• [1-1] 격자점의 개수 산출:
$x^2+y^2 \le 25$를 만족하는 정수 순서쌍 $(x, y)$의 전체 개수를 구한다. $x$의 범위는 $-5 \le x \le 5$이다.
- $x=0$: $y^2 \le 25 \implies y \in \{-5, \dots, 5\}$ (11개)
- $x=\pm 1$: $y^2 \le 24 \implies y \in \{-4, \dots, 4\}$ (각 9개, 총 18개)
- $x=\pm 2$: $y^2 \le 21 \implies y \in \{-4, \dots, 4\}$ (각 9개, 총 18개)
- $x=\pm 3$: $y^2 \le 16 \implies y \in \{-4, \dots, 4\}$ (각 9개, 총 18개)
- $x=\pm