2027학년도 경희대학교 자연계열 모의고사 5회 문제집

쪽수	회차 (난이도)	논제 번호	출제 과목	핵심 수학 개념 (공통수학 · 수Ⅰ · 수Ⅱ · 미적분 · 확통 · 기하)	배점 (권장시간)
p. 2	제5회 (최고난도)	자연계열 [논제 Ⅰ]	공통수학 · 미적분 · 기하	유리함수 곡선의 할선과 절편 삼각형의 넓이, 두 점 사이의 거리 제약조건, 함수의 극한과 점근적 거동	30점 (35분)
p. 3	제5회 (최고난도)	자연계열 [논제 Ⅱ]	수학Ⅰ · 미적분	이등변삼각형에 내접하는 무한 원 수열과 등비급수, 삼각함수의 극한과 양 끝 경계 점근 분석	33점 (40분)
p. 4	제5회 (최고난도)	자연계열 [논제 Ⅲ]	기하 · 미적분	공간벡터의 내적과 구의 대원(Great Circle), 정사영 타원의 넓이, 회전 궤적이 휩쓰는 원환 영역의 넓이	37점 (45분)

2027학년도 경희대학교 자연계열 실전모의고사 제5회 — [문항 1] 논제 Ⅰ (30점)

제5회 모의논술 (최고난도 변별 (난이도 ★★★★★)) · 공통수학 · 미적분 · 기하 · 배점 30점 (권장 35분)

모집계열 자연계열 (제5회 논제 Ⅰ) 출제과목 공통수학 · 미적분 · 기하 핵심개념 유리함수 곡선의 할선과 절편 삼각형의 넓이, 두 점 사이의 거리 제약조건, 함수의 극한과 점근적 거동 배점 (1) 14점 + (2) 16점 = 30점

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.16 탐구 3051 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-03-05]

제시문

[가] 두 점을 지나는 직선의 방정식과 극한의 성질: 좌표평면 위의 서로 다른 두 점 $(x_1, y_1),\ (x_2, y_2)$를 지나는 직선의 방정식은 $y - y_1 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$이다.

$곡선 $y = \frac{2}{x}$ 위의 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$를 지나는 직선과 삼각형 $\mathrm{OPQ}$$

곡선 $y = \frac{2}{x}$ 위의 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$를 지나는 직선과 삼각형 $\mathrm{OPQ}$

[논제 Ⅰ] [배점 30점] 오른쪽 그림과 같이 곡선 $y = \dfrac{2}{x}\ (x > 0)$ 위의 서로 다른 두 점 $\mathrm{A}\!\left(a, \dfrac{2}{a}\right),\ \mathrm{B}\!\left(b, \dfrac{2}{b}\right)\ (a > b > 0)$를 지나는 직선 $\mathrm{AB}$가 $y$축, $x$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$라 하고, 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이를 $S$라 하자. 제시문 [가]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이 $S$와 선분 $\mathrm{AB}$의 길이 $\overline{\mathrm{AB}}$를 각각 $a,\ b$에 대한 식으로 나타내시오. 또한 $a = 2$로 고정되어 있고 $\overline{\mathrm{AB}} = \dfrac{1}{n}$을 만족하도록 점 $\mathrm{B}$를 잡을 때, 극한값 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} n^2(S - 4)$를 구하시오. 14점

(2) 두 점 $\mathrm{A},\ \mathrm{B}$ 사이의 거리가 $\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{5}$로 일정하게 유지되면서 $a \to \infty$일 때, 넓이 $S = S(a)$의 극한값 $\displaystyle\lim_{a\to\infty} S(a)$와 $\displaystyle\lim_{a\to\infty} a^2\big(S(a) - 4\big)$의 값을 각각 구하고 그 근거를 논술하시오. 16점

✏️ [제5회 모의 논제 Ⅰ] 답안 작성란 — 소문항 (1) (14점), 소문항 (2) (16점)의 수리적 논거와 단계별 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.

2027학년도 경희대학교 자연계열 실전모의고사 제5회 — [문항 2] 논제 Ⅱ (33점)

제5회 모의논술 (최고난도 변별 (난이도 ★★★★★)) · 수학Ⅰ · 미적분 · 배점 33점 (권장 40분)

모집계열 자연계열 (제5회 논제 Ⅱ) 출제과목 수학Ⅰ · 미적분 핵심개념 이등변삼각형에 내접하는 무한 원 수열과 등비급수, 삼각함수의 극한과 양 끝 경계 점근 분석 배점 (1) 16점 + (2) 17점 = 33점

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 탐구 3052 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12미적Ⅱ-02-01]

제시문

[나] 등비급수의 합과 삼각함수의 극한: 첫째항이 $a$이고 공비가 $r\ (|r| < 1)$인 등비급수의 합은 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1 - r}$이며, 삼각함수의 기본 극한은 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$이다.

