QUESTIO NATURAL SCIENCE ESSAY
2027학년도 대입 수리논술 완벽 대비
광운대학교 [자연계열]
2027학년도 광운대학교 자연계열
실전모의고사 제9회 문제집
2026학년도 기출 유사 난이도 · 100점 만점 / 120분 실전 연습
QUESTIO 입시연구소 수학분과 전수 감수 · 도서출판 QUESTIO
2027 ADMISSION FINAL MOCK EXAM
【문제 1】 다음 글을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (1/2)
[50점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 14091 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12미적Ⅰ-02-05]
📌 【제시문】
1. 함수 $y = f(x)$와 그 역함수 $y = f^{-1}(x)$의 그래프는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.
2. 곡선 $y = g(x)$ 밖의 점 $(a, b)$에서 그은 접선의 개수는 접점의 $x$좌표 $t$에 대한 방정식 $b - g(t) = g'(t)(a - t)$의 서로 다른 실근의 개수와 같다.
3. 증가하는 연속함수 $f(x)$와 그 역함수 $f^{-1}(x)$에 대하여 $\int_a^b f(x)\,dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)\,dx = b f(b) - a f(a)$이다.
[1-1] 함수 $f(x) = 3^{x-1} + 2$의 역함수를 $f^{-1}(x)$라 할 때, 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = f^{-1}(x)$가 직선 $y = -x + 7$과 만나는 점을 각각 $A, B$라 하자. 선분 $AB$의 길이를 구하시오. (12점)
[1-2] 점 $(0, k)$에서 곡선 $y = x^3 - 3x^2 + 2$에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오. (16점)
【문제 1】 다음 글을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (2/2)
[50점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.16 탐구 14092 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]
[1-3] 실수 전체에서 증가하는 함수 $g(x) = x^3 + 2x + 1$의 역함수를 $h(x)$라 할 때, 정적분 $\int_0^2 g(x)\,dx$와 $\int_1^{13} h(x)\,dx$의 값을 각각 구하고, 두 곡선 $y = g(x),\; y = h(x)$와 직선 $x + y = 1,\; x + y = 15$로 둘러싸인 넓이 대신 $\int_1^{13} \{x - h(x)\}\,dx$의 값을 구하시오. (22점)
【문제 2】 다음 글을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (1/2)
[50점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 14093 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12기하01-01]
📌 【제시문】
1. 자연수 $n$에 대한 등식 또는 부등식을 수학적 귀납법으로 증명할 때는 $n=1$일 때의 성립 여부와 $n=k \implies n=k+1$의 연역 과정을 보인다.
2. 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$의 두 초점은 $(\pm\sqrt{a^2+b^2}, 0)$이고 점근선은 $y = \pm\frac{b}{a}x$이다.
3. 표본비율이 $\hat{p}$, 표본의 크기가 $n$일 때 모비율 $p$의 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간의 길이는 $2 \times 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$이다.
[2-1] 모든 자연수 $n$에 대하여 등식 $\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오. (14점)
[2-2] 쌍곡선 $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$의 양의 초점 $F$에서 점근선에 내린 수선의 발을 $H$라 할 때, 삼각형 $OFH$ ($O$는 원점)의 넓이와 쌍곡선 위의 점 $P$가 $\overline{PF'} - \overline{PF} = 8$, $\overline{PF} = 3$을 만족시킬 때 $\overline{PF'}$의 길이를 각각 구하시오. (16점)
【문제 2】 다음 글을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (2/2)
[50점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.12 탐구 14094 변형 | 성취기준: 12확통03-06]
[2-3] 어느 지역 유권자 중 $n = 400$명을 임의추출하여 정책 지지율을 조사한 결과 $256$명이 지지하였다. 표본비율 $\hat{p}$를 구하고, 모비율 $p$에 대한 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간 ($P(|Z| \le 1.96) = 0.95$)을 구하시오. (20점)