제1회 자연계열 [문항 1] 논제 Ⅰ 출제의도 · 채점기준 · 예시답안 (30점)
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24 탐구 3011 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05, 12대수03-05]
기출 유사 (난이도 ★★★☆☆) · 2027 모의 자연계열 [논제 Ⅰ] · 수학Ⅱ(천재 p.74) / 미적분(신사고 p.15) · 총 30점
🎯 출제의도 및 문항해설
• [제1회 논제 Ⅰ]은 2027학년도 경희대 자연계열 모의논술 [논제 Ⅰ]과 2026학년도 기출을 결합하여, 구간별로 정의된 다항함수의 원점 미분가능성 조건으로부터 미정계수를 결정하고 영역 내부 정수 격자점의 개수를 거듭제곱의 합(\(\sum k^2, \sum k^3\))으로 표현하여 극한을 계산하는 능력을 평가한다. 또한 점 \((-n, 0)\)을 지나는 직선이 곡선 \(y = |h(x)|\)와 접하는 두 임계 기울기 \(m_1, m_2\)를 구해 교점 개수를 정확히 분류하는지 확인한다.
| 평가 소문항 | 단계별 상세 채점 기준 (아카데미 · 선생님 첨삭 지도 기준) |
|---|---|
| 논제 Ⅰ-(1) | <3점> 원점 미분가능성으로 \(f(x)=x(x+n)(x-2)\) 도출 <4점> \(a_n = \sum_{k=1}^{n-1}(f(-k)-1)\) 계산 <3점> \(b_n = \sum_{k=1}^{n-1}(-g(k)-1)\) 계산 <3점> \(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{nb_n} = \frac{1}{4}\) 산출 |
| 논제 Ⅰ-(2) | <7점> 기울기 \(m\)의 범위에 따른 교점 개수(5, 4, 3, 2개) 분류 <6점> 제1사분면 접선 기울기 \(m_1 = 2(3-2\sqrt{2})n\) 도출 <4점> 점 \((-n,0)\)에서의 접선 기울기 \(m_2 = n^2+2n\) 도출 |
📘 [제1회 모의 자연계열 논제 Ⅰ] 예시답안 및 수리논술 연구실 해설
곡선 \(y = |h(x)|\)와 영역 \(A_n, B_n\) 및 점 \((-n, 0)\)을 지나는 직선
■ 논제 Ⅰ-(1) 예시답안 (13점)
방정식 \(f(x) = 0\)이 \(0, -n\)을 근으로 가지므로 최고차항 계수가 \(1\)인 삼차함수를 \(f(x) = x(x+n)(x-c)\)라 놓자. 또한 조건에서 \(g(x) = 2x(x-n)\)이다. 함수 \(h(x)\)가 \(x = 0\)에서 미분가능하므로 좌미분계수와 우미분계수가 일치해야 한다.
\[ f'(0) = -cn,\quad g'(0) = -2n \implies -cn = -2n \implies c = 2 \quad \therefore\ f(x) = x(x+n)(x-2) \quad \cdots\cdots \text{ <3점>} \]
구간 \((-n, 0)\)에 속하는 정수 \(x = -k\ (k = 1, 2, \dots, n-1)\)에서 \(f(-k) = (-k)(n-k)(-k-2) = k(n-k)(k+2) > 0\)이다. 경계를 제외한 내부 정수점의 \(y\)좌표는 \(1 \le y \le f(-k)-1\)이므로 \(a_n\)은 다음과 같다.
\[ a_n = \sum_{k=1}^{n-1}\big(f(-k) - 1\big) = \sum_{k=1}^{n-1}\big\{-k^3 + (n-2)k^2 + 2nk - 1\big\} = -\left\{\frac{(n-1)n}{2}\right\}^2 + (n-2)\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 2n\frac{(n-1)n}{2} - (n-1) \quad \cdots\cdots \text{ <4점>} \]
마찬가지로 구간 \((0, n)\)의 정수 \(x = k\ (k = 1, 2, \dots, n-1)\)에서 \(|h(k)| = -g(k) = 2k(n-k) > 0\)이므로 내부 정수점의 개수 \(b_n\)은 다음과 같다.
