• [1-1] 다항함수의 차수 및 계수 결정:
$f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 4$로 놓으면 $f(2) = 0$에서 $8 + 4a + 2b - 4 = 0 \implies 2a + b = -2$이다.
$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{(x-2)(x+2)} = \frac{f'(2)}{4} = 3 \implies f'(2) = 12$이다.
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$에서 $12 + 4a + b = 12 \implies 4a + b = 0$이므로 연립하면 $a = 1,\; b = -4$이다. 따라서 $f(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4$이다.

• [1-2] 평균값 정리 만족점 산출:
$f(3) = 27 + 9 - 12 - 4 = 20,\; f(0) = -4$이므로 평균변화율은 $\frac{20 - (-4)}{3 - 0} = 8$이다.
$f'(c) = 3c^2 + 2c - 4 = 8 \implies 3c^2 + 2c - 12 = 0$에서 $c > 0$이므로 $c = \frac{-1 + \sqrt{37}}{3}$이다.

• [1-3] 정적분으로 정의된 이차함수와 절댓값 정적분:
$H(t) = \int_0^3 (4x^2 - 4tx + t^2)\,dx = \left[\frac{4}{3}x^3 - 2tx^2 + t^2 x\right]_0^3 = 36 - 18t + 3t^2 = 3(t - 3)^2 + 9$이다.
따라서 $t = 3$일 때 최솟값 $9$를 갖는다.
또한 $\int_0^3 |2x - 3|\,dx = \int_0^{3/2} (3 - 2x)\,dx + \int_{3/2}^3 (2x - 3)\,dx = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$이다.

• [2-1] 부분합으로부터 일반항 및 망원급수 도출:
$a_1 = S_1 = 5$이고 $n \ge 2$일 때 $a_n = (2n^2 + 3n) - \{2(n-1)^2 + 3(n-1)\} = 4n + 1$ ($n=1$에서도 성립)이다.
따라서 $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{(4k+1)(4k+5)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{45}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{45} = \frac{2}{45}$이다.

• [2-2] 포물선의 접선과 초점 기하:
$y^2 = 12x = 4\cdot 3 x$이므로 초점은 $F(3, 0)$이다.
점 $P(3, 6)$에서의 접선 $l$은 $6y = 6(x + 3) \implies y = x + 3$이므로 $x$절편은 $A(-3, 0)$이다.
삼각형 $PAF$에서 밑변 $\overline{AF} = 6$, 높이 $y_P = 6$이고 $x_P = x_F = 3$이므로 $\angle PFA = \frac{\pi}{2}$인 직각이등변삼각형이다.
따라서 넓이는 $\frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$이고, $\overline{PA} = 6\sqrt{2}$이므로 둘레의 길이는 $12 + 6\sqrt{2}$이다.

• [2-3] 이산확률변수의 확률분포와 분산:
전체 경우의 수는 ${}_4\mathrm{C}_2 = 6$이고 가능한 합은 $X \in \{3, 4, 5, 6, 7\}$이다.
$P(X=3) = \frac{1}{6},\; P(X=4) = \frac{1}{6},\; P(X=5) = \frac{2}{6},\; P(X=6) = \frac{1}{6},\; P(X=7) = \frac{1}{6}$이다.
대칭성에 의해 $E(X) = 5$이고, $V(X) = \frac{1}{6}\{(-2)^2 + (-1)^2 + 0 + 1^2 + 2^2\} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$이다.
따라서 $V(6X - 5) = 36 V(X) = 36 \times \frac{5}{3} = 60$이다.