2027학년도 경희대학교 자연계열 모의고사 3회 문제집

쪽수	회차 (난이도)	논제 번호	출제 과목	핵심 수학 개념 (공통수학 · 수Ⅰ · 수Ⅱ · 미적분 · 확통 · 기하)	배점 (권장시간)
p. 2	제3회 (심화)	자연계열 [논제 Ⅰ]	기하 · 미적분	쌍곡선의 접선의 방정식, 두 초점에서 접선에 내린 수선의 발의 광학적 불변량, 등비급수의 수렴	30점 (35분)
p. 3	제3회 (심화)	자연계열 [논제 Ⅱ]	수학Ⅱ · 미적분	정적분으로 정의된 함수와 미분방정식, 이계도함수와 변곡점, 정적분과 사다리꼴 근사 오차의 극한	33점 (40분)
p. 4	제3회 (심화)	자연계열 [논제 Ⅲ]	확률과 통계 · 미적분	정삼각형 꼭짓점 위의 상태 전이 확률과 점화식, 베이즈 정리(조건부확률), 수열의 극한	37점 (45분)

2027학년도 경희대학교 자연계열 실전모의고사 제3회 — [문항 1] 논제 Ⅰ (30점)

제3회 모의논술 (심화 응용 (난이도 ★★★★☆)) · 기하 · 미적분 · 배점 30점 (권장 35분)

모집계열 자연계열 (제3회 논제 Ⅰ) 출제과목 기하 · 미적분 핵심개념 쌍곡선의 접선의 방정식, 두 초점에서 접선에 내린 수선의 발의 광학적 불변량, 등비급수의 수렴 배점 (1) 14점 + (2) 16점 = 30점

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.32 탐구 3031 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04, 12미적Ⅱ-01-04]

제시문

[가] 쌍곡선의 접선과 점과 직선 사이의 거리: 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이고, 점 $(x_0, y_0)$과 직선 $Ax + By + C = 0$ 사이의 거리는 $d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$이다.

$쌍곡선 $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{6} = 1$의 접선 $l_n$과 두 수선의 발 $\mathrm{H}_n, \mathrm{H}_n'$$

쌍곡선 $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{6} = 1$의 접선 $l_n$과 두 수선의 발 $\mathrm{H}_n, \mathrm{H}_n'$

[논제 Ⅰ] [배점 30점] 오른쪽 그림과 같이 두 초점이 $\mathrm{F}(3, 0),\ \mathrm{F}'(-3, 0)$인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{3} - \dfrac{y^2}{6} = 1$ 위의 제1사분면의 점 $\mathrm{P}_n(x_n, y_n)$에서의 접선을 $l_n$이라 하자. 두 초점 $\mathrm{F},\ \mathrm{F}'$에서 접선 $l_n$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H}_n,\ \mathrm{H}_n'$이라 할 때, 제시문 [가]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 두 선분의 길이의 곱 $\overline{\mathrm{FH}_n}\cdot\overline{\mathrm{F}'\mathrm{H}_n'}$이 점 $\mathrm{P}_n$의 위치에 관계없이 항상 일정한 값을 가짐을 증명하고, 그 일정한 값을 구하시오. 14점

(2) 선분 $\mathrm{H}_n\mathrm{H}_n'$의 길이의 제곱 $\overline{\mathrm{H}_n\mathrm{H}_n'}^2$을 $x_n$에 대한 식으로 나타내고, $x_n = \sqrt{6\cdot 2^n + 1}\ (n = 1, 2, 3, \dots)$일 때 무한급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(12 - \overline{\mathrm{H}_n\mathrm{H}_n'}^2\right)$의 합을 구하시오. 16점

✏️ [제3회 모의 논제 Ⅰ] 답안 작성란 — 소문항 (1) (14점), 소문항 (2) (16점)의 수리적 논거와 단계별 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.

2027학년도 경희대학교 자연계열 실전모의고사 제3회 — [문항 2] 논제 Ⅱ (33점)

제3회 모의논술 (심화 응용 (난이도 ★★★★☆)) · 수학Ⅱ · 미적분 · 배점 33점 (권장 40분)

모집계열 자연계열 (제3회 논제 Ⅱ) 출제과목 수학Ⅱ · 미적분 핵심개념 정적분으로 정의된 함수와 미분방정식, 이계도함수와 변곡점, 정적분과 사다리꼴 근사 오차의 극한 배점 (1) 15점 + (2) 18점 = 33점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.21 탐구 3032 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅱ-03-01]

제시문

[나] 정적분과 미분의 관계 및 부분적분법: 연속함수 $h(t)$에 대하여 $\dfrac{d}{dx}\int_{a}^{x} h(t)\,dt = h(x)$이고, 미분가능한 두 함수 $u(x), v(x)$에 대하여 $\displaystyle\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\,dx$이다.

