[조건 수식 확인]: \(t = 2^x\) , \(4^x = t^2,\; 2^{x+1} = 2t\) , \(\phi(t) = (t - p)^2 + q\) , \(t > 0, p > 0\) , \(t = p\) , \(q\) , \(f(x) = 4^x - 3\cdot 2^{x+1} + 8\) , \(f(x) = 0\) , \(x_1, x_2\) , \(x_1 < x_2\) , \(f(x)\) , \(x_0\) , \(m\) , \(f(x) \le 15\)

[해법 1 [개념 연결] — 문항 1-1 해설]: \(t = 2^x > 0\)으로 치환하면 \(t^2 - 6t + 8 = (t-2)(t-4) = 0\)에서 \(t = 2, 4\)이므로 \(x_1 = 1,\; x_2 = 2\)이다.

[해법 2 [수식 도출] — 문항 1-2 해설]: \(\phi(t) = (t - 3)^2 - 1\)은 \(t = 2^{x_0} = 3\), 즉 \(x_0 = \log_2 3\)일 때 최솟값 \(m = -1\)을 갖는다.

[해법 3 [결론 완성] — 문항 1-3 해설]: \(t^2 - 6t + 8 \le 15 \implies (t - 7)(t + 1) \le 0\)이고 \(t > 0\)이므로 \(0 < 2^x \le 7\)이다. \(x \ge 0\)인 정수는 \(x = 0, 1, 2\) (\(2^x = 1, 2, 4 \le 7\))로 총 \(3\)개이다.

[조건 수식 확인]: \(x\) , \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\) , \(x^2 + y^2 = 1\) , \(\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)\) , \(y\) , \(\sin\theta\) , \(2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0\) , \(\sin x\) , \(\theta_1 < \theta_2 < \theta_3\) , \(\mathrm{P}_i(\cos\theta_i, \sin\theta_i)\) , \(i = 1, 2, 3\) , \(\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3\) , \(S\)

[해법 1 [개념 연결] — 문항 2-1 해설]: \(2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x - 3 = 0 \implies 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = (2\sin x - 1)(\sin x - 1) = 0\)이므로 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = 1\)이다.

[해법 2 [수식 도출] — 문항 2-2 해설]: 구간 \([0, 2\pi]\)에서 해는 \(\theta_1 = \dfrac{\pi}{6},\; \theta_2 = \dfrac{\pi}{2},\; \theta_3 = \dfrac{5\pi}{6}\)이며 세 근의 합은 \(\dfrac{3\pi}{2}\)이다.

[해법 3 [결론 완성] — 문항 2-3 해설]: 세 점은 \(\mathrm{P}_1\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right),\; \mathrm{P}_2(0, 1),\; \mathrm{P}_3\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)이므로 밑변 \(\overline{\mathrm{P}_1\mathrm{P}_3} = \sqrt{3}\), 높이 \(1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\)이고 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\times\sqrt{3}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\)이다.

[조건 수식 확인]: \(w(x) = |x - \alpha|\,\psi(x)\) , \(x = \alpha\) , \(\psi(\alpha) = 0\) , \(w'(x) = 0\) , \(a\) , \(w(x) = |x^2 - 4|(x + a)\) , \(w'(-2)\) , \(x\) , \(\beta\) , \(w(\beta)\)

[해법 1 [개념 연결] — 문항 3-1 해설]: \(w(x) = |x-2||x+2|(x+a)\)가 \(x = -2\)에서 미분가능하려면 \(-2 + a = 0 \implies a = 2\)이다. 이때 \(w(x) = |x-2|(x+2)^2\)이므로 \(w'(-2) = 0\)이다.

[해법 2 [수식 도출] — 문항 3-2 해설]: \(x = 2\)에서 우미분계수는 \(\lim_{x\to 2+}(x+2)^2 = 16\), 좌미분계수는 \(\lim_{x\to 2-}-(x+2)^2 = -16\)으로 서로 달라 미분불가능하다.

