2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 7회 문제집  |  7회 : 유리수 지수의 거듭제곱 · 코사인법칙과 사인법칙을 · 무한대 극한과 영인자 · 절댓값 인수를 포함한 · 상수 구간 정적분을 포
2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (문제집) 90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형

[대문항 1] 유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)
[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.9 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
<제시문 (가)> 양수 \(x\)에 대하여 \(u = x^{1/2}\;\left(u + u^{-1} = \sqrt{209}\right)\)로 치환하면 지수법칙에 의하여 \(x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = 207\)이다.
<제시문 (나)> \(u + u^{-1} = \sqrt{209}\)일 때 세제곱 곱셈 공식 \(u^3 + u^{-3} = (u + u^{-1})^3 - 3(u + u^{-1}) = 206\sqrt{209}\)이 성립한다.
양수 \(x\)가 \(x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{209}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 \(x + x^{-1} = 207\)임을 보이고 \(x^2 + x^{-2} = 42847\)의 값을 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 206\sqrt{209}\)과 \(x^3 + x^{-3} = 8869122\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 \(\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{8869124}{206\sqrt{209}}\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]
<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=594,\; c=990\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=1386\right)\)이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 2970\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{2970}{2}r\)가 성립한다.
삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 594,\; c = 990\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=594\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 1386\)의 길이를 유도하시오.
[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{1386\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{588060\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{198\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 3] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 3x^3}{x^2} = -1410\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(3\)인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 201} \dfrac{f(x)}{(x - 201)^2} = 399\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 201)^2(3x + r)\) 꼴로 인수분해된다.
삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 3x^3}{x^2} = -1410\)과 \(\lim_{x \to 201} \dfrac{f(x)}{(x - 201)^2} = 399\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 201)^2(3x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -204\)을 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 201)^2(3x + -204)\)이 무한대 극한 조건 \(-1410\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.
[문항 3-3] (7점) 함숫값 \(f(203) = 1620\)의 값과 \(x = 201\)에서의 미분계수 \(f'(201) = 0\)의 값을 각각 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 4] 절댓값 인수를 포함한 다항 곱함수의 실수 전체 미분가능 조건 증명 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]
<제시문 (가)> 이차함수 \(P(x) = x^2 - 401x + 40198\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 202|P(x)\)가 \(x = 202\)에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 좌·우미분계수가 일치하여 \(P(202) = 0\)인 것이다.
<제시문 (나)> \(P(x) = (x - 202)(x - 199)\)일 때 구간 \(x \lt 202\)에서 \(h(x) = -(x - 202)^2(x - 199)\)로 표현된다.
이차함수 \(P(x) = x^2 - 401x + 40198\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 202|P(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) \(x = 202\)에서의 우미분계수 \(P(202)\)와 좌미분계수 \(-P(202)\)를 미분계수 정의로 구하고 \(P(202) = 0\)임을 확인하시오.
[문항 4-2] (7점) 구간 \(x \lt 202\)에서 도함수 \(h'(x) = -3(x - 202)(x - 200)\)을 유도하시오.
[문항 4-3] (7점) \(x \ne 202\)에서 도함수가 영이 되는 \(x = 200\)의 값과 그때의 함숫값 \(h(200) = -4\;(\text{기준점 } 202)\)를 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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[대문항 5] 상수 구간 정적분을 포함한 프레드홀름 항등식의 치환 해법 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)
[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]
<제시문 (가)> 상수 구간 정적분 \(A = \int_0^1 f(t)\,dt\;\left(c = 611\right)\)는 적분변수와 무관한 상수이므로, 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4Ax + 611\)을 양변 \([0, 1]\)에서 다시 적분하면 \(A = 204\)에 대한 일차방정식을 얻는다.
<제시문 (나)> 대칭 구간 \([-1, 1]\)에서 기함수의 정적분은 소거되고 우함수의 정적분은 \(2\int_0^1 (3x^2 + 611)\,dx = 1224\)이다.
연속함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4x\int_0^1 f(t)\,dt + 611\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 정적분을 상수 \(A\)로 치환하고 \(A = \int_0^1 (3t^2 - 4At + 611)\,dt\)를 풀어 상수 \(A = 204\)과 함수 \(f(x)\)를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 함수 \(f(x) = 3x^2 - 816x + 611\)이 극솟값을 갖는 좌표 \(x = \dfrac{408}{3}\)와 함숫값 \(f(1) = -202\)을 각각 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 제시문 (나)의 우·기함수 대칭성을 이용하여 \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 816x + 611)\,dx = 1224\)의 값을 구하시오.
[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.
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