$곡선 $y = x^2 e^{-x}$의 극대점 $(2, 4e^{-2})$와 두 변곡점 $x_1, x_2$$

곡선 $y = x^2 e^{-x}$의 극대점 $(2, 4e^{-2})$와 두 변곡점 $x_1, x_2$

[논제 Ⅱ] [배점 33점] 실수 전체의 집합에서 이계도함수가 연속인 함수 $f(x)$가 모든 양수 $x$에서 $f(x) > 0,\ f(1) = \dfrac{1}{e}$이고 다음 등식을 만족시킨다. \[ \int_{0}^{x} e^t f(t)\,dt = \frac{1}{3}x e^x f(x) \] 제시문 [나]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 $f(x)$의 식을 구하고, 곡선 $y = f(x)$의 극댓값과 두 변곡점의 $x$좌표 $x_1,\ x_2\ (x_1 < x_2)$를 각각 구하시오. 15점

(2) 두 변곡점 사이의 정적분 $\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx$의 값을 구하시오. 또한 닫힌구간 $[0, 2]$를 $n$등분한 분점을 $t_k = \dfrac{2k}{n}\ (k = 0, 1, \dots, n)$이라 할 때, 직사각형 합의 수열 $R_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} f(t_k)\frac{2}{n}$과 사다리꼴 합의 수열 $T_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{f(t_{k-1}) + f(t_k)}{2}\cdot\frac{2}{n}$에 대하여 극한값 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} n(R_n - T_n)$을 구하시오. 18점

✏️ [제3회 모의 논제 Ⅱ] 답안 작성란 — 소문항 (1) (15점), 소문항 (2) (18점)의 수리적 논거와 단계별 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.

2027학년도 경희대학교 자연계열 실전모의고사 제3회 — [문항 3] 논제 Ⅲ (37점)

제3회 모의논술 (심화 응용 (난이도 ★★★★☆)) · 확률과 통계 · 미적분 · 배점 37점 (권장 45분)

모집계열 자연계열 (제3회 논제 Ⅲ) 출제과목 확률과 통계 · 미적분 핵심개념 정삼각형 꼭짓점 위의 상태 전이 확률과 점화식, 베이즈 정리(조건부확률), 수열의 극한 배점 (1) 17점 + (2) 20점 = 37점

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.14 탐구 3033 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12확통02-04, 12확통02-05]

제시문

[다] 여사건과 조건부확률(베이즈 정리): 표본공간 $S$가 서로 배반인 사건 $A_1, A_2, A_3$으로 분할될 때, 사건 $E$에 대하여 $\mathrm{P}(E) = \sum_{i=1}^{3}\mathrm{P}(A_i)\mathrm{P}(E \mid A_i)$이고 $\mathrm{P}(A_k \mid E) = \dfrac{\mathrm{P}(A_k)\mathrm{P}(E \mid A_k)}{\mathrm{P}(E)}$이다.

$정삼각형 $\mathrm{ABC}$ 꼭짓점 위에서의 상태 전이 확률 다이어그램$

정삼각형 $\mathrm{ABC}$ 꼭짓점 위에서의 상태 전이 확률 다이어그램

[논제 Ⅲ] [배점 37점] 오른쪽 그림과 같이 정삼각형 $\mathrm{ABC}$의 꼭짓점 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$가 시각 $n = 0$에 꼭짓점 $\mathrm{A}$에서 출발하여 주사위를 던져 다음 규칙에 따라 이동한다.
① 점 $\mathrm{P}$가 꼭짓점 $\mathrm{A}$에 있을 때: $3$의 배수의 눈이 나오면 $\mathrm{A}$에 그대로 머물고, $3$으로 나눈 나머지가 $1$인 눈($1, 4$)이 나오면 $\mathrm{B}$로, 나머지가 $2$인 눈($2, 5$)이 나오면 $\mathrm{C}$로 이동한다.
② 점 $\mathrm{P}$가 꼭짓점 $\mathrm{B}$ (또는 $\mathrm{C}$)에 있을 때: 짝수의 눈이 나오면 $\mathrm{A}$로 이동하고, 홀수의 눈이 나오면 $\mathrm{C}$ (또는 $\mathrm{B}$)로 이동한다.
$n$회 시행 후 점 $\mathrm{P}$가 꼭짓점 $\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$에 있을 확률을 각각 $p_n,\ q_n,\ r_n$이라 할 때, 제시문 [다]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $p_{n+1}$을 $p_n$에 대한 관계식(점화식)으로 나타내고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $p_n,\ q_n,\ r_n$의 일반항을 각각 구하시오. 17점

(2) 자연수 $n\ (n \ge 2)$에 대하여 $n$회 시행 후 점 $\mathrm{P}$가 꼭짓점 $\mathrm{A}$에 있었을 때, $(n-1)$회 시행 후 점 $\mathrm{P}$가 꼭짓점 $\mathrm{B}$에 있었을 조건부확률을 $P_n$이라 하자. $P_n$을 구하고 극한값 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(-6)^n\left(P_n - \frac{1}{3}\right)$을 구하시오. 20점

✏️ [제3회 모의 논제 Ⅲ] 답안 작성란 — 소문항 (1) (17점), 소문항 (2) (20점)의 수리적 논거와 단계별 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.