• [1-1] 로그의 진수 조건 및 부등식 풀이:
진수 조건: $x - 1 > 0$이고 $7 - x > 0$이므로 $1 \lt x \lt 7$이다.
주어진 로그부등식을 합치면
$$\log_2\{(x-1)(7-x)\} \ge 3 = \log_2 8$$
밑이 $2 > 1$이므로 부등호 방향이 유지된다.
$$(x-1)(7-x) \ge 8 \iff 7x - x^2 - 7 + x \ge 8 \iff -x^2 + 8x - 15 \ge 0$$
양변에 $-1$을 곱하면 $x^2 - 8x + 15 \le 0 \iff (x-3)(x-5) \le 0$.
따라서 $3 \le x \le 5$이다.
진수 조건 $1 \lt x \lt 7$을 만족하므로 구하는 정수 $x$는 $3, 4, 5$의 총 $3$개이다.

• [1-2] 수학적 귀납법과 평균값 정리 증명:
(i) $1 \le a_n < 2$의 수학적 귀납법 증명:
- $n=1$일 때 $a_1 = 1$이므로 $1 \le 1 < 2$ 성립.
- $n=k$일 때 $1 \le a_k < 2$가 성립한다고 가정하면, $f(x) = \sqrt{x+2}$는 $x \ge 1$에서 증가함수이므로
$$f(1) \le f(a_k) < f(2) \implies \sqrt{3} \le a_{k+1} < \sqrt{4} = 2$$
$\sqrt{3} > 1$이므로 $1 \le a_{k+1} < 2$가 성립한다. 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 $1 \le a_n < 2$이다.
(ii) 평균값 정리를 이용한 부등식 증명:
$f(2) = \sqrt{2+2} = 2$이므로 $a_{n+1} - 2 = f(a_n) - f(2)$이다.
함수 $f(x)$는 구간 $[a_n, 2]$ (또는 $[1, 2]$)에서 연속이고 미분가능하므로 평균값 정리에 의해
$$\frac{f(a_n) - f(2)}{a_n - 2} = f'(c)$$를 만족하는 $c$가 $a_n$과 $2$ 사이에 존재한다.
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$이고, $c > a_n \ge 1$이므로 $c > 1$이다.
따라서 $c+2 > 3 \implies \sqrt{c+2} > \sqrt{3}$이므로 $0 < f'(c) = \frac{1}{2\sqrt{c+2}} < \frac{1}{2\sqrt{3}}$이다.
양변에 절댓값을 취하면 $|a_{n+1} - 2| = |f'(c)| |a_n - 2| \le \frac{1}{2\sqrt{3}} |a_n - 2|$가 성립한다.

• [1-3] 수열의 극한값 도출:
$0 < \frac{1}{2\sqrt{3}} < 1$이므로, 부등식을 반복 적용하면
$$0 \le |a_n - 2| \le \left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^{n-1} |a_1 - 2| = \left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^{n-1} |1 - 2| = \left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^{n-1}$$
$n \to \infty$일 때 $\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^{n-1} \to 0$이므로 샌드위치 정리에 의해 $\lim_{n \to \infty} |a_n - 2| = 0$, 즉 $\lim_{n \to \infty} a_n = 2$이다.
다음으로 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - 2}{a_n - 2}$는 미분계수의 정의에 의해
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - 2}{a_n - 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{f(a_n) - f(2)}{a_n - 2} = f'(2)$$이다.
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$이므로 $f'(2) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$이다.

• [2-1] 수학적 귀납법 부등식 증명:
(i) $n=2$일 때:
좌변: $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$.
우변: $2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.
$\frac{5}{4} < \frac{6}{4}$이므로 $n=2$일 때 부등식이 성립한다.
(ii) $n=k$ ($k \ge 2$)일 때 성립한다고 가정하면:
$$\sum_{i=1}^k \frac{1}{i^2} < 2 - \frac{1}{k}$$
$n=k+1$일 때 좌변은 $\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{i^2} = \sum_{i=1}^k \frac{1}{i^2} + \frac{1}{(k+1)^2} < 2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2}$이다.
우리가 보여야 할 목표는 $2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2} < 2 - \frac{1}{k+1}$이다.
이를 위해 차를 계산하면:
$$\left(2 - \frac{1}{k+1}\right) - \left(2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2}\right) = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} - \frac{1}{(k+1)^2} = \frac{k+1 - k}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)^2}$$
$$= \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)^2} = \frac{(k+1) - k}{k(k+1)^2} = \frac{1}{k(k+1)^2} > 0$$
따라서 $2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2} < 2 - \frac{1}{k+1}$이 성립한다.
그러므로 $n=k+1$일 때도 부등식이 성립한다.
(i), (ii)에 의해 모든 자연수 $n \ge 2$에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.

• [2-2] 부분적분법 2회 적용 및 계산:
$I = \int_0^1 x^2 e^{2x} dx$에서 $u = x^2, v' = e^{2x} \implies u' = 2x, v = \frac{1}{2}e^{2x}$로 둔다.
$$I = \left[ \frac{1}{2}x^2 e^{2x} \right]_0^1 - \int_0^1 2x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^2 - \int_0^1 x e^{2x} dx$$
남은 적분 $\int_0^1 x e^{2x} dx$에 다시 부분적분법을 적용한다. ($u = x, v' = e^{2x} \implies u' = 1, v = \frac{1}{2}e^{2x}$)
$$\int_0^1 x e^{2x} dx = \left[ \frac{1}{2}x e^{2x} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2}e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^2 - \left[ \frac{1}{4}e^{2x} \right]_0^1 = \frac{1}{2}e^2 - \left( \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4}$$
따라서 원래의 적분 $I$는
$$I = \frac{1}{2}e^2 - \left( \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4} = \frac{e^2 - 1}{4}$$이다.

• [2-3] 표본평균의 표준화 및 정규분포 확률 계산:
모평균 $m = 100$, 모표준편차 $\sigma = 10$, 표본의 크기 $n = 25$이다.
표본평균 $\overline{X}$는 정규분포 $N\left(100, \frac{10^2}{25}\right) = N(100, 2^2)$을 따른다.
따라서 $\overline{X}$의 표준편차는 $\sigma_{\overline{X}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = 2$이다.
구하고자 하는 확률 $P(98 \le \overline{X} \le 103)$을 표준화하면
$$Z = \frac{\overline{X} - 100}{2}$$
$$\overline{X} = 98 \implies Z = \frac{98 - 100}{2} = -1.0$$
$$\overline{X} = 103 \implies Z = \frac{103 - 100}{2} = 1.5$$
따라서
$$P(98 \le \overline{X} \le 103) = P(-1.0 \le Z \le 1.5) = P(-1.0 \le Z \le 0) + P(0 \le Z \le 1.5)$$
$$= P(0 \le Z \le 1.0) + P(0 \le Z \le 1.5) = 0.3413 + 0.4332 = 0.7745$$이다.