2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회)

2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (해설집) 90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형

[대문항 1] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.12 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{209}\right)\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 5\)가 되어 역수 수열은 공차가 \(5\)인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 \(n = 1\;(a_1 = 1/209)\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.

첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{209}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}\)을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 209\right)\)을 이용하여 \(b_n = 5n + 204\)와 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{5n + 204}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 1-3] (7점) 부분분수 항등식 \(5a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)을 이용하여 급수 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{54131}\)의 값을 유도하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(b_n = 5n + 204,\; a_n = \dfrac{1}{5n + 204}\) | [1-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [1-3] \(\dfrac{10}{209\times 259} = \dfrac{10}{54131}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 역수 치환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 209\right)\)에서 \(b_{n+1} - b_n = 5\)이므로 \(b_n = 209 + 5(n - 1) = 5n + 204\)이고 \(a_n = \dfrac{1}{5n + 204}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] (i) 초기항 \(a_1 = \dfrac{1}{209}\) 성립. (ii) \(a_k = \dfrac{1}{5k + 204}\)이라 가정하면 \(a_{k+1} = \dfrac{a_k}{5a_k + 1} = \dfrac{1}{5(k+1) + 204}\)이므로 모든 자연수에서 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 부분분수 분해에 의해 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{209} - \dfrac{1}{259}\right) = \dfrac{10}{54131}\)이다.

평가 소문항	경기대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역수 등차수열 \(b_n = 5n + 204\) 유도 +3점 / 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{5n + 204}\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 초기 조건 \(a_1 = \dfrac{1}{209}\) 확인 +2점 / 귀납 가정 후 \(a_{k+1} = \dfrac{1}{5(k+1) + 204}\) 연역 +5점
소문항 [1-3]	• 망원급수 변형 \(\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{209} - \dfrac{1}{259}\right)\) +4점 / 합 \(\dfrac{10}{54131}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 원래 점화식의 분모를 곱하면 \(5a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)이 바로 유도되어 망원급수 소거가 한 줄로 정리됩니다.

2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (해설집) 90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형

[대문항 2] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 3x^3}{x^2} = -1431\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(3\)인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 204} \dfrac{f(x)}{(x - 204)^2} = 405\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 204)^2(3x + r)\) 꼴로 인수분해된다.

삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 3x^3}{x^2} = -1431\)과 \(\lim_{x \to 204} \dfrac{f(x)}{(x - 204)^2} = 405\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 204)^2(3x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -207\)을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 204)^2(3x + -207)\)이 무한대 극한 조건 \(-1431\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 2-3] (7점) 함숫값 \(f(206) = 1644\)의 값과 \(x = 204\)에서의 미분계수 \(f'(204) = 0\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(r = -207\) | [2-2] 이차항 계수 \(-1431\) 일치 검증 완료 | [2-3] \(f(206) = 1644,\; f'(204) = 0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (나)의 극한식에 대입하면 \(\lim_{x \to 204} (3x + r) = 612 + r = 405\)이므로 \(r = -207\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 전개하면 \(f(x) = (x^2 - 408x + 41616)(3x + -207) = 3x^3 + (-1431)x^2 + \cdots\)이므로 이차항 계수 \(-1431\)이 정확히 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x = 206\)를 대입하면 \(f(206) = 4(618 + -207) = 1644\)이고, \((x - 204)^2\)을 인수로 가지므로 \(f'(204) = 0\)이다.

평가 소문항	경기대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 \(r = -207\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 삼차식 전개 후 이차항 계수 \(-1431\) 확인 +7점
소문항 [2-3]	• \(f(206) = 1644\) 산출 +4점 / 중근 성질로 \(f'(204) = 0\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분모에 \((x - 204)^2\)이 있을 때 극한이 수렴하려면 분자는 \(x = 204\)을 반드시 중근 이상으로 가져야 합니다.

2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (해설집) 90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형

[대문항 3] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 588x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 588\)인 \(c\)가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 588 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 588}\)이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 588x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 588(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.

[문항 3-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 591\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{588}\)와 \(g'(591) = \dfrac{1}{591}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((591, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{591}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(591)} = 1179\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(f'(c) = 3c^2 + 588 \ge 588\) 증명 완료 | [3-2] \(g'(2) = \dfrac{1}{588},\; g'(591) = \dfrac{1}{591}\) | [3-3] 접선 \(y = \dfrac{1}{591}x,\; \text{합 } 1179\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = 3c^2 + 588 \ge 588\)이고 \(x_2 - x_1 \gt 0\)이므로 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 588(x_2 - x_1)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 역함수 미분법에 의해 \(g'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{588}\)이고 \(g'(591) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{591}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 점 \((591, 1)\)에서의 접선은 \(y - 1 = \dfrac{1}{591}(x - 591) \implies y = \dfrac{1}{591}x\)이고, 역수의 합은 \(588 + 591 = 1179\)이다.