$이등변삼각형 $\mathrm{ABC}$ 내부에 외접하며 수렴하는 원 수열 $O_1, O_2, \dots$$

이등변삼각형 $\mathrm{ABC}$ 내부에 외접하며 수렴하는 원 수열 $O_1, O_2, \dots$

[논제 Ⅱ] [배점 33점] 오른쪽 그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}}$이고 $\angle\mathrm{ABC} = \angle\mathrm{ACB} = \theta\ \left(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\right)$인 이등변삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내접원을 $O_1$이라 할 때, 원 $O_1$의 반지름의 길이는 $r_1 = 1$이다. 이제 자연수 $n\ (n \ge 1)$에 대하여 두 변 $\mathrm{AB},\ \mathrm{AC}$에 동시에 접하고 원 $O_n$에 외접하면서 꼭짓점 $\mathrm{A}$ 쪽에 놓이는 원을 $O_{n+1}$이라 하고, 원 $O_n$의 반지름의 길이를 $r_n$이라 하자. 제시문 [나]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 등비수열 $\{r_n\}$의 공비 $R(\theta) = \dfrac{r_{n+1}}{r_n}$를 $\cos\theta$에 대한 식으로 나타내고, 모든 원 $O_n\ (n = 1, 2, 3, \dots)$의 넓이의 총합을 $S(\theta)$라 할 때 $S(\theta)$의 식과 극한값 $\displaystyle\lim_{\theta\to (\pi/2)^-}(\cos\theta)S(\theta)$를 구하시오. 16점

(2) 이등변삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 $T(\theta)$라 할 때, $T(\theta)$를 $\sin\theta$와 $\cos\theta$에 대한 식으로 나타내고 두 극한값 $\displaystyle\lim_{\theta\to 0^+}\theta\,T(\theta)$와 $\displaystyle\lim_{\theta\to (\pi/2)^-}\frac{S(\theta)}{T(\theta)}$를 각각 구하시오. 17점

✏️ [제5회 모의 논제 Ⅱ] 답안 작성란 — 소문항 (1) (16점), 소문항 (2) (17점)의 수리적 논거와 단계별 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.

2027학년도 경희대학교 자연계열 실전모의고사 제5회 — [문항 3] 논제 Ⅲ (37점)

제5회 모의논술 (최고난도 변별 (난이도 ★★★★★)) · 기하 · 미적분 · 배점 37점 (권장 45분)

모집계열 자연계열 (제5회 논제 Ⅲ) 출제과목 기하 · 미적분 핵심개념 공간벡터의 내적과 구의 대원(Great Circle), 정사영 타원의 넓이, 회전 궤적이 휩쓰는 원환 영역의 넓이 배점 (1) 16점 + (2) 21점 = 37점

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.38 탐구 3053 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

제시문

[다] 공간벡터의 내적과 정사영: 두 공간벡터 $\vec{a},\ \vec{b}$가 이루는 각의 크기가 $\phi$일 때 $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\phi$이고, 구의 중심을 지나는 평면과 구면의 교선은 반지름이 구의 반지름과 같은 대원(Great Circle)이다.

$구 $S$ 위의 대원 $D_1$과 $xy$평면 위로의 정사영 타원 $D_1'$ 및 회전 영역$

구 $S$ 위의 대원 $D_1$과 $xy$평면 위로의 정사영 타원 $D_1'$ 및 회전 영역

[논제 Ⅲ] [배점 37점] 오른쪽 그림과 같이 좌표공간에 중심이 $\mathrm{C}(0, 0, 3)$이고 반지름의 길이가 $2$인 구 $S : x^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 4$와 $xy$평면($z = 0$, 평면 $\alpha$) 위의 원 $K : x^2 + y^2 = 9,\ z = 0$이 있다. 원 $K$ 위의 점 $\mathrm{A}$와 구 $S$ 위의 점 $\mathrm{P}$가 조건 $\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CP}} = 0$을 만족시킬 때, 제시문 [다]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 $\mathrm{A}$의 좌표가 $\mathrm{A}(3, 0, 0)$일 때, 조건 $\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CP}} = 0$을 만족시키는 구 $S$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 내적 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하고, 최댓값을 가질 때의 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 구하시오. 16점

(2) 고정된 점 $\mathrm{A} \in K$에 대하여 $\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CP}} = 0$을 만족시키는 구 $S$ 위의 점 $\mathrm{P}$가 그리는 도형(대원 $D_1$)으로 둘러싸인 원판을 $xy$평면($\alpha$) 위로 정사영한 도형 $D_1'$의 넓이를 구하시오. 또한 점 $\mathrm{A}$가 원 $K$ 위를 한 바퀴 돌 때, 정사영 도형 $D_1'$의 둘레 곡선이 $xy$평면 위에서 휩쓸고 지나가는 영역의 넓이를 구하고 그 근거를 논술하시오. 21점

✏️ [제5회 모의 논제 Ⅲ] 답안 작성란 — 소문항 (1) (16점), 소문항 (2) (21점)의 수리적 논거와 단계별 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.