2027학년도 경희대학교 자연계열 모의고사 1회 문제집

쪽수	회차 (난이도)	논제 번호	출제 과목	핵심 수학 개념 (공통수학 · 수Ⅰ · 수Ⅱ · 미적분 · 확통 · 기하)	배점 (권장시간)
p. 2	제1회 (기출)	자연계열 [논제 Ⅰ]	수학Ⅱ · 미적분	미분가능성, 정사영 영역 내부 정수 격자점과 급수의 합, 접선의 기울기에 따른 교점 개수 분류	30점 (35분)
p. 3	제1회 (기출)	자연계열 [논제 Ⅱ]	확률과 통계	독립시행의 확률, 이산확률변수의 확률질량함수와 기댓값, 두 독립 확률변수의 최댓값과 조건부확률	33점 (40분)
p. 4	제1회 (기출)	자연계열 [논제 Ⅲ]	기하 · 수학Ⅰ	평면 위에서 서로 외접하는 세 구, 정사영의 넓이와 이면각, 코사인법칙, 삼수선의 정리	37점 (45분)

2027학년도 경희대학교 자연계열 실전모의고사 제1회 — [문항 1] 논제 Ⅰ (30점)

제1회 모의논술 (기출 유사 (난이도 ★★★☆☆)) · 수학Ⅱ · 미적분 · 배점 30점 (권장 35분)

모집계열 자연계열 (제1회 논제 Ⅰ) 출제과목 수학Ⅱ · 미적분 핵심개념 미분가능성, 정사영 영역 내부 정수 격자점과 급수의 합, 접선의 기울기에 따른 교점 개수 분류 배점 (1) 13점 + (2) 17점 = 30점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.24 탐구 3011 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05, 12대수03-05]

제시문

[가] 접선의 방정식: 함수 $f(x)$가 $x = a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\mathrm{P}(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 \[ y - f(a) = f'(a)(x - a) \]

[나] 수열의 극한의 기본 성질: 수렴하는 두 수열 $\{a_n\},\ \{b_n\}$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_{n\to\infty} a_n}{\lim_{n\to\infty} b_n}$ (단, $b_n \ne 0,\ \lim_{n\to\infty} b_n \ne 0$)이고, 자연수 거듭제곱의 합은 $\displaystyle\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2},\ \sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6},\ \sum_{k=1}^{m} k^3 = \left\{\frac{m(m+1)}{2}\right\}^2$이다.

$곡선 $y = |h(x)|$와 영역 $A_n, B_n$ 및 점 $(-n, 0)$을 지나는 직선$

곡선 $y = |h(x)|$와 영역 $A_n, B_n$ 및 점 $(-n, 0)$을 지나는 직선

[논제 Ⅰ] [배점 30점] 자연수 $n$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$와 최고차항의 계수가 $2$인 이차함수 $g(x)$가 있다. 방정식 $f(x) = 0$의 근이 $0,\ -n$을 포함하고, 방정식 $g(x) = 0$의 두 근이 $0,\ n$이다. 함수 \[ h(x) = \begin{cases} f(x), & x \le 0 \\ g(x), & x > 0 \end{cases} \] 이 원점 $x = 0$에서 미분가능할 때, 오른쪽 그림과 같이 곡선 $y = |h(x)|$와 직선 $y = 0$으로 둘러싸인 두 영역 중에서 $y$축 왼쪽의 내부 영역(경계 제외)을 $A_n$, $y$축 오른쪽의 내부 영역(경계 제외)을 $B_n$이라 하자. 제시문 [가], [나]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $A_n$ 및 $B_n$에 속하는 점 중에서 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 격자점의 개수를 각각 $a_n,\ b_n$이라 할 때, 함수 $f(x)$의 식을 구하고 극한값 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n b_n}$을 구하시오. (풀이 과정을 자세히 기술하시오.) 13점

(2) 점 $(-n, 0)$을 지나고 기울기가 양수 $m\ (m > 0)$인 직선 $y = m(x + n)$이 곡선 $y = |h(x)|$와 만나는 교점의 개수를 기울기 $m$의 값의 범위에 따라 분류하고, 그 근거를 논술하시오. 17점

✏️ [제1회 모의 논제 Ⅰ] 답안 작성란 — 소문항 (1) (13점), 소문항 (2) (17점)의 수리적 논거와 단계별 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.

2027학년도 경희대학교 자연계열 실전모의고사 제1회 — [문항 2] 논제 Ⅱ (33점)

제1회 모의논술 (기출 유사 (난이도 ★★★☆☆)) · 확률과 통계 · 배점 33점 (권장 40분)

모집계열 자연계열 (제1회 논제 Ⅱ) 출제과목 확률과 통계 핵심개념 독립시행의 확률, 이산확률변수의 확률질량함수와 기댓값, 두 독립 확률변수의 최댓값과 조건부확률 배점 (1) 16점 + (2) 17점 = 33점

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.16 탐구 3012 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12확통02-05, 12확통02-07, 12확통03-02]

제시문

[다] 이산확률변수의 기댓값과 조건부확률: 이산확률변수 $X$의 확률질량함수가 $\mathrm{P}(X = x_i) = p_i\ (i = 1, 2, \dots, n)$일 때 기댓값은 $\mathrm{E}(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$이다. 또한 두 사건 $A, B$에 대하여 $\mathrm{P}(A) > 0$일 때 사건 $A$가 일어났을 때의 사건 $B$의 조건부확률은 $\mathrm{P}(B \mid A) = \dfrac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$이다.