평가 소문항	경기대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 평균값 정리 선언 및 \(f'(c) = 3c^2 + 588 \ge 588\) 서술 +6점
소문항 [3-2]	• \(g'(2) = \dfrac{1}{588}\) 산출 +3점 / \(g'(591) = \dfrac{1}{591}\) 산출 +4점
소문항 [3-3]	• 접선 \(y = \dfrac{1}{591}x\) 유도 +4점 / 역수 합 \(1179\) 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 역함수의 미분계수 \(g'(591)\)를 구할 때는 \(f(a) = 591\)를 만족시키는 원함수 위의 점 \(a = 1\)을 먼저 찾아야 합니다.

2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (해설집) 90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형

[대문항 4] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 203)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (203, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{203} (-6x^2 + 1218x)\,dx = 8365427\)이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{203}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(8365427\)를 정확히 이등분한다.

포물선 \(C : y = -6x^2 + 1218x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 609x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 1218x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 8365427\)를 유도하시오.

[문항 4-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 8365427\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{203}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{203/2} (-6x^2 + 1218x)\,dx = \dfrac{8365427}{2}\)임을 확인하시오.

[문항 4-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 1218x\)와 직선 \(y = 609x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{8365427}{8}\)을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(S = 8365427\) | [4-2] \(k = \dfrac{203}{2},\; \text{정적분 } \dfrac{8365427}{2}\) | [4-3] 교점 \(x = 0, \dfrac{203}{2}\), 넓이 \(S_1 = \dfrac{8365427}{8}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 정적분을 계산하면 \(S = \left[-2x^3 + 609x^2\right]_0^{203} = -2(203)^3 + 3(203)^3 = 8365427\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 포물선의 대칭축 \(x = \dfrac{203}{2}\)에 의해 \(k = \dfrac{203}{2}\)이고, 실제로 \(\left[-2x^3 + 609x^2\right]_0^{203/2} = -\dfrac{8365427}{4} + \dfrac{3\times 8365427}{4} = \dfrac{8365427}{2}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 연립방정식 \(-6x^2 + 1218x = 609x \implies 6x\left(x - \dfrac{203}{2}\right) = 0\)이므로 교점은 \(x = 0, \dfrac{203}{2}\)이고 넓이는 \(S_1 = \int_0^{203/2} (-6x^2 + 609x)\,dx = \dfrac{8365427}{8}\)이다.

평가 소문항	경기대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 원시함수 \(-2x^3 + 609x^2\) 적분 +3점 / 넓이 \(S = 8365427\) 도출 +3점
소문항 [4-2]	• 대칭축 \(k = \dfrac{203}{2}\) 도출 +3점 / 구간 \([0, 203/2]\) 적분값 \(\dfrac{8365427}{2}\) 확인 +4점
소문항 [4-3]	• 교점 \(x = \dfrac{203}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S_1 = \dfrac{8365427}{8}\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 이차항 계수가 \(-6\)이고 두 교점의 차가 \(\beta - \alpha = \dfrac{203}{2}\)일 때 둘러싸인 넓이는 항상 \((\beta - \alpha)^3 = \dfrac{8365427}{8}\)이 됩니다.

2027학년도 대비 경기대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (해설집) 90분 / 100점 만점 · 대수·미적분Ⅰ 표준 논증형

[대문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 \(\mathrm{A}(594, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 594, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 594)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(x + y + z = 594\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 594)\)이다.
<제시문 (나)> 평면 \(x + y + z = 594\)와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta = \dfrac{352836}{2}\)가 성립한다.

좌표공간에서 세 점 \(\mathrm{A}(594, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 594, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 594)\)을 지나는 평면 \(x + y + z = 594\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 \(x + y + z - 594 = 0\)까지의 수선의 길이 \(d = 198\sqrt{3}\)를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 \(S' = \dfrac{352836}{2}\)와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 \(S = \dfrac{352836\sqrt{3}}{2}\)를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 \(V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 34930764\)를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(d = \dfrac{594}{\sqrt{3}} = 198\sqrt{3}\) | [5-2] \(S' = \dfrac{352836}{2},\; S = \dfrac{352836\sqrt{3}}{2}\) | [5-3] \(V = 34930764\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 점과 평면 사이의 거리 공식에서 \(d = \dfrac{594}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = 198\sqrt{3}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 정사영 넓이는 \(S' = \dfrac{352836}{2}\)이므로 \(S = \sqrt{3}S' = \dfrac{352836\sqrt{3}}{2}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 사면체 부피는 \(V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{352836\sqrt{3}}{2} \times 198\sqrt{3} = 34930764\)로 정확히 일치한다.

평가 소문항	경기대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 평면 \(x+y+z=594\) 및 법선벡터 확인 +3점 / 원점 거리 \(d = 198\sqrt{3}\) 산출 +3점
소문항 [5-2]	• 정사영 넓이 \(S' = \dfrac{352836}{2}\) 계산 +3점 / \(S = \dfrac{352836\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점
소문항 [5-3]	• 사면체 부피 대입 검증 +4점 / 부피 \(V = 34930764\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 기하(`12기하03-05`)에서 강화된 벡터를 이용한 평면의 방정식 \(x + y + z = 594\)과 정사영 넓이 공식을 결합한 핵심 문항입니다.

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