\[ b_n = \sum_{k=1}^{n-1}\big(-g(k) - 1\big) = \sum_{k=1}^{n-1}\big(2nk - 2k^2 - 1\big) = 2n\frac{(n-1)n}{2} - 2\cdot\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - (n-1) \quad \cdots\cdots \text{ <3점>} \]
\(n\)에 대한 다항식으로 전개할 때 \(a_n\)의 최고차항(\(n^4\)) 계수는 \(-\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{12}\)이고, \(nb_n\)의 최고차항(\(n^4\)) 계수는 \(1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\)이다. 따라서 제시문 [나]에 의하여 극한값은 다음과 같다.
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n b_n} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{4} \quad \cdots\cdots \text{ <3점>} \]
정답 (1): \(f(x) = x(x+n)(x-2),\quad \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n b_n} = \frac{1}{4}\)
■ 논제 Ⅰ-(2) 예시답안 (17점)
점 \((-n, 0)\)을 지나는 직선 \(y = m(x+n)\ (m > 0)\)이 구간 \((0, n)\)의 곡선 \(y = -g(x) = -2x^2 + 2nx\)와 접할 때의 기울기를 \(m_1\), 구간 \([-n, 0]\)의 곡선 \(y = f(x)\)와 점 \((-n, 0)\)에서 접할 때의 기울기를 \(m_2\)라 하자. 먼저 \(f(x) = x(x+n)(x-2)\)에서 점 \((-n, 0)\)에서의 접선의 기울기 \(m_2\)를 구하면
\[ m_2 = f'(-n) = (-n)(-n-2) = n^2 + 2n \quad \cdots\cdots \text{ <4점>} \]
다음으로 직선 \(y = m_1(x+n)\)이 곡선 \(y = -2x^2 + 2nx\ (0 \lt x \lt n)\) 위의 점 \((\alpha, -2\alpha^2 + 2n\alpha)\)에서 접한다고 하면, 제시문 [가]에 의하여 접선의 방정식은 \(y = (-4\alpha + 2n)(x - \alpha) - 2\alpha^2 + 2n\alpha = (-4\alpha + 2n)x + 2\alpha^2\)이다. 이 접선이 점 \((-n, 0)\)을 지나므로
\[ 0 = (-4\alpha + 2n)(-n) + 2\alpha^2 \implies \alpha^2 + 2n\alpha - n^2 = 0 \implies \alpha = (\sqrt{2}-1)n \ (\because \alpha > 0) \]
이므로 \(m_1 = -4\alpha + 2n = 2(3 - 2\sqrt{2})n\)이다. \(\cdots\cdots \text{ <6점>}\)
기울기 \(m\)에 따른 곡선 \(y = |h(x)|\)와의 교점의 개수를 분류하면 다음과 같다: ① \(0 \lt m \lt m_1\)일 때 \((-n,0)\), \((-n,0)\) 내부 1개, \((0,n)\) 내부 2개, \((n,\infty)\) 1개로 총 5개, ② \(m = m_1\)일 때 총 4개, ③ \(m_1 \lt m \lt m_2\)일 때 총 3개, ④ \(m \ge m_2\)일 때 \((-n,0)\)과 \((n,\infty)\)에서 만나 총 2개이다. \(\cdots\cdots \text{ <7점>}\)
정답 (2): \(m_1 = 2(3-2\sqrt{2})n,\ m_2 = n^2+2n\)일 때, \(0 \lt m \lt m_1\) (5개), \(m = m_1\) (4개), \(m_1 \lt m \lt m_2\) (3개), \(m \ge m_2\) (2개)
