• [1-1] 진수 조건 및 로그부등식 풀이:
진수 조건에서 $x - 2 > 0,\; 10 - x > 0 \implies 2 < x < 10$이다.
부등식을 정리하면 $\log_3\{(x - 2)(10 - x)\} \ge \log_3 9$이므로 $(x - 2)(10 - x) \ge 9 \iff x^2 - 12x + 29 \le 0$이다.
근의 공식에서 $6 - \sqrt{7} \le x \le 6 + \sqrt{7}$이고 $2 < \sqrt{7} < 3$이므로 $3.xx \le x \le 8.xx$이다.
따라서 정수 $x$는 $4, 5, 6, 7, 8$ ($5$개)이며 그 합은 $4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30$이다.

• [1-2] 역수 치환 등차수열과 부분분수 급수:
양변의 역수를 취하면 $\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 2$이고 $\frac{1}{a_1} = 1$이므로 $\frac{1}{a_n} = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1 \implies a_n = \frac{1}{2n - 1}$이다.
따라서 $\sum_{k=1}^{12} a_k a_{k+1} = \sum_{k=1}^{12} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{25}\right) = \frac{12}{25}$이다.

• [1-3] 포물선 넓이 이등분과 접선 넓이 계산:
포물선 $y = -x^2 + 6x$와 $x$축으로 둘러싸인 넓이는 $S_1 = \frac{6^3}{6} = 36$이다.
직선 $y = mx$와의 교점은 $x = 0,\; 6 - m$이므로 둘러싸인 넓이는 $S_2 = \frac{(6 - m)^3}{6}$이다.
$S_2 = \frac{1}{2}S_1 = 18$에서 $(6 - m)^3 = 108$이다.
한편 점 $(3, 9)$는 포물선의 꼭짓점이므로 접선은 $y = 9$이고, 피적분함수는 $9 - (-x^2 + 6x) = (x - 3)^2$이다.
따라서 둘러싸인 넓이는 $\int_0^6 (x - 3)^2\,dx = 2\int_0^3 u^2\,du = 2\left[\frac{1}{3}u^3\right]_0^3 = 18$이다.

• [2-1] 코사인법칙과 사인법칙 적용:
$\overline{BC}^2 = 4^2 + 6^2 - 2\cdot 4\cdot 6\cos\frac{\pi}{3} = 16 + 36 - 24 = 28$이므로 $\overline{BC} = 2\sqrt{7}$이다.
사인법칙에서 $2R = \frac{2\sqrt{7}}{\sin(\pi/3)} = \frac{4\sqrt{21}}{3}$이므로 $R = \frac{2\sqrt{21}}{3}$이다.

• [2-2] 삼차함수의 극값과 변곡접선:
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0$에서 극댓값은 $f(1) = k + 4$, 극솟값은 $f(3) = k$이다.
$k + 4 = 3k \implies k = 2$이므로 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$이다.
변곡점의 $x$좌표는 $x = 2$이고 $f(2) = 4,\; f'(2) = -3$이므로 변곡접선은 $y - 4 = -3(x - 2) \implies y = -3x + 10$이다.

• [2-3] 전체확률의 법칙과 베이즈 정리 적용:
주사위에서 $3$의 배수가 나올 확률은 $P(A) = \frac{1}{3}$, 그 외의 확률은 $P(B) = \frac{2}{3}$이다.
상자 $A$에서 꺼낸 $2$개의 공의 색이 다를 확률은 $P(E \mid A) = \frac{{}_3\mathrm{C}_1 \cdot {}_2\mathrm{C}_1}{{}_5\mathrm{C}_2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$이다.
상자 $B$에서 꺼낸 $2$개의 공의 색이 다를 확률은 $P(E \mid B) = \frac{{}_2\mathrm{C}_1 \cdot {}_4\mathrm{C}_1}{{}_6\mathrm{C}_2} = \frac{8}{15}$이다.
따라서 $P(E) = \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{5} + \frac{2}{3}\cdot\frac{8}{15} = \frac{3}{15} + \frac{16}{45} = \frac{25}{45} = \frac{5}{9}$이고, $P(A \mid E) = \frac{9/45}{25/45} = \frac{9}{25}$이다.