• [1-1] 연속 조건과 미분가능 조건 연립:
$x = 2$에서 미분계수가 일치하므로 $3(2)^2 - 2 = 2b(2) - 4 \implies 10 = 4b - 4 \implies b = \frac{7}{2}$이다.
연속 조건에서 $8 - 4 + a = \frac{7}{2}(4) - 8 + 6 \implies 4 + a = 12 \implies a = 8$이다.
따라서 $f(-1) = -1 + 2 + 8 = 9,\; f(3) = \frac{63}{2} - 12 + 6 = \frac{51}{2}$이므로 합은 $\frac{69}{2}$이다.

• [1-2] 사차함수의 도함수 근의 판별:
$g'(x) = 12x^3 - 24x^2 + 12kx = 12x(x^2 - 2x + k)$이다.
서로 다른 세 실근을 가지려면 $k \ne 0$이고 판별식 $D/4 = 1 - k > 0 \implies k < 1$ ($k \ne 0$)이다.
$k = -1$이면 $g'(x) = 12x(x^2 - 2x - 1)$이 아닌 정수 근을 위해 $g(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$ ($k = -2$)에서는 $x=0$에서 극대 $0$, $k=-1$일 때는 근과 계수의 관계로 계산하거나 $g(0)=0$이 극댓값이다.

• [1-3] 운동 방향 전환 시각과 절댓값 정적분 거리:
$v(t) = -3(t - 1)(t - 3) = 0$에서 운동 방향이 바뀌는 시각은 $t = 1$과 $t = 3$이다.
부정적분 $x(t) = -t^3 + 6t^2 - 9t$에 대하여 $x(0) = 0,\; x(1) = -4,\; x(3) = 0,\; x(4) = -4$이다.
따라서 $t = 0$부터 $t = 4$까지 실제로 움직인 총 거리는 $|-4 - 0| + |0 - (-4)| + |-4 - 0| = 4 + 4 + 4 = 12$이다.

• [2-1] 타원의 정의와 직각삼각형 피타고라스 정리:
$a = 4,\; b = \sqrt{7}$이므로 $c = \sqrt{16 - 7} = 3$이고 $\overline{F'F} = 6,\; \overline{PF} + \overline{PF'} = 8$이다.
$\overline{PF}^2 + \overline{PF'}^2 = 6^2 = 36$이므로 $2\overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 8^2 - 36 = 28 \implies \overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 14$이다.
따라서 삼각형 $PF'F$의 넓이는 $\frac{1}{2}\overline{PF}\cdot\overline{PF'} = 7$이다.

• [2-2] 평면의 방정식과 정사영 넓이:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1 \implies 2x + y + z - 4 = 0$이다.
법선벡터 $\vec{n} = (2, 1, 1)$의 크기는 $\sqrt{6}$이므로 원점 거리는 $d = \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$이다.
$\operatorname{Area}(\triangle OAB) = 4$이고 $xy$평면과의 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{6}}$이므로 $\operatorname{Area}(\triangle ABC) = 4\sqrt{6}$이다.

• [2-3] 중복조합을 이용한 분배 경우의 수:
(i) 각 상자에 적어도 $1$개 이상 담는 경우: $x + y + z + w = 11$ ($x, y, z, w \ge 1$)에서 $x' + y' + z' + w' = 7$이므로 ${}_4\mathrm{H}_7 = {}_{10}\mathrm{C}_7 = {}_{10}\mathrm{C}_3 = 120$가지이다.
(ii) $x \ge 3,\; y \ge 2,\; z \ge 0,\; w \ge 0$인 경우: $x'' = x - 3,\; y'' = y - 2$로 치환하면 $x'' + y'' + z + w = 6$이므로 ${}_4\mathrm{H}_6 = {}_9\mathrm{C}_6 = {}_9\mathrm{C}_3 = 84$가지이다.