• [1-1] 구간별 함수의 일대일대응 조건 도출:
$x \ge 1$에서 $f(x) = x^2 + 2$는 아래로 볼록한 이차함수의 우측 부분이므로 $x \ge 1$에서 순증가한다.
$f(1) = 1^2 + 2 = 3$이고, $x \to \infty$일 때 $f(x) \to \infty$이므로 이 구간의 치역은 $[3, \infty)$이다.
$x < 1$에서 $f(x) = 2x + k$는 기울기가 $2 > 0$인 일차함수이므로 증가함수이다.
$x < 1$일 때의 치역은 $(-\infty, 2(1) + k) = (-\infty, 2+k)$이다.
함수 $f(x)$가 실수 전체에서 일대일대응이 되려면, 공역인 실수 전체를 빠짐없이 덮어야 하고(치역 = 실수 전체), 증가 상태가 끊김 없이 연결되어야 하므로
$$2 + k = 3 \implies k = 1$$이어야 한다.

• [1-2] 직선에 대한 대칭이동 좌표 유도:
점 $P(1, 2)$의 대칭점 $Q(x_2, y_2)$라 하자.
(i) 수직 조건: 직선 $l: 2x - y - 1 = 0$의 기울기는 $2$이다.
선분 $PQ$의 기울기는 $-\frac{1}{2}$이어야 하므로
$$\frac{y_2 - 2}{x_2 - 1} = -\frac{1}{2} \implies 2(y_2 - 2) = -(x_2 - 1) \implies x_2 + 2y_2 = 5 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
(ii) 중점 조건: 선분 $PQ$의 중점 $M\left(\frac{1+x_2}{2}, \frac{2+y_2}{2}\right)$이 직선 $l: y = 2x - 1$ 위에 있으므로
$$\frac{2+y_2}{2} = 2\left(\frac{1+x_2}{2}\right) - 1 \implies 2 + y_2 = 2(1+x_2) - 2 = 2x_2 \implies 2x_2 - y_2 = 2 \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
(식 2)에 2를 곱하면 $4x_2 - 2y_2 = 4$. 이를 (식 1)과 더하면
$$5x_2 = 9 \implies x_2 = \frac{9}{5}$$
(식 2)에서 $y_2 = 2x_2 - 2 = 2\left(\frac{9}{5}\right) - 2 = \frac{18}{5} - \frac{10}{5} = \frac{8}{5}$이다.
따라서 대칭점 $Q$의 좌표는 $\left(\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)$이다.

• [1-3] 점대칭 정적분 공식 증명 및 초월함수 적분 계산:
$f(x) + f(2-x) = 4$의 양변을 구간 $[0, 2]$에서 적분하면
$$\int_0^2 f(x) dx + \int_0^2 f(2-x) dx = \int_0^2 4 dx = 8$$
$\int_0^2 f(2-x) dx$에서 $t = 2-x$로 치환하면 $dt = -dx$이고, $x=0 \implies t=2, x=2 \implies t=0$이므로
$$\int_0^2 f(2-x) dx = \int_2^0 f(t) (-dt) = \int_0^2 f(t) dt = \int_0^2 f(x) dx$$
따라서 $2 \int_0^2 f(x) dx = 8 \implies \int_0^2 f(x) dx = 4$이다.
이제 $g(x) = \frac{4}{1 + e^{x-1}}$에 대하여 $g(x) + g(2-x)$를 조사한다.
$$g(2-x) = \frac{4}{1 + e^{(2-x)-1}} = \frac{4}{1 + e^{1-x}} = \frac{4}{1 + e^{-(x-1)}} = \frac{4 e^{x-1}}{e^{x-1} + 1}$$
따라서
$$g(x) + g(2-x) = \frac{4}{1 + e^{x-1}} + \frac{4 e^{x-1}}{1 + e^{x-1}} = \frac{4(1 + e^{x-1})}{1 + e^{x-1}} = 4$$
즉, $g(x)$ 역시 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x) + g(2-x) = 4$를 만족하므로 점 $(1, 2)$에 대하여 대칭인 함수이다.
그러므로 위에서 구한 정리에 의해
$$\int_0^2 \frac{4}{1 + e^{x-1}} dx = 4$$이다.

• [2-1] 최고차항 $3^n$으로 나눈 극한값 계산:
주어진 극한식의 분모, 분자를 밑이 가장 큰 $3^n$으로 나눈다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{3^n a_n + 2 \cdot 2^n}{3 \cdot 3^n + 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n + 2 \left(\frac{2}{3}\right)^n}{3 + \left(\frac{2}{3}\right)^n}$$
$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0$이므로, 분모는 $3 + 0 = 3$으로 수렴한다.
전체 극한값이 $2$로 수렴하므로
$$\frac{\lim_{n \to \infty} a_n + 0}{3} = 2 \implies \lim_{n \to \infty} a_n = 6$$이다.

• [2-2] 두 수의 차의 확률분포 및 평균·분산 도출:
5장의 카드에서 2장을 뽑는 전체 경우의 수는 ${}_5\mathrm{C}_2 = 10$이다.
두 수의 차 $X$가 가질 수 있는 값은 $1, 2, 3, 4$이다.
- $X = 1$: $(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)$ $\implies$ 4가지, $P(X=1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
- $X = 2$: $(1, 3), (2, 4), (3, 5)$ $\implies$ 3가지, $P(X=2) = \frac{3}{10}$
- $X = 3$: $(1, 4), (2, 5)$ $\implies$ 2가지, $P(X=3) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
- $X = 4$: $(1, 5)$ $\implies$ 1가지, $P(X=4) = \frac{1}{10}$
[확률분포표 확인: $\frac{4}{10} + \frac{3}{10} + \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = 1$]
기댓값 $E(X)$ 계산:
$$E(X) = 1 \cdot \frac{4}{10} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{2}{10} + 4 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4 + 6 + 6 + 4}{10} = \frac{20}{10} = 2$$
$E(X^2)$ 계산:
$$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{4}{10} + 2^2 \cdot \frac{3}{10} + 3^2 \cdot \frac{2}{10} + 4^2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4 + 12 + 18 + 16}{10} = \frac{50}{10} = 5$$
분산 $V(X)$ 계산:
$$V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 = 5 - 2^2 = 5 - 4 = 1$$이다.

• [2-3] 베이즈 정리를 이용한 조건부확률 도출:
사건을 다음과 같이 정의한다.
- $D$: 실제로 질병에 걸린 사건, $D^c$: 걸리지 않은 사건
- $T$: 진단 키트에서 양성 판정이 나오는 사건
주어진 조건에 의해
$$P(D) = 0.02, \quad P(D^c) = 1 - 0.02 = 0.98$$
$$P(T|D) = 0.95, \quad P(T^c|D^c) = 0.90 \implies P(T|D^c) = 1 - 0.90 = 0.10$$
진단 키트에서 양성 판정이 나올 전체 확률 $P(T)$는
$$P(T) = P(D)P(T|D) + P(D^c)P(T|D^c) = 0.02 \times 0.95 + 0.98 \times 0.10 = 0.0190 + 0.0980 = 0.1170$$
양성 판정을 받았을 때 실제로 질병에 걸렸을 조건부확률 $P(D|T)$는
$$P(D|T) = \frac{P(D \cap T)}{P(T)} = \frac{P(D)P(T|D)}{P(T)} = \frac{0.0190}{0.1170} = \frac{19}{117}$$이다.