• [1-1] 역함수 대칭과 교점 거리:
$3^{x-1} + 2 = -x + 7$에서 좌변은 증가하고 우변은 감소하며 $x = 2$를 대입하면 $3^1 + 2 = 5 = -2 + 7$로 성립하므로 $A(2, 5)$이다.
역함수 대칭성에 의해 $B(5, 2)$이므로 $\overline{AB} = \sqrt{(5-2)^2 + (2-5)^2} = 3\sqrt{2}$이다.

• [1-2] 접점 방정식의 실근의 개수:
접점을 $(t, t^3 - 3t^2 + 2)$라 하면 접선의 $y$절편은 $k = (t^3 - 3t^2 + 2) - t(3t^2 - 6t) = -2t^3 + 3t^2 + 2 = \phi(t)$이다.
$\phi'(t) = -6t(t - 1) = 0$에서 극솟값은 $\phi(0) = 2$, 극댓값은 $\phi(1) = 3$이므로 서로 다른 세 접선을 그을 조건은 $2 < k < 3$이다.

• [1-3] 원래 함수와 역함수의 정적분 관계:
$g(0) = 1,\; g(2) = 8 + 4 + 1 = 13$이다.
$\int_0^2 (x^3 + 2x + 1)\,dx = \left[\frac{1}{4}x^4 + x^2 + x\right]_0^2 = 4 + 4 + 2 = 10$이다.
따라서 $\int_1^{13} h(x)\,dx = 2 \times 13 - 0 \times 1 - 10 = 16$이다.
또한 $\int_1^{13} \{x - h(x)\}\,dx = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_1^{13} - 16 = \frac{169 - 1}{2} - 16 = 84 - 16 = 68$이다.

• [2-1] 수학적 귀납법 증명:
(i) $n = 1$일 때 좌변 $= 1\cdot 2 = 2$, 우변 $= \frac{1\cdot 2\cdot 3}{3} = 2$이므로 성립한다.
(ii) $n = m$일 때 성립한다고 가정하면 $\sum_{k=1}^{m+1} k(k+1) = \frac{m(m+1)(m+2)}{3} + (m+1)(m+2) = \frac{(m+1)(m+2)(m+3)}{3}$이므로 $n = m + 1$일 때도 성립한다.

• [2-2] 쌍곡선의 초점·점근선과 정의:
$a = 4, b = 3 \implies c = 5$이므로 $F(5, 0)$이고 점근선은 $3x \pm 4y = 0$이다.
점 $F(5, 0)$에서 $3x - 4y = 0$까지의 거리는 $\overline{FH} = \frac{15}{5} = 3$이고 $\overline{OH} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$이므로 $\operatorname{Area}(\triangle OFH) = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$이다.
주축의 길이가 $2a = 8$이고 $\overline{PF} = 3$이므로 $\overline{PF'} = 8 + 3 = 11$이다.

• [2-3] 표본비율과 모비율의 신뢰구간 추정:
표본비율은 $\hat{p} = \frac{256}{400} = 0.64$이고 $1 - \hat{p} = 0.36$이다.
표준오차는 $\sqrt{\frac{0.64 \times 0.36}{400}} = \frac{0.8 \times 0.6}{20} = 0.024$이다.
신뢰도 $95\%$ 오차한계는 $1.96 \times 0.024 = 0.04704$이므로 모비율 $p$의 신뢰구간은 $[0.64 - 0.04704,\; 0.64 + 0.04704] = [0.59296,\; 0.68704]$이다.