• [1-1] 점렬의 좌표 극한 도출:
$x_n = \frac{1}{2}x_{n-1} + 1$에서 특성방정식 $\alpha = \frac{1}{2}\alpha + 1 \implies \frac{1}{2}\alpha = 1 \implies \alpha = 2$이다.
따라서 $x_n - 2 = \frac{1}{2}(x_{n-1} - 2) = \dots = \left(\frac{1}{2}\right)^n (x_0 - 2) = -2 \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
$\lim_{n \to \infty} x_n = 2$이다.
마찬가지로 $y_n = \frac{1}{3}y_{n-1} + 2$에서 $\beta = \frac{1}{3}\beta + 2 \implies \frac{2}{3}\beta = 2 \implies \beta = 3$이다.
$y_n - 3 = \left(\frac{1}{3}\right)^n (y_0 - 3) = -3 \left(\frac{1}{3}\right)^n$이므로 $\lim_{n \to \infty} y_n = 3$이다.
따라서 극한점 $P_\infty$의 좌표는 $(2, 3)$이다.

• [1-2] 포물선과 접선 및 $x$축 둘러싸인 넓이 계산:
포물선 $y = x^2$ 위의 점 $A_n(n, n^2)$에서의 접선 $l_n$의 기울기는 $y' = 2x$이므로 $2n$이다.
접선 방정식: $y - n^2 = 2n(x - n) \implies y = 2nx - n^2$.
접선 $l_n$의 $x$절편은 $y=0$일 때 $2nx = n^2 \implies x = \frac{n}{2}$이다.
둘러싸인 도형은 $0 \le x \le \frac{n}{2}$에서는 곡선 $y = x^2$과 $x$축 사이의 넓이이고,
$\frac{n}{2} \le x \le n$에서는 곡선 $y = x^2$과 직선 $y = 2nx - n^2$ 사이의 넓이이다.
따라서 넓이 $S_n$은 곡선 아래 전체 넓이에서 접선 아래 직각삼각형의 넓이를 뺀 것과 같다.
$$S_n = \int_0^n x^2 dx - \frac{1}{2} \cdot \left(n - \frac{n}{2}\right) \cdot n^2 = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^n - \frac{1}{2} \cdot \frac{n}{2} \cdot n^2 = \frac{n^3}{3} - \frac{n^3}{4} = \frac{n^3}{12}$$
따라서 $\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^3}{12}}{n^3} = \frac{1}{12}$이다.

• [1-3] 정적분으로 정의된 함수의 미분을 이용한 최솟값 논증:
피적분함수는 $h(x) = x(x-1) = x^2 - x$이다. 닫힌구간 $[0, 2]$에서 $h(x)$의 증감을 살펴보면,
$h'(x) = 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$이므로 최솟값은 $h\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4}$이고, $h(0)=0, h(1)=0, h(2)=2$이다.

1단계: $t$의 범위에 따른 $g(t)$의 개형 분석
- $t \le -\frac{1}{4}$일 때: 구간 $[0, 2]$ 전체에서 $h(x) \ge t$이므로 $g(t) = \int_0^2 (h(x) - t) dx = \int_0^2 h(x) dx - 2t$.
$g'(t) = -2 < 0$이므로 $g(t)$는 단조 감소한다. 따라서 최솟값은 $t > -\frac{1}{4}$에서 존재한다.
- $t \ge 2$일 때: 구간 $[0, 2]$ 전체에서 $h(x) \le t$이므로 $g(t) = \int_0^2 (t - h(x)) dx = 2t - \int_0^2 h(x) dx$.
$g'(t) = 2 > 0$이므로 $g(t)$는 단조 증가한다. 따라서 최솟값은 $t < 2$에서 존재한다.

2단계: $0 \le t \le 2$에서의 정적분 식 수립 및 도함수 도출
방정식 $h(x) = t \iff x^2 - x - t = 0$의 실근 중 구간 $[0, 2]$에 속하는 유일한 교점의 $x$좌표를 $\alpha(t)$라 하면
근의 공식에 의해 $\alpha(t) = \frac{1 + \sqrt{1 + 4t}}{2}$이다. (단, $h(\alpha(t)) = t$ 성립)
구간 $[0, 2]$에서 $0 \le x \le \alpha(t)$일 때 $h(x) \le t$이고, $\alpha(t) \le x \le 2$일 때 $h(x) \ge t$이므로
$$g(t) = \int_0^{\alpha(t)} (t - h(x)) dx + \int_{\alpha(t)}^2 (h(x) - t) dx = t\alpha(t) - \int_0^{\alpha(t)} h(x) dx + \int_{\alpha(t)}^2 h(x) dx - t(2 - \alpha(t))$$
고교과정 미적분의 정적분으로 정의된 함수의 미분법에 의해 양변을 $t$에 대하여 미분하면:
$$g'(t) = \left[ \alpha(t) + t\alpha'(t) - h(\alpha(t))\alpha'(t) \right] + \left[ -h(\alpha(t))\alpha'(t) - (2 - \alpha(t)) + t\alpha'(t) \right]$$
여기서 $h(\alpha(t)) = t$이므로 $t\alpha'(t) - h(\alpha(t))\alpha'(t) = 0$으로 완전히 상쇄된다!
따라서 도함수는 $g'(t) = \alpha(t) - (2 - \alpha(t)) = 2\alpha(t) - 2$이다.

