2027학년도 경희대학교 자연계열 모의고사 2회 문제집

쪽수	회차 (난이도)	논제 번호	출제 과목	핵심 수학 개념 (공통수학 · 수Ⅰ · 수Ⅱ · 미적분 · 확통 · 기하)	배점 (권장시간)
p. 2	제2회 (기출)	자연계열 [논제 Ⅰ]	미적분	매개변수로 나타낸 함수의 미분법, 무리식의 극한, 평면 운동에서 점이 움직인 거리(곡선의 길이)	30점 (35분)
p. 3	제2회 (기출)	자연계열 [논제 Ⅱ]	수학Ⅱ · 미적분 · 기하	무리함수 곡선의 접선과 법선, 정적분과 도형의 넓이 비, 직각삼각형의 외접원 반지름과 함수의 극한	33점 (40분)
p. 4	제2회 (기출)	자연계열 [논제 Ⅲ]	수학Ⅰ · 미적분	사인법칙, 삼각형의 넓이와 내접원의 반지름, 삼각함수의 덧셈정리와 미분을 이용한 최댓값	37점 (45분)

2027학년도 경희대학교 자연계열 실전모의고사 제2회 — [문항 1] 논제 Ⅰ (30점)

제2회 모의논술 (기출 유사 (난이도 ★★★☆☆)) · 미적분 · 배점 30점 (권장 35분)

모집계열 자연계열 (제2회 논제 Ⅰ) 출제과목 미적분 핵심개념 매개변수로 나타낸 함수의 미분법, 무리식의 극한, 평면 운동에서 점이 움직인 거리(곡선의 길이) 배점 (1) 15점 + (2) 15점 = 30점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.22 탐구 3021 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅱ-03-01]

제시문

[가] 매개변수로 나타낸 함수의 미분법: 두 함수 $x = f(t),\ y = g(t)$가 $t$에 대하여 미분가능하고 $f'(t) \ne 0$일 때, $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = \dfrac{g'(t)}{f'(t)}$이다.

[나] 평면 위를 움직이는 점의 이동 거리: 시각 $t$에서의 점 $\mathrm{P}$의 위치가 $x = f(t),\ y = g(t)$일 때, 시각 $t = a$에서 $t = b$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리 $s$는 \[ s = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt \]

$매개변수 곡선 $x(t) = \frac{1}{2}t^2 - n^2\ln t,\ y(t) = 2nt$$

매개변수 곡선 $x(t) = \frac{1}{2}t^2 - n^2\ln t,\ y(t) = 2nt$

[논제 Ⅰ] [배점 30점] 자연수 $n$에 대하여 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t\ (t \ge 1)$에서의 위치 $(x(t), y(t))$가 \[ x(t) = \frac{1}{2}t^2 - n^2\ln t, \qquad y(t) = 2nt \] 로 주어져 있다. 제시문 [가], [나]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 시각 $t > n$에서 점 $\mathrm{P}$가 그리는 곡선 위의 점 $(x(t), y(t))$에서의 접선의 기울기가 $\dfrac{1}{n}$이 되는 시각을 $t_n$이라 할 때, $t_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내고 극한값 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(t_n - 2n^2)$을 구하시오. 15점

(2) 시각 $t = n$에서 $t = en$까지 점 $\mathrm{P}$가 실제로 움직인 거리를 $l_n$이라 하고, 같은 시간 동안 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표의 증가량 $x(en) - x(n)$을 $d_n$이라 할 때, $\dfrac{l_n}{d_n}$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오. 15점

✏️ [제2회 모의 논제 Ⅰ] 답안 작성란 — 소문항 (1) (15점), 소문항 (2) (15점)의 수리적 논거와 단계별 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.

2027학년도 경희대학교 자연계열 실전모의고사 제2회 — [문항 2] 논제 Ⅱ (33점)

제2회 모의논술 (기출 유사 (난이도 ★★★☆☆)) · 수학Ⅱ · 미적분 · 기하 · 배점 33점 (권장 40분)

모집계열 자연계열 (제2회 논제 Ⅱ) 출제과목 수학Ⅱ · 미적분 · 기하 핵심개념 무리함수 곡선의 접선과 법선, 정적분과 도형의 넓이 비, 직각삼각형의 외접원 반지름과 함수의 극한 배점 (1) 16점 + (2) 17점 = 33점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 3022 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-03-05]

제시문

[다] 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이: 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 두 함수 $f(x),\ g(x)$에 대하여 $f(x) \ge g(x)$일 때, 두 곡선 $y = f(x),\ y = g(x)$ 및 두 직선 $x = a,\ x = b$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 $\displaystyle S = \int_{a}^{b}\big\{f(x) - g(x)\big\}\,dx$이다.