[해법 3 [결론 완성] — 문항 3-3 해설]: 구간 \((-2, 2)\)에서 \(w(x) = (2 - x)(x + 2)^2 = -x^3 - 2x^2 + 4x + 8\)이고 \(w'(x) = -3x^2 - 4x + 4 = -(3x - 2)(x + 2) = 0\)이므로 \(\beta = \dfrac{2}{3}\)에서 극댓값 \(w\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{64}{9} = \dfrac{256}{27}\)을 갖는다.

[조건 수식 확인]: \(f(t)\) , \(G(x) = \displaystyle\int_a^x (x - t)f(t)\,dt = x\int_a^x f(t)\,dt - \int_a^x t f(t)\,dt\) , \(G'(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) , \(G''(x) = f(x)\) , \(f(x)\) , \(\displaystyle\int_1^x (x - t)f(t)\,dt = x^3 - 6x^2 + 9x - 4\) , \(\displaystyle\int_1^x f(t)\,dt\) , \(G(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4\) , \(\displaystyle\int_1^4 |f(x)|\,dx\)

[해법 1 [개념 연결] — 문항 4-1 해설]: 양변을 \(x\)로 미분하면 \(\displaystyle\int_1^x f(t)\,dt = 3x^2 - 12x + 9\)이고, 다시 \(x\)로 미분하면 \(f(x) = 6x - 12\)이다.

[해법 2 [수식 도출] — 문항 4-2 해설]: \(G'(x) = 3(x-1)(x-3) = 0\)이므로 \(x = 1\)에서 극댓값 \(G(1) = 0\), \(x = 3\)에서 극솟값 \(G(3) = -4\)를 갖는다.

[해법 3 [결론 완성] — 문항 4-3 해설]: \(f(x) = 6(x - 2)\)는 \(x = 2\)에서 부호가 바뀌므로 \(\displaystyle\int_1^4 |6x - 12|\,dx = \int_1^2 (12 - 6x)\,dx + \int_2^4 (6x - 12)\,dx = 3 + 15 = 18\)이다.

[조건 수식 확인]: \(\mathrm{C}(a, b, c)\) , \(r\) , \(S\) , \(\mathrm{O}\) , \(\mathrm{T}\) , \(\angle \mathrm{OTC} = 90^\circ\) , \(\overline{\mathrm{OT}} = \sqrt{\overline{\mathrm{OC}}^2 - r^2}\) , \(r' = \dfrac{r\cdot\overline{\mathrm{OT}}}{\overline{\mathrm{OC}}}\) , \(S : (x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 9\) , \(\mathrm{O}(0, 0, 0)\) , \(\mathrm{C}\) , \(\overline{\mathrm{OC}}\) , \(\overline{\mathrm{OT}}\) , \(\mathrm{OT}\) , \(\alpha\) , \(\sin\alpha\) , \(\cos\alpha\) , \(C_0\) , \(r'\) , \(\pi\) , \(\overline{\mathrm{OH}}\)

[해법 1 [개념 연결] — 문항 5-1 해설]: 중심 \(\mathrm{C}(2, 4, 4)\), 반지름 \(r = 3\)이므로 \(\overline{\mathrm{OC}} = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6\)이고, \(\overline{\mathrm{OT}} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}\)이다.

[해법 2 [수식 도출] — 문항 5-2 해설]: 직각삼각형 \(\mathrm{OTC}\)에서 \(\sin\alpha = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2},\; \cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)이다. 접점 원의 반지름은 \(r' = \overline{\mathrm{OT}}\sin\alpha = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)이고 넓이는 \(\pi (r')^2 = \dfrac{27\pi}{4}\)이다.

[해법 3 [결론 완성] — 문항 5-3 해설]: 직각삼각형 \(\mathrm{OTC}\)에서 빗변 \(\mathrm{OC}\)에 내린 수선의 발이 \(\mathrm{H}\)이므로 \(\overline{\mathrm{OH}} = \overline{\mathrm{OT}}\cos\alpha = 3\sqrt{3}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{9}{2}\)이다.