3단계: 극값 판정 및 최솟값 도출
$g'(t) = 0 \iff 2\alpha(t) - 2 = 0 \iff \alpha(t) = 1$이다.
$\alpha(t) = \frac{1 + \sqrt{1 + 4t}}{2} = 1 \iff \sqrt{1 + 4t} = 1 \iff 4t = 0 \iff t = 0$.
$\alpha(t)$는 $t$의 증가함수이므로 $t < 0$이면 $g'(t) < 0$, $t > 0$이면 $g'(t) > 0$이다.
따라서 $g(t)$는 $t = 0$에서 유일한 극소이자 최솟값을 갖는다.
최솟값 $g(0) = \int_0^2 |x^2 - x| dx = \int_0^1 -(x^2 - x) dx + \int_1^2 (x^2 - x) dx = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1$이다.

• [2-1] 다항식 미분을 이용한 나머지정리 적용:
다항식 $P(x) = x^{2027} - 2x + 1$을 $(x-1)^2$으로 나눈 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R(x) = ax + b$라 하면
$$P(x) = (x-1)^2 Q(x) + ax + b$$
$x=1$을 대입하면 $P(1) = 1^{2027} - 2(1) + 1 = 0$이므로 $a + b = 0 \implies b = -a$.
양변을 $x$에 대하여 미분하면
$$P'(x) = 2(x-1)Q(x) + (x-1)^2 Q'(x) + a$$
$P'(x) = 2027 x^{2026} - 2$이므로 $x=1$을 대입하면
$$P'(1) = 2027(1) - 2 = 2025 = a$$
$a = 2025$이므로 $b = -2025$이다.
따라서 구하는 나머지는 $R(x) = 2025x - 2025 = 2025(x - 1)$이다.

• [2-2] 정적분과 급수의 합 변환 및 계산:
주어진 식의 분모, 분자를 $n^3$으로 나누어 $\frac{k}{n}$과 $\frac{1}{n}$의 형태로 변형한다.
$$\sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^3 + k^3} = \sum_{k=1}^n \frac{\frac{k^2}{n^2}}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^3} \cdot \frac{1}{n} = \sum_{k=1}^n \frac{\left(\frac{k}{n}\right)^2}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^3} \cdot \frac{1}{n}$$
$x = \frac{k}{n}$, $\Delta x = \frac{1}{n}$로 두면 구간은 $[0, 1]$이 되므로 정적분으로 변환하면
$$I = \int_0^1 \frac{x^2}{1 + x^3} dx$$
$u = 1 + x^3$으로 치환하면 $du = 3x^2 dx \implies x^2 dx = \frac{1}{3} du$이다.
적분 구간: $x=0 \implies u=1$, $x=1 \implies u=2$.
$$I = \int_1^2 \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} [\ln |u|]_1^2 = \frac{1}{3}(\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{3} \ln 2$$이다.

• [2-3] 음함수 미분법 및 법선의 방정식 도출:
곡선 $x^3 + y^3 - 3xy = 0$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면
$$3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} - 3\left(y + x \frac{dy}{dx}\right) = 0$$
$$x^2 - y + (y^2 - x)\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x^2 - y}{y^2 - x} = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$$
점 $A(x_0, y_0)$에서의 접선의 기울기가 $-1$이므로
$$\frac{y_0 - x_0^2}{y_0^2 - x_0} = -1 \implies y_0 - x_0^2 = -(y_0^2 - x_0) = -y_0^2 + x_0$$
$$(x_0^2 - y_0^2) + (x_0 - y_0) = 0 \implies (x_0 - y_0)(x_0 + y_0 + 1) = 0$$
점 $A$는 제1사분면의 점이므로 $x_0 > 0, y_0 > 0$이고 따라서 $x_0 + y_0 + 1 > 0$이다.
그러므로 $x_0 - y_0 = 0 \implies x_0 = y_0$이어야 한다.
이를 원래의 곡선의 방정식에 대입하면
$$x_0^3 + x_0^3 - 3x_0^2 = 0 \implies 2x_0^3 - 3x_0^2 = 0 \implies x_0^2(2x_0 - 3) = 0$$
$x_0 > 0$이므로 $x_0 = \frac{3}{2}$이다. 따라서 $y_0 = \frac{3}{2}$이다.
그러므로 점 $A$의 좌표는 $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$이다.
접선의 기울기가 $-1$이므로, 점 $A$에서의 법선의 기울기는 $-\frac{1}{-1} = 1$이다.
따라서 법선의 방정식은
$$y - \frac{3}{2} = 1\left(x - \frac{3}{2}\right) \implies y = x$$이다.