• [1-1] 이차방정식 근의 분리 조건 도출:
이차방정식 $x^2 - 2(k-1)x + (2k+1) = 0$의 두 근을 $\alpha, \beta$라 하자.
서로 다른 두 음의 실근을 갖기 위한 조건은 다음과 같다.
(1) 판별식 $D/4 > 0$:
$$D/4 = (k-1)^2 - (2k+1) = k^2 - 2k + 1 - 2k - 1 = k^2 - 4k = k(k-4) > 0$$
$\implies k < 0$ 또는 $k > 4$.
(2) 두 근의 합 $\alpha + \beta < 0$:
$$\alpha + \beta = 2(k-1) < 0 \implies k < 1$$.
(3) 두 근의 곱 $\alpha\beta > 0$:
$$\alpha\beta = 2k + 1 > 0 \implies k > -\frac{1}{2}$$.
세 조건의 공통 범위를 구하면:
- $k < 0$ 또는 $k > 4$
- $k < 1$
- $k > -\frac{1}{2}$
따라서 $-\frac{1}{2} \lt k \lt 0$이다.

• [1-2] 대칭성을 이용한 정적분의 계산:
피적분함수를 전개하면
$$(2x^3 - 3x + 4)f(x) = (2x^3 - 3x)f(x) + 4f(x)$$
함수 $f(x)$는 우함수($f(-x) = f(x)$)이고, $g(x) = 2x^3 - 3x$는 기함수($g(-x) = -g(x)$)이다.
기함수와 우함수의 곱 $(2x^3 - 3x)f(x)$는 기함수이다.
따라서 대칭구간 $[-3, 3]$에서의 기함수의 정적분은 $0$이다.
$$\int_{-3}^3 (2x^3 - 3x)f(x) dx = 0$$
우함수 $4f(x)$의 정적분은
$$\int_{-3}^3 4f(x) dx = 4 \times 2 \int_0^3 f(x) dx = 8 \int_0^3 f(x) dx$$
조건에서 $\int_0^3 f(x) dx = 5$이므로
$$\int_{-3}^3 (2x^3 - 3x + 4)f(x) dx = 8 \times 5 = 40$$이다.

• [1-3] 격자 위 직사각형 및 정사각형 개수와 극한 계산:
$n \times n$ 격자에는 가로 방향 선분이 $n+1$개, 세로 방향 선분이 $n+1$개 있다.
(1) 모든 직사각형의 개수 $R_n$:
가로 선분 $n+1$개 중 2개를 고르고, 세로 선분 $n+1$개 중 2개를 고르면 직사각형 1개가 결정된다.
$$R_n = {}_{n+1}\mathrm{C}_2 \times {}_{n+1}\mathrm{C}_2 = \left( \frac{(n+1)n}{2} \right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$$
(2) 모든 정사각형의 개수 $S_n$:
한 변의 길이가 $k$ ($1 \le k \le n$)인 정사각형의 개수는 가로 방향으로 $n-k+1$개, 세로 방향으로 $n-k+1$개 배치될 수 있으므로 $(n-k+1)^2$개이다.
$$S_n = \sum_{k=1}^n (n-k+1)^2 = \sum_{m=1}^n m^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
(3) 비율의 극한 $\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{R_n}$ 계산:
$$\frac{S_n}{R_n} = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n^2(n+1)^2}{4}} = \frac{4 n(n+1)(2n+1)}{6 n^2(n+1)^2} = \frac{2(2n+1)}{3 n(n+1)} = \frac{4n + 2}{3n^2 + 3n}$$
분모는 $n$에 대한 2차식이고 분자는 1차식이므로,
$$\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{R_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n+2}{3n^2+3n} = 0$$이다.

• [2-1] 타원의 직교하는 두 접선의 자취(준원) 유도:
점 $P(x_0, y_0)$을 지나고 기울기가 $m$인 타원 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$의 접선의 방정식은
$$y_0 - m x_0 = \pm \sqrt{9m^2 + 4}$$
양변을 제곱하여 정리하면
$$(y_0 - m x_0)^2 = 9m^2 + 4 \iff y_0^2 - 2x_0 y_0 m + x_0^2 m^2 = 9m^2 + 4$$
$$m^2(x_0^2 - 9) - 2x_0 y_0 m + (y_0^2 - 4) = 0$$
이 방정식은 점 $P$에서 타원에 그은 두 접선의 기울기 $m_1, m_2$를 두 근으로 하는 $m$에 대한 이차방정식이다.
두 접선이 서로 수직이므로 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 곱은 $-1$이어야 한다.
$$m_1 m_2 = \frac{y_0^2 - 4}{x_0^2 - 9} = -1$$
$$y_0^2 - 4 = -(x_0^2 - 9) = -x_0^2 + 9 \iff x_0^2 + y_0^2 = 13$$
(접선 중 하나가 축에 평행하여 기울기가 정의되지 않는 경우 점 $(\pm 3, \pm 2)$ 역시 $x_0^2 + y_0^2 = 9 + 4 = 13$을 만족한다.)
따라서 구하는 점 $P$의 자취의 방정식은 $x^2 + y^2 = 13$이며, 이는 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $\sqrt{13}$인 원(준원, Director Circle)이다.

• [2-2] 중복조합을 이용한 정수해 개수 계산:
$x + y + z + w = 12$에서 $x \ge 2, y \ge 1, z \ge 0, w \ge 0$이다.
$x' = x - 2 \ge 0$, $y' = y - 1 \ge 0$, $z' = z \ge 0$, $w' = w \ge 0$으로 치환하면
$$(x' + 2) + (y' + 1) + z' + w' = 12 \iff x' + y' + z' + w' = 9$$
이 방정식의 음이 아닌 정수해의 개수는 서로 다른 4개($x', y', z', w'$)에서 중복을 허락하여 9개를 택하는 중복조합의 수와 같다.
$${}_4\mathrm{H}_9 = {}_{4+9-1}\mathrm{C}_9 = {}_{12}\mathrm{C}_9 = {}_{12}\mathrm{C}_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$$이다.

• [2-3] 순서 조건 확률 및 조건부확률 도출:
주사위를 4번 던져 나오는 전체 경우의 수는 $6^4 = 1296$이다.
(1) $a \le b \le c \le d$인 경우의 수 $N(A)$:
1부터 6까지의 6개의 눈 중에서 중복을 허락하여 4개를 택하면 크기순으로 자동 배열된다.
$$N(A) = {}_6\mathrm{H}_4 = {}_{6+4-1}\mathrm{C}_4 = {}_9\mathrm{C}_4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$$가지이다.
따라서 사건 $A$의 확률은 $P(A) = \frac{126}{6^4} = \frac{126}{1296} = \frac{7}{72}$이다.
(2) $a \le b \le c \le d$이면서 $a < d$인 경우의 수 $N(A \cap B)$:
사건 $A$의 여사건 관점에서 $a = d$인 경우를 생각하면, $a \le b \le c \le d$이므로 $a = b = c = d$이어야 한다.
$a = b = c = d$가 되는 경우는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$의 6가지뿐이다.
따라서 $a < d$가 되는 경우의 수는 전체 126가지에서 6가지를 뺀 $126 - 6 = 120$가지이다.
그러므로 구하는 조건부확률은
$$P(a < d \mid a \le b \le c \le d) = \frac{N(A \cap B)}{N(A)} = \frac{120}{126} = \frac{20}{21}$$이다.