QUESTIO NATURAL SCIENCE ESSAY
2027학년도 대입 수리논술 완벽 대비
광운대학교 [자연계열]
2027학년도 광운대학교 자연계열
실전모의고사 제3회 문제집
2024학년도 기출 유사 난이도 · 100점 만점 / 120분 실전 연습
QUESTIO 입시연구소 수학분과 전수 감수 · 도서출판 QUESTIO
2027 ADMISSION FINAL MOCK EXAM
【문제 1】 다음 글을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (1/2)
[50점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 14031 변형 | 성취기준: 12대수01-07, 12대수01-08]
📌 【제시문】
1. 로그함수 $y = \log_a x$ ($a > 1$)는 밑이 $1$보다 클 때 진수 $x$의 값이 커지면 $y$의 값도 커진다. 즉, $x_1 < x_2 \iff \log_a x_1 < \log_a x_2$이다.
2. 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$를 만족하는 $c$가 열린구간 $(a, b)$에 적어도 하나 존재한다. (평균값 정리)
3. 수열 $\{a_n\}$에 대하여 모든 자연수 $n$에 대하여 $|a_{n+1} - \alpha| \le r |a_n - \alpha|$ ($0 \lt r \lt 1$)가 성립하면, $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$이다.
[1-1] 부등식 $\log_2(x-1) + \log_2(7-x) \ge 3$을 만족시키는 정수 $x$의 개수를 구하시오. (12점)
[1-2] 함수 $f(x) = \sqrt{x+2}$ ($x \ge -2$)에 대하여 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = f(a_n)$ ($n \ge 1$)으로 정의된다. 모든 자연수 $n$에 대하여 $1 \le a_n < 2$임을 수학적 귀납법으로 보이고, 평균값 정리를 이용하여 $|a_{n+1} - 2| \le \frac{1}{2\sqrt{3}}|a_n - 2|$임을 증명하시오. (16점)
【문제 1】 다음 글을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (2/2)
[50점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 14032 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-02-06]
[1-3] 위 수열 $\{a_n\}$에 대하여 극한값 $\lim_{n \to \infty} a_n$의 값을 구하고, $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - 2}{a_n - 2}$의 값을 구하시오. (22점)
【문제 2】 다음 글을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (1/2)
[50점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 14033 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12미적Ⅰ-03-02]
📌 【제시문】
1. 자연수 $n$에 대한 명제 $p(n)$이 모든 자연수 $n \ge 2$에 대하여 성립함을 증명하려면 (1) $n=2$일 때 $p(n)$이 성립함을 보이고, (2) $n=k$ ($k \ge 2$)일 때 $p(n)$이 성립한다고 가정하면 $n=k+1$일 때도 성립함을 보이면 된다.
2. 미분가능한 두 함수 $f(x), g(x)$에 대하여 $\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$이다. (부분적분법)
3. 모평균이 $m$, 모표준편차가 $\sigma$인 정규분포 $N(m, \sigma^2)$을 따르는 모집단에서 크기가 $n$인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\overline{X}$는 정규분포 $N\left(m, \frac{\sigma^2}{n}\right)$을 따른다. 이때 확률변수 $Z = \frac{\overline{X} - m}{\sigma/\sqrt{n}}$은 표준정규분포 $N(0, 1)$을 따른다.
[2-1] 모든 자연수 $n \ge 2$에 대하여 부등식 $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < 2 - \frac{1}{n}$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오. (12점)
[2-2] 정적분 $I = \int_0^1 x^2 e^{2x} dx$의 값을 부분적분법을 이용하여 구하시오. (18점)
【문제 2】 다음 글을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (2/2)
[50점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 14034 변형 | 성취기준: 12확통02-05, 12확통03-01]
[2-3] 어느 부품 공장에서 생산되는 반도체 칩의 무게 $X$는 평균이 $100\text{mg}$, 표준편차가 $10\text{mg}$인 정규분포를 따른다. 이 공장에서 임의추출한 크기 $25$인 표본평균을 $\overline{X}$라 할 때, $\overline{X}$가 $98\text{mg}$ 이상 $103\text{mg}$ 이하일 확률을 구하시오. (단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z$에 대하여 $P(0 \le Z \le 1.0) = 0.3413$, $P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332$로 계산한다.) (20점)