2027학년도 경희대학교 자연계열 모의고사 4회 문제집

쪽수	회차 (난이도)	논제 번호	출제 과목	핵심 수학 개념 (공통수학 · 수Ⅰ · 수Ⅱ · 미적분 · 확통 · 기하)	배점 (권장시간)
p. 2	제4회 (심화)	자연계열 [논제 Ⅰ]	기하 · 미적분 · 공통수학	타원의 정의와 코사인법칙, 타원의 접선의 방정식, 산술·기하평균 부등식과 도형의 넓이 최적화	30점 (35분)
p. 3	제4회 (심화)	자연계열 [논제 Ⅱ]	수학Ⅱ · 미적분	절댓값을 포함한 초월함수의 미분가능성, 함수의 극대·극소, 정적분을 이용한 입체도형의 부피	33점 (40분)
p. 4	제4회 (심화)	자연계열 [논제 Ⅲ]	확률과 통계 · 공통수학	회전 대칭성을 고려한 정다각형 원형 배치(목걸이 조합), 조합과 조건부확률(베이즈 정리)	37점 (45분)

2027학년도 경희대학교 자연계열 실전모의고사 제4회 — [문항 1] 논제 Ⅰ (30점)

제4회 모의논술 (심화 응용 (난이도 ★★★★☆)) · 기하 · 미적분 · 공통수학 · 배점 30점 (권장 35분)

모집계열 자연계열 (제4회 논제 Ⅰ) 출제과목 기하 · 미적분 · 공통수학 핵심개념 타원의 정의와 코사인법칙, 타원의 접선의 방정식, 산술·기하평균 부등식과 도형의 넓이 최적화 배점 (1) 14점 + (2) 16점 = 30점

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.27 탐구 3041 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04, 12대수02-03]

제시문

[가] 타원의 정의와 접선의 방정식: 두 초점 $\mathrm{F}(c, 0),\ \mathrm{F}'(-c, 0)\ (c = \sqrt{a^2 - b^2})$으로부터의 거리의 합이 $2a\ (a > b > 0)$로 일정한 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_0 x}{a^2} + \dfrac{y_0 y}{b^2} = 1$이다.

$타원 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}$와 접선 $\mathrm{AB}$ 및 수선의 발 $\mathrm{H}$$

타원 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}$와 접선 $\mathrm{AB}$ 및 수선의 발 $\mathrm{H}$

[논제 Ⅰ] [배점 30점] 오른쪽 그림과 같이 두 초점이 $\mathrm{F}(2, 0),\ \mathrm{F}'(-2, 0)$인 타원 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{12} = 1$ 위의 제1사분면의 점 $\mathrm{P}(x_0, y_0)\ (x_0 > 0, y_0 > 0)$에서의 접선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A},\ \mathrm{B}$라 하고, 원점 $\mathrm{O}$에서 직선 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. 제시문 [가]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $\cos(\angle\mathrm{F}'\mathrm{PF}) = \dfrac{3}{5}$일 때, 삼각형 $\mathrm{F}'\mathrm{PF}$의 넓이와 점 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$의 좌표를 각각 구하시오. 14점

(2) 점 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$가 제1사분면의 타원 위를 움직일 때 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이 $S$가 최소가 되도록 하는 점 $\mathrm{P}$의 좌표와 넓이 $S$의 최솟값, 그리고 그때 선분 $\mathrm{OH}$의 길이를 각각 구하시오. 16점

✏️ [제4회 모의 논제 Ⅰ] 답안 작성란 — 소문항 (1) (14점), 소문항 (2) (16점)의 수리적 논거와 단계별 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.

2027학년도 경희대학교 자연계열 실전모의고사 제4회 — [문항 2] 논제 Ⅱ (33점)

제4회 모의논술 (심화 응용 (난이도 ★★★★☆)) · 수학Ⅱ · 미적분 · 배점 33점 (권장 40분)

모집계열 자연계열 (제4회 논제 Ⅱ) 출제과목 수학Ⅱ · 미적분 핵심개념 절댓값을 포함한 초월함수의 미분가능성, 함수의 극대·극소, 정적분을 이용한 입체도형의 부피 배점 (1) 15점 + (2) 18점 = 33점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.42 탐구 3042 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅱ-03-01]

제시문

[나] 절댓값 함수의 미분가능성과 입체도형의 부피: 미분가능한 함수 $p(x)$에 대하여 $p(c) = 0$이면 $|p(x)|p(x)$는 $x = c$에서 미분가능하고 그 미분계수는 $0$이다. 또한 닫힌구간 $[a, b]$에서 $x$좌표가 $x$인 점을 지나고 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $S(x)$인 입체도형의 부피는 $\displaystyle V = \int_{a}^{b} S(x)\,dx$이다.

