🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅹ (파이널 종합 점검) | 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.19 탐구 3101 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]
[제시문 (가)] \(t = 2^x\)로 치환하면 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(t > 0\)이며, \(4^x = t^2,\; 2^{x+1} = 2t\)로 변환된다.
[제시문 (나)] 이차함수 \(\phi(t) = (t - p)^2 + q\) (\(t > 0, p > 0\))는 \(t = p\)일 때 최솟값 \(q\)를 갖는다.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = 4^x - 3\cdot 2^{x+1} + 8\)에 대하여 제시문 (가), (나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 방정식 \(f(x) = 0\)의 모든 실근 \(x_1, x_2\) (\(x_1 < x_2\))를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 함수 \(f(x)\)가 최솟값을 갖는 \(x\)의 값 \(x_0\)와 그때의 최솟값 \(m\)을 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 부등식 \(f(x) \le 15\)를 만족시키는 정수 \(x\)의 개수를 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제10회 문항 1 답안 작성란 (20점)]
• [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점): 풀이의 핵심 단계마다 사용한 정리와 계산 근거를 명확히 서술하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅹ (파이널 종합 점검) | 대수 Ⅱ. 삼각함수
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.40 탐구 3102 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
[제시문 (가)] 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)가 성립한다.
[제시문 (나)] 단위원 \(x^2 + y^2 = 1\) 위의 점 \(\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)\)의 \(y\)좌표는 \(\sin\theta\)이다.
구간 \([0, 2\pi]\)에서 정의된 삼각방정식 \(2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0\)에 대하여 제시문 (가), (나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 \(\sin x\)의 값을 모두 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 구간 \([0, 2\pi]\)에서 주어진 방정식의 서로 다른 모든 실근 \(\theta_1 < \theta_2 < \theta_3\)을 구하고, 세 실근의 합을 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 단위원 \(x^2 + y^2 = 1\) 위의 세 점 \(\mathrm{P}_i(\cos\theta_i, \sin\theta_i)\) (\(i = 1, 2, 3\))를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3\)의 넓이 \(S\)를 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제10회 문항 2 답안 작성란 (20점)]
• [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점): 풀이의 핵심 단계마다 사용한 정리와 계산 근거를 명확히 서술하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅹ (파이널 종합 점검) | 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ. 다항함수의 미분법 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.26 탐구 3103 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07]
[제시문 (가)] 함수 \(w(x) = |x - \alpha|\,\psi(x)\)가 \(x = \alpha\)에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 \(\psi(\alpha) = 0\)이다.
[제시문 (나)] 미분가능한 구간에서 \(w'(x) = 0\)이고 좌우에서 도함수 부호가 바뀌는 점에서 극값을 갖는다.
실수 \(a\)에 대하여 함수 \(w(x) = |x^2 - 4|(x + a)\)가 \(x = -2\)에서 미분가능할 때, 제시문 (가), (나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 상수 \(a\)의 값과 \(x = -2\)에서의 미분계수 \(w'(-2)\)의 값을 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 함수 \(w(x)\)가 \(x = 2\)에서 미분가능한지 좌미분계수와 우미분계수를 비교하여 판정하시오.
[문항 3-3] (7점) 열린구간 \((-2, 2)\)에서 함수 \(w(x)\)가 극댓값을 갖는 \(x\)의 값 \(\beta\)와 그때의 극댓값 \(w(\beta)\)를 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제10회 문항 3 답안 작성란 (20점)]
• [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점): 풀이의 핵심 단계마다 사용한 정리와 계산 근거를 명확히 서술하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅹ (파이널 종합 점검) | 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ. 다항함수의 적분법 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.25 탐구 3104 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
[제시문 (가)] 연속함수 \(f(t)\)에 대하여 \(G(x) = \displaystyle\int_a^x (x - t)f(t)\,dt = x\int_a^x f(t)\,dt - \int_a^x t f(t)\,dt\)를 \(x\)에 대하여 미분하면 \(G'(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\)이고, 한 번 더 미분하면 \(G''(x) = f(x)\)이다.
다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\int_1^x (x - t)f(t)\,dt = x^3 - 6x^2 + 9x - 4\)를 만족시킬 때, 제시문 (가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 양변을 \(x\)에 대하여 미분하여 \(\displaystyle\int_1^x f(t)\,dt\)를 구하고, 함수 \(f(x)\)를 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 함수 \(G(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 정적분 \(\displaystyle\int_1^4 |f(x)|\,dx\)의 값을 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제10회 문항 4 답안 작성란 (20점)]
• [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점): 풀이의 핵심 단계마다 사용한 정리와 계산 근거를 명확히 서술하시오.
🎯 자연계열 수리논술 심화 트랙 Ⅹ (파이널 종합 점검) | 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표
[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03) PDF p.44 탐구 3105 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
[제시문 (가)] 중심이 \(\mathrm{C}(a, b, c)\)이고 반지름이 \(r\)인 구 \(S\) 밖의 점 \(\mathrm{O}\)에서 구에 그은 접선의 접점을 \(\mathrm{T}\)라 하면 \(\angle \mathrm{OTC} = 90^\circ\)이므로 \(\overline{\mathrm{OT}} = \sqrt{\overline{\mathrm{OC}}^2 - r^2}\)이다.
[제시문 (나)] 점 \(\mathrm{O}\)에서 구 \(S\)에 그은 모든 접점 \(\mathrm{T}\)의 자취는 반지름이 \(r' = \dfrac{r\cdot\overline{\mathrm{OT}}}{\overline{\mathrm{OC}}}\)인 원이다.
좌표공간에서 구 \(S : (x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 9\) 밖의 원점 \(\mathrm{O}(0, 0, 0)\)에서 구 \(S\)에 그은 접선의 접점을 \(\mathrm{T}\)라 할 때, 제시문 (가), (나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 구 \(S\)의 중심 \(\mathrm{C}\)에서 원점 \(\mathrm{O}\)까지의 거리 \(\overline{\mathrm{OC}}\)와 접선의 길이 \(\overline{\mathrm{OT}}\)를 각각 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 직선 \(\mathrm{OC}\)와 접선 \(\mathrm{OT}\)가 이루는 예각 \(\alpha\)에 대하여 \(\sin\alpha\)와 \(\cos\alpha\)의 값을 구하고, 모든 접점 \(\mathrm{T}\)가 이루는 원 \(C_0\)의 반지름 \(r'\)과 넓이를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 원 \(C_0\)를 포함하는 평면을 \(\pi\)라 할 때, 원점 \(\mathrm{O}\)에서 평면 \(\pi\)까지의 거리 \(\overline{\mathrm{OH}}\)를 구하시오.
[경희대학교(자연계열) 제10회 문항 5 답안 작성란 (20점)]
• [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점): 풀이의 핵심 단계마다 사용한 정리와 계산 근거를 명확히 서술하시오.