$곡선 $y = 2\sqrt{x}$ 위의 점 $\mathrm{P}(t^2, 2t)$에서의 접선 $\mathrm{AB}$와 법선 $\mathrm{PQ}$$

곡선 $y = 2\sqrt{x}$ 위의 점 $\mathrm{P}(t^2, 2t)$에서의 접선 $\mathrm{AB}$와 법선 $\mathrm{PQ}$

[논제 Ⅱ] [배점 33점] 오른쪽 그림과 같이 양수 $t\ (t > 0)$에 대하여 곡선 $y = 2\sqrt{x}$ 위의 점 $\mathrm{P}(t^2, 2t)$에서의 접선을 $l$이라 하자. 직선 $l$이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A},\ \mathrm{B}$라 하고, 점 $\mathrm{P}$를 지나고 직선 $l$에 수직인 법선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 제시문 [다]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이를 $S_1(t)$라 하고, 곡선 $y = 2\sqrt{x}$와 $y$축 및 선분 $\mathrm{BP}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_2(t)$라 할 때, $S_1(t),\ S_2(t)$를 각각 $t$에 대한 식으로 나타내고 $\dfrac{S_2(t)}{S_1(t)}$가 $t$의 값에 관계없이 일정함을 보이시오. 16점

(2) 삼각형 $\mathrm{PAQ}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R(t)$라 할 때, $R(t)$를 $t$에 대한 식으로 나타내고 극한값 $\displaystyle\lim_{t\to 0^+}\frac{R(t) - 1}{t^2}$을 구하시오. 17점

✏️ [제2회 모의 논제 Ⅱ] 답안 작성란 — 소문항 (1) (16점), 소문항 (2) (17점)의 수리적 논거와 단계별 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.

2027학년도 경희대학교 자연계열 실전모의고사 제2회 — [문항 3] 논제 Ⅲ (37점)

제2회 모의논술 (기출 유사 (난이도 ★★★☆☆)) · 수학Ⅰ · 미적분 · 배점 37점 (권장 45분)

모집계열 자연계열 (제2회 논제 Ⅲ) 출제과목 수학Ⅰ · 미적분 핵심개념 사인법칙, 삼각형의 넓이와 내접원의 반지름, 삼각함수의 덧셈정리와 미분을 이용한 최댓값 배점 (1) 17점 + (2) 20점 = 37점

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.34 탐구 3023 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03, 12미적Ⅱ-02-01]

제시문

[라] 사인법칙과 내접원의 반지름: 외접원의 반지름의 길이가 $R$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$이다. 또한 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 둘레의 길이를 $L$, 내접원의 반지름의 길이를 $r$이라 하면 삼각형의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}rL$이다.

$반지름 $R=2$인 원에 내접하는 예각삼각형 $\mathrm{ABC}$와 내접원 $r(\theta)$$

반지름 $R=2$인 원에 내접하는 예각삼각형 $\mathrm{ABC}$와 내접원 $r(\theta)$

[논제 Ⅲ] [배점 37점] 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $R = 2$인 원에 내접하는 예각삼각형 $\mathrm{ABC}$가 $\angle\mathrm{BAC} = \dfrac{\pi}{3}$를 만족시킨다. $\angle\mathrm{ABC} = \theta\ \left(\dfrac{\pi}{6} < \theta < \dfrac{\pi}{2}\right)$라 하고, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내접원의 반지름의 길이를 $r(\theta)$라 하자. 제시문 [라]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 둘레의 길이 $L(\theta)$와 넓이 $S(\theta)$를 각각 $\cos\!\left(\theta - \dfrac{\pi}{3}\right)$에 대한 식으로 나타내고, 넓이 $S(\theta)$가 최대가 될 때의 $\theta$의 값과 최댓값을 구하시오. 17점

(2) 내접원의 반지름의 길이 $r(\theta)$를 구하고, 함수 $f(\theta) = r(\theta) + \dfrac{1}{4}\big(\overline{\mathrm{AC}} - \overline{\mathrm{AB}}\big)$이 $\theta = \alpha$에서 최댓값 $M$을 가질 때 $\tan\!\left(\alpha - \dfrac{\pi}{3}\right)$의 값과 최댓값 $M$을 구하시오. 20점

✏️ [제2회 모의 논제 Ⅲ] 답안 작성란 — 소문항 (1) (17점), 소문항 (2) (20점)의 수리적 논거와 단계별 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.