제3회 자연계열 [문항 1] 논제 Ⅰ 출제의도 · 채점기준 · 예시답안 (30점)
[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.32 탐구 3031 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04, 12미적Ⅱ-01-04]
심화 응용 (난이도 ★★★★☆) · 기하(신사고 p.42 이차곡선의 접선) / 미적분(천재 p.32 급수의 합) · 총 30점
🎯 출제의도 및 문항해설
• [제3회 논제 Ⅰ]은 쌍곡선의 접선에 두 초점에서 내린 수선의 길이의 곱이 \(-b^2\)의 절댓값(\(b^2 = 6\))으로 일정하다는 기하학적 불변량을 대수적으로 증명하게 하고, 직각사다리꼴에서 두 수선의 발 사이의 거리 \(\overline{\mathrm{H}_n\mathrm{H}_n'}\)을 \(x_n\)으로 표현하여 무한등비급수의 합과 연결하는 심화 융합 문항이다.
| 평가 소문항 | 단계별 상세 채점 기준 (아카데미 · 선생님 첨삭 지도 기준) |
|---|---|
| 논제 Ⅰ-(1) | <5점> 접선 \(2x_n x - y_n y - 6 = 0\) 및 \(y_n^2 = 2x_n^2 - 6\) 활용 <9점> \(\overline{\mathrm{FH}_n}\cdot\overline{\mathrm{F}'\mathrm{H}_n'} = \frac{|36x_n^2-36|}{4x_n^2+y_n^2} = \frac{36(x_n^2-1)}{6(x_n^2-1)} = 6\) 증명 |
| 논제 Ⅰ-(2) | <6점> \(\overline{\mathrm{FH}_n} + \overline{\mathrm{F}'\mathrm{H}_n'} = \frac{12x_n}{\sqrt{6(x_n^2-1)}}\) 도출 <6점> \(\overline{\mathrm{H}_n\mathrm{H}_n'}^2 = 36 - (\overline{\mathrm{FH}_n}+\overline{\mathrm{F}'\mathrm{H}_n'})^2 = 12 - \frac{24}{x_n^2-1}\) 도출 <4점> 급수의 합 \(\sum_{n=1}^\infty 2^{2-n} = 4\) 산출 |
📘 [제3회 모의 자연계열 논제 Ⅰ] 예시답안 및 수리논술 연구실 해설
쌍곡선 \(\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{6} = 1\)의 접선 \(l_n\)과 두 수선의 발 \(\mathrm{H}_n, \mathrm{H}_n'\)
■ 논제 Ⅰ-(1) 예시답안 (14점)
쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{3} - \dfrac{y^2}{6} = 1\) 위의 점 \(\mathrm{P}_n(x_n, y_n)\)은 \(y_n^2 = 2x_n^2 - 6\ (x_n \ge \sqrt{3})\)을 만족시킨다. 제시문 [가]에 의하여 접선 \(l_n\)의 방정식은
\[ \frac{x_n x}{3} - \frac{y_n y}{6} = 1 \iff 2x_n x - y_n y - 6 = 0 \quad \cdots\cdots \text{ <5점>} \]
이다. 두 초점 \(\mathrm{F}(3, 0),\ \mathrm{F}'(-3, 0)\)에서 직선 \(l_n\)에 내린 수선의 길이는 점과 직선 사이의 거리 공식에 의하여
\[ \overline{\mathrm{FH}_n} = \frac{|6x_n - 6|}{\sqrt{4x_n^2 + y_n^2}}, \qquad \overline{\mathrm{F}'\mathrm{H}_n'} = \frac{|-6x_n - 6|}{\sqrt{4x_n^2 + y_n^2}} \]
이다. 분모의 근호 안은 \(4x_n^2 + y_n^2 = 4x_n^2 + (2x_n^2 - 6) = 6(x_n^2 - 1)\)이고, \(x_n \ge \sqrt{3} > 1\)이므로 두 수선의 길이의 곱은 다음과 같이 일정하다. \(\cdots\cdots \text{ <9점>}\)
\[ \overline{\mathrm{FH}_n}\cdot\overline{\mathrm{F}'\mathrm{H}_n'} = \frac{36(x_n - 1)(x_n + 1)}{6(x_n^2 - 1)} = \frac{36(x_n^2 - 1)}{6(x_n^2 - 1)} = 6 \]
정답 (1): \(\overline{\mathrm{FH}_n}\cdot\overline{\mathrm{F}'\mathrm{H}_n'} = 6\) (점 \(\mathrm{P}_n\)의 위치에 관계없이 일정)
■ 논제 Ⅰ-(2) 예시답안 (16점)
접선 \(l_n\)의 \(x\)절편은 \(\dfrac{3}{x_n} \in (0, \sqrt{3}]\)이므로 선분 \(\mathrm{FF}'\)과 접선 \(l_n\)은 두 초점 사이에서 교차한다. 따라서 두 초점 \(\mathrm{F}, \mathrm{F}'\)은 직선 \(l_n\)을 기준으로 서로 반대쪽에 놓이며, 점 \(\mathrm{F}\)에서 직선 \(\mathrm{F}'\mathrm{H}_n'\)에 수선의 발을 내리면 피타고라스 정리에 의하여
\[ \overline{\mathrm{FF}'}^2 = \overline{\mathrm{H}_n\mathrm{H}_n'}^2 + \left(\overline{\mathrm{FH}_n} + \overline{\mathrm{F}'\mathrm{H}_n'}\right)^2 \quad \cdots\cdots \text{ <6점>} \]
이 성립한다. 여기서 \(x_n > 1\)이므로 \(\overline{\mathrm{FH}_n} + \overline{\mathrm{F}'\mathrm{H}_n'} = \dfrac{(6x_n - 6) + (6x_n + 6)}{\sqrt{6(x_n^2 - 1)}} = \dfrac{12x_n}{\sqrt{6(x_n^2 - 1)}}\)이고, \(\overline{\mathrm{FF}'} = 6\)이므로
\[ \overline{\mathrm{H}_n\mathrm{H}_n'}^2 = 36 - \frac{144x_n^2}{6(x_n^2 - 1)} = 36 - \frac{24x_n^2}{x_n^2 - 1} = 12 - \frac{24}{x_n^2 - 1} \quad \cdots\cdots \text{ <6점>} \]
이다. \(x_n = \sqrt{6\cdot 2^n + 1}\)을 대입하면 \(x_n^2 - 1 = 6\cdot 2^n\)이므로 \(12 - \overline{\mathrm{H}_n\mathrm{H}_n'}^2 = \dfrac{24}{6\cdot 2^n} = \dfrac{4}{2^n}\)이다. 따라서 구하는 무한등비급수의 합은 다음과 같다. \(\cdots\cdots \text{ <4점>}\)
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\left(12 - \overline{\mathrm{H}_n\mathrm{H}_n'}^2\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{2^n} = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = 4 \]
정답 (2): \(\overline{\mathrm{H}_n\mathrm{H}_n'}^2 = 12 - \dfrac{24}{x_n^2 - 1},\quad \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(12 - \overline{\mathrm{H}_n\mathrm{H}_n'}^2\right) = 4\)
