[1-1] 베이즈 정리 적용 (10.0점):
$P(A_1)=0.6, P(A_2)=0.4$이고 불량 사건 $B$에 대하여 $P(B|A_1)=0.02, P(B|A_2)=0.05$이다.
전확률 공식에 의해 $P(B)=0.6\times 0.02 + 0.4\times 0.05 = 0.012 + 0.020 = 0.032$이다.
따라서 $P(A_2|B)=\dfrac{P(A_2\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0.020}{0.032}=\dfrac{5}{8}$이다. 정답: $\dfrac{5}{8}$

[1-2] 모비율 $p$의 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간 (15.0점):
$n=400, \hat{p}=0.64$이므로 표준오차 추정값은 $\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\dfrac{0.64\times 0.36}{400}}=\dfrac{0.8\times 0.6}{20}=0.024$이다.
신뢰도 $95\%$ 신뢰구간은 $[0.64-1.96\times 0.024,\; 0.64+1.96\times 0.024]=[0.59296,\; 0.68704]$이며, 구간의 길이 $b-a=2\times 1.96\times 0.024=0.09408$이다. 정답: $b-a=0.09408$

[2-1] 평균값 정리 부등식 증명 (10.0점):
다항함수 $f(x)=x^3+3x+1$은 닫힌구간 $[x_1, x_2]$에서 연속이고 열린구간 $(x_1, x_2)$에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의해 $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(c)=3c^2+3$인 $c\in(x_1, x_2)$가 존재한다. 모든 실수 $c$에 대하여 $3c^2+3\ge 3$이고 $x_2-x_1>0$이므로 $f(x_2)-f(x_1)\ge 3(x_2-x_1)$이 성립한다. 증명 완결

[2-2] 역함수의 미분계수와 접선의 방정식 (15.0점):
$f(0)=1 \implies g(1)=0$이고 $f'(0)=3$이므로 $g'(1)=\dfrac{1}{f'(0)}=\dfrac{1}{3}$이다.
또한 $f(1)=5 \implies g(5)=1$이고 $f'(1)=6$이므로 $g'(5)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{6}$이다.
따라서 점 $(5, 1)$에서의 접선의 방정식은 $y-1=\dfrac{1}{6}(x-5)$, 즉 $y=\dfrac{1}{6}x+\dfrac{1}{6}$이다. 정답: $y=\dfrac{1}{6}x+\dfrac{1}{6}$

[3-1] 정적분으로 정의된 함수의 극값 (12.0점):
$F(x)=x\int_{0}^{x}(3t^2+2t)\,dt - \int_{0}^{x}t(3t^2+2t)\,dt$를 미분하면 $F'(x)=\int_{0}^{x}(3t^2+2t)\,dt=[t^3+t^2]_{0}^{x}=x^2(x+1)$이다.
$x=-1$에서 부호가 바뀌고 $x=0$에서는 부호가 바뀌지 않으나, 직접 적분하면 $F(x)=\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{1}{3}x^3$이므로 $x=-1$에서 극솟값 $F(-1)=-\dfrac{1}{12}$을 갖는다(구간 $[-1, 1]$에서 최댓값과 극솟값의 차는 $\dfrac{2}{3}$). 정답: 극솟값 $-\dfrac{1}{12}$

[3-2] 곡선 사이의 넓이와 극한 (13.0점):
$x^2=\dfrac{1}{n}x$의 교점은 $x=0, \dfrac{1}{n}$이므로 넓이 $S_n=\int_{0}^{1/n}\left(\dfrac{1}{n}x-x^2\right)dx=\dfrac{1}{6n^3}$이다.
따라서 $\sum_{n=1}^{\infty} n S_n = \dfrac{1}{6}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$은 수렴하고, $\lim_{n\to\infty} n^3 S_n = \dfrac{1}{6}$이다. 정답: $S_n=\dfrac{1}{6n^3},\; \lim_{n\to\infty}n^3 S_n=\dfrac{1}{6}$

[4-1] 공간 평면의 방정식과 거리 (12.0점):
세 점 $P(2,0,0), Q(0,2,0), R(0,0,2)$는 대칭이므로 법선벡터 $\vec{n}=(1,1,1)$, 단위법선벡터는 $\vec{u}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$이다.
평면 $\alpha$의 방정식은 $x+y+z-2=0$이며, 원점에서의 거리는 $d=\dfrac{|-2|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$이다. 정답: $x+y+z-2=0,\; d=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

[4-2] 이면각의 코사인과 정사영 넓이 (13.0점):
$xy$평면의 법선벡터 $\vec{k}=(0,0,1)$과 $\vec{n}=(1,1,1)$이 이루는 각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta=\dfrac{|\vec{n}\cdot\vec{k}|}{|\vec{n}||\vec{k}|}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$이다.
삼각형 $PQR$의 $xy$평면 위로의 정사영은 세 점 $O(0,0,0), P(2,0,0), Q(0,2,0)$을 꼭짓점으로 하는 직각삼각형 $OPQ$이므로 넓이는 $S'=\dfrac{1}{2}\times 2\times 2=2$이다(따라서 $\triangle PQR$의 넓이는 $2\sqrt{3}$). 정답: $\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{3},\; S'=2$