 점 \(\mathrm{P}(x_0, y_0)\)에서의 접선의 방정식은 \(y_0 y = 2p(x + x_0)\)이다.
초점이 \(\mathrm{F}\)인 포물선 \(y^2 = 12x\) 위의 제1사분면의 점 \(\mathrm{P}(3, y_0)\)에서의 접선 \(l\)이 \(x\)축과 만나는 점을 \(\mathrm{Q}\), 점 \(\mathrm{P}\)에서 준선에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{H}\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 초점 \(\mathrm{F}\)의 좌표와 \(y_0\)의 값을 구하고, 선분 \(\mathrm{PF}\)의 길이를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 접선 \(l\)의 방정식과 점 \(\mathrm{Q}\)의 좌표를 구하고, \(\overline{\mathrm{QF}} = \overline{\mathrm{PF}}\)가 성립함을 보이시오.
[문항 5-3] (7점) 사각형 \(\mathrm{PFQH}\)의 둘레의 길이와 삼각형 \(\mathrm{FPQ}\)의 넓이 \(S_{\mathrm{FPQ}}\)를 각각 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제6회 문항 5 답안 작성란 (20점)]
• [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점): 소문항별 핵심 정리와 계산 근거를 논리적 순서에 따라 기술하시오.