2027학년도 경기대학교 수리논술 심화 모의고사 3회 문제집

2027학년도 경기대학교 수리논술 심화 모의고사 (3회)

자연·공학계열 수리논술 파이널 심화 · 2022 개정 교육과정 완벽 반영

심화 킬러형 문항 1 (25.0점)

【문항 1】 조건부확률(베이즈 정리)과 모비율·표본비율($\hat{p}$)의 신뢰구간 [3회 심화] [확률과 통계 · 2022 개정]

[출처: (DB: KICE_2028) PDF p.2 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통03-06]

제시문 (가): 사건 $A_1, A_2$가 표본공간 $S$의 분할일 때, 임의의 사건 $B$ ($P(B)>0$)에 대하여 $P(A_i|B)=\dfrac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)}$이다.
제시문 (나): 모비율이 $p$인 모집단에서 크기 $n$인 표본을 임의추출할 때 표본비율 $\hat{p}$은 $n$이 충분히 크면 근사적으로 정규분포 $N\left(p, \dfrac{p(1-p)}{n}\right)$를 따른다. (단, $P(|Z|\le 1.96)=0.95$)

[1-1] 반도체 라인 $A_1, A_2$의 생산 비중이 각각 $60\%, 40\%$이고 불량률이 각각 $2\%, 5\%$일 때, 임의로 택한 1개의 웨이퍼가 불량품이었을 조건에서 $A_2$ 라인에서 생산되었을 조건부확률을 구하시오. (10.0점)

[1-2] 어느 대학 수리논술 응시자 모집단에서 크기 $n=400$인 표본을 임의추출하여 조사한 결과 표본비율이 $\hat{p}=0.64$였다. 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간 $[a, b]$를 구하고 $b-a$의 값을 서술하시오. (15.0점)

2027학년도 경기대학교 수리논술 심화 모의고사 (3회)

자연·공학계열 수리논술 파이널 심화 · 2022 개정 교육과정 완벽 반영

심화 킬러형 문항 2 (25.0점)

【문항 2】 평균값 정리와 초월 합성·역함수의 미분가능성 [3회 심화] [미적분 · 도함수의 활용]

[출처: 미래엔 (DB: CAL1_Ch02_미래엔) PDF p.5 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅱ-02-01]

제시문 (가): 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능하면 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$인 $c\in(a,b)$가 적어도 하나 존재한다.
제시문 (나): 실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 $f(x)=x^3+3x+1$의 역함수를 $g(x)$라 하고, 합성함수 $h(x)=f(2x-1)$이라 하자.

[2-1] 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 $x_1 < x_2$에 대하여 부등식 $f(x_2)-f(x_1) \ge 3(x_2-x_1)$이 성립함을 증명하시오. (10.0점)

[2-2] 역함수의 미분법을 이용하여 $g'(1)$과 $g'(5)$의 값을 구하고, 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(5, g(5))$에서의 접선의 방정식을 구하시오. (15.0점)

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심화 킬러형 문항 3 (25.0점)

【문항 3】 정적분으로 정의된 함수와 곡선 사이의 넓이 극한 [3회 심화] [미적분 · 정적분과 넓이]

[출처: 미래엔 (DB: CAL1_Ch03_미래엔) PDF p.8 예제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅱ-03-01]

제시문 (가): 연속함수 $f(t)$에 대하여 $F(x)=\int_{0}^{x} (x-t)f(t)\,dt$일 때, $F'(x)=\int_{0}^{x} f(t)\,dt$이고 $F''(x)=f(x)$이다.
제시문 (나): 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y=x^2$과 직선 $y=\dfrac{1}{n}x$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_n$이라 하자.

[3-1] 함수 $F(x)=\int_{0}^{x} (x-t)(3t^2+2t)\,dt$의 극댓값과 극솟값의 차를 구하시오. (12.0점)

[3-2] 넓이 $S_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내고, 무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty} n S_n$의 수렴 여부와 $\lim_{n\to\infty} n^3 S_n$의 값을 구하시오. (13.0점)

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심화 킬러형 문항 4 (25.0점)

【문항 4】 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영의 넓이 [3회 심화] [기하 · 공간벡터와 평면의 방정식]

[출처: 비상 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.2 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

제시문 (가): 공간좌표에서 점 $A(x_1, y_1, z_1)$을 지나고 법선벡터가 $\vec{n}=(a, b, c)$인 평면 $\alpha$의 방정식은 $a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$이다.
제시문 (나): 좌표공간에 세 점 $P(2, 0, 0), Q(0, 2, 0), R(0, 0, 2)$를 지나는 평면 $\alpha$와 $xy$평면($z=0$)이 있다.

[4-1] 세 점 $P, Q, R$을 지나는 평면 $\alpha$의 단위법선벡터와 평면 $\alpha$의 방정식을 구하고, 원점 $O(0,0,0)$에서 평면 $\alpha$까지의 거리를 구하시오. (12.0점)

[4-2] 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때 $\cos\theta$의 값을 구하고, 삼각형 $PQR$의 $xy$평면 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. (13.0점)