$함수 $f(x) = (x+\frac{1}{2})(x-2)|x-2|e^{-x}$의 그래프와 극소·극대$

함수 $f(x) = (x+\frac{1}{2})(x-2)|x-2|e^{-x}$의 그래프와 극소·극대

[논제 Ⅱ] [배점 33점] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \[ f(x) = (x^2 + ax + b)|x - 2|e^{-x} \quad (a, b\text{는 상수}) \] 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 $f'(0) = 0$을 만족시킨다. 제시문 [나]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 두 상수 $a,\ b$의 값을 각각 구하고, 함수 $f(x)$의 극솟값과 극댓값을 모두 구하시오. 15점

(2) 닫힌구간 $\left[-\dfrac{1}{2}, 2\right]$에서 곡선 $y = \sqrt{-f(x)}$와 $x$축으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피 $V$를 구하시오. 18점

✏️ [제4회 모의 논제 Ⅱ] 답안 작성란 — 소문항 (1) (15점), 소문항 (2) (18점)의 수리적 논거와 단계별 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.

2027학년도 경희대학교 자연계열 실전모의고사 제4회 — [문항 3] 논제 Ⅲ (37점)

제4회 모의논술 (심화 응용 (난이도 ★★★★☆)) · 확률과 통계 · 공통수학 · 배점 37점 (권장 45분)

모집계열 자연계열 (제4회 논제 Ⅲ) 출제과목 확률과 통계 · 공통수학 핵심개념 회전 대칭성을 고려한 정다각형 원형 배치(목걸이 조합), 조합과 조건부확률(베이즈 정리) 배점 (1) 17점 + (2) 20점 = 37점

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.12 탐구 3043 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12확통01-01, 12확통02-04, 12확통02-05]

제시문

[다] 회전 대칭 원형 배치와 조건부확률: 서로 다른 대상을 원형으로 배열할 때 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다. 또한 유한 표본공간에서 사건 $A$가 일어났을 때 사건 $B$의 조건부확률은 $\mathrm{P}(B \mid A) = \dfrac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$이다.

$$k = 3$ (검은 돌 3개, 흰 돌 3개)일 때 회전하여 구별되는 4가지 원형 배치$

$k = 3$ (검은 돌 3개, 흰 돌 3개)일 때 회전하여 구별되는 4가지 원형 배치

[논제 Ⅲ] [배점 37점] 평면 위의 정육각형의 $6$개의 꼭짓점에 검은 돌 $k$개와 흰 돌 $(6 - k)$개 ($k = 0, 1, 2, \dots, 6$)를 빈자리 없이 놓으려고 한다. 정육각형을 중심에 대하여 회전하여 일치하는 배치는 서로 같은 배치로 볼 때(뒤집기는 허용하지 않음), 검은 돌 $k$개를 놓는 서로 다른 원형 배치의 수를 $a_k$라 하자. 제시문 [다]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$에 대하여 $a_k$의 값을 각각 구하고, 가능한 모든 원형 배치의 총개수 $\displaystyle N = \sum_{k=0}^{6} a_k$를 구하시오. (특히 $a_2$와 $a_3$을 구하는 과정을 자세히 서술하시오.) 17점

(2) 문항 (1)에서 구한 $N$가지의 서로 다른 원형 배치가 각각 하나씩 그려진 $N$장의 카드 중에서 임의로 $1$장의 카드를 뽑은 후, 그 카드에 그려진 정육각형의 $6$개의 꼭짓점 중에서 임의로 $2$개의 꼭짓점을 동시에 택하였다. 택한 $2$개의 꼭짓점에 놓인 돌이 모두 검은 돌이었을 때(사건 $E$), 뽑힌 카드에 그려진 배치의 검은 돌의 개수가 $3$개였을 조건부확률 $\mathrm{P}(k = 3 \mid E)$를 구하시오. 20점

✏️ [제4회 모의 논제 Ⅲ] 답안 작성란 — 소문항 (1) (17점), 소문항 (2) (20점)의 수리적 논거와 단계별 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.