QUESTIO NATURAL SCIENCE ESSAY
2027학년도 대입 수리논술 완벽 대비
광운대학교 [자연계열]
2027학년도 광운대학교 자연계열
실전모의고사 제2회 문제집
2025학년도 기출 유사 난이도 · 100점 만점 / 120분 실전 연습
QUESTIO 입시연구소 수학분과 전수 감수 · 도서출판 QUESTIO
2027 ADMISSION FINAL MOCK EXAM
【문제 1】 다음 글을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (1/2)
[50점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 탐구 14021 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
📌 【제시문】
1. 수열 $\{x_n\}$이 $x_{n+1} = p x_n + q$ ($|p| < 1$)의 관계식을 만족할 때, 수열 $\{x_n\}$은 $\alpha = p\alpha + q$를 만족하는 실수 $\alpha$로 수렴하며 $\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{q}{1-p}$이다.
2. 포물선 $y = ax^2$ 위의 점 $(t, at^2)$에서의 접선의 방정식은 $y = 2at(x - t) + at^2 = 2atx - at^2$이다.
3. 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 정적분 $\int_a^b |f(x) - c| dx$의 값은 실수 $c$의 변화에 따라 연속적으로 변한다.
[1-1] 좌표평면 위의 점 $P_0(0, 0)$에서 시작하여 점 $P_n(x_n, y_n)$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $x_n = \frac{1}{2}x_{n-1} + 1$, $y_n = \frac{1}{3}y_{n-1} + 2$를 만족할 때, 점 $P_n$의 극한점 $P_\infty$의 좌표를 구하시오. (10점)
[1-2] 자연수 $n$에 대하여 포물선 $y = x^2$ 위의 점 $A_n(n, n^2)$에서의 접선을 $l_n$이라 하자. 포물선 $y = x^2$과 접선 $l_n$ 및 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $S_n$을 구하고 극한값 $\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^3}$을 구하시오. (16점)
【문제 1】 다음 글을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (2/2)
[50점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 탐구 14022 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]
[1-3] 실수 $t$에 대하여 함수 $g(t) = \int_0^2 |x(x-1) - t| dx$의 최솟값을 구하고, $g(t)$가 최소가 되도록 하는 $t$의 값을 논증하시오. (24점)
【문제 2】 다음 글을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (1/2)
[50점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 14023 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-03-02]
📌 【제시문】
1. 다항식 $P(x)$를 $(x-a)^2$으로 나눈 나머지를 $R(x) = mx + n$이라 하면, $P(a) = R(a)$이고 $P'(a) = R'(a) = m$이다.
2. 연속함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) \frac{b-a}{n} = \int_a^b f(x) dx$이다.
3. 음함수 $F(x, y) = 0$에서 $y$를 $x$의 미분가능한 함수로 볼 때, 양변을 $x$에 대하여 미분하여 $\frac{dy}{dx}$를 구하는 방법을 음함수의 미분법이라 한다.
4. 곡선 위의 점 $(x_0, y_0)$에서의 접선의 기울기가 $m$ ($m \ne 0$)일 때, 이 점을 지나고 접선에 수직인 직선(법선)의 방정식은 $y - y_0 = -\frac{1}{m}(x - x_0)$이다.
[2-1] 다항식 $P(x) = x^{2027} - 2x + 1$을 $(x-1)^2$으로 나눈 나머지 $R(x)$를 구하시오. (12점)
[2-2] 급수 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^3 + k^3}$의 값을 정적분을 이용하여 구하시오. (16점)
【문제 2】 다음 글을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (2/2)
[50점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 14024 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-03, 12미적Ⅰ-02-05]
[2-3] 곡선 $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ 위의 제1사분면에 있는 점 $A(x_0, y_0)$에서의 접선의 기울기가 $-1$일 때, 점 $A$의 좌표를 구하고, 점 $A$에서의 법선의 방정식을 구하시오. (22점)