[논제 Ⅱ] [배점 33점] 어느 생명공학 연구소에서 배양 중인 미생물의 현재 활성 지수는 $27$이다. 이 미생물의 활성 지수는 $1$시간이 지날 때마다 확률 $\dfrac{2}{3}$로 직전 시간의 $3$배($\mathrm{U}$)가 되고, 확률 $\dfrac{1}{3}$로 직전 시간의 $\dfrac{1}{3}$배($\mathrm{D}$)가 되며, 매 시간의 변화는 서로 독립이다. 연구소는 $3$시간 뒤, $3$시간 후의 활성 지수 $S_3$이 $1$시간 후, $2$시간 후, $3$시간 후 세 활성 지수 $S_1, S_2, S_3$의 산술평균 $M = \dfrac{S_1 + S_2 + S_3}{3}$보다 크면 그 차이 $B = S_3 - M$을 배양 성과금 지수로 부여하고, $S_3 \le M$이면 $B = 0$으로 부여한다. 제시문 [다]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $3$시간 동안 일어날 수 있는 $8$가지 변화 경로에 대하여 배양 성과금 지수 $B$가 가질 수 있는 모든 값과 그 확률분포를 구하고, $B$의 기댓값 $\mathrm{E}(B)$를 구하시오. 16점

(2) 연구소에서 동일한 초기 활성 지수 $27$을 갖는 두 배양 용기 $\mathrm{A}, \mathrm{C}$를 서로 독립적으로 $3$시간 동안 배양한 뒤, 두 용기의 배양 성과금 지수 $B_{\mathrm{A}}, B_{\mathrm{C}}$ 중 더 큰 값을 최종 성과금 지수 $Z = \max(B_{\mathrm{A}}, B_{\mathrm{C}})$로 정한다. 이때 $Z \le 18$인 것이 확인되었을 때, $Z = 18$일 조건부확률 $\mathrm{P}(Z = 18 \mid Z \le 18)$을 구하고 그 근거를 논술하시오. 17점

✏️ [제1회 모의 논제 Ⅱ] 답안 작성란 — 소문항 (1) (16점), 소문항 (2) (17점)의 수리적 논거와 단계별 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.

2027학년도 경희대학교 자연계열 실전모의고사 제1회 — [문항 3] 논제 Ⅲ (37점)

제1회 모의논술 (기출 유사 (난이도 ★★★☆☆)) · 기하 · 수학Ⅰ · 배점 37점 (권장 45분)

모집계열 자연계열 (제1회 논제 Ⅲ) 출제과목 기하 · 수학Ⅰ 핵심개념 평면 위에서 서로 외접하는 세 구, 정사영의 넓이와 이면각, 코사인법칙, 삼수선의 정리 배점 (1) 15점 + (2) 22점 = 37점

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.26 탐구 3013 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05, 12대수02-03]

제시문

[라] 정사영의 넓이와 삼수선의 정리: 평면 $\beta$ 위의 도형의 넓이를 $S$, 이 도형의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이를 $S'$이라 할 때, 두 평면이 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 하면 $S' = S\cos\theta$이다. 또한 평면 $\alpha$ 밖의 점 $\mathrm{O}$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P}$, 점 $\mathrm{P}$에서 평면 $\alpha$ 위의 직선 $l$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\overline{\mathrm{OH}} \perp l$이다.

$평면 $\alpha$ 위에서 서로 외접하는 반지름 $1, 2, 4$인 세 구 $\mathrm{O}_1, \mathrm{O}_2, \mathrm{O}_3$$

평면 $\alpha$ 위에서 서로 외접하는 반지름 $1, 2, 4$인 세 구 $\mathrm{O}_1, \mathrm{O}_2, \mathrm{O}_3$

[논제 Ⅲ] [배점 37점] 오른쪽 그림과 같이 평면 $\alpha$의 같은 쪽에 놓여 평면 $\alpha$에 각각 접하고 반지름의 길이가 $r_1 = 1,\ r_2 = 2,\ r_3 = 4$이며 중심이 각각 $\mathrm{O}_1,\ \mathrm{O}_2,\ \mathrm{O}_3$인 세 구가 서로 외접하고 있다. 세 중심 $\mathrm{O}_1, \mathrm{O}_2, \mathrm{O}_3$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \mathrm{P}_3$이라 하자. 제시문 [라]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 세 점 $\mathrm{O}_1, \mathrm{O}_2, \mathrm{O}_3$이 결정하는 평면을 $\beta$라 할 때, 삼각형 $\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{O}_3$의 넓이와 삼각형 $\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3$의 넓이를 각각 구하고, 두 평면 $\alpha, \beta$가 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$의 값을 구하시오. 15점

(2) 직선 $\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2$가 평면 $\alpha$와 만나는 점을 $\mathrm{A}$, 직선 $\mathrm{O}_2\mathrm{O}_3$이 평면 $\alpha$와 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{O}_3\mathrm{AB}$의 넓이를 $S_1$, 삼각형 $\mathrm{P}_3\mathrm{AO}_2$의 넓이를 $S_2$라 할 때, $S_1,\ S_2$ 및 $\dfrac{S_2}{S_1}$의 값을 구하고 그 근거를 논술하시오. 22점

✏️ [제1회 모의 논제 Ⅲ] 답안 작성란 — 소문항 (1) (15점), 소문항 (2) (22점)의 수리적 논거와 단계별 풀이 과정을 구분하여 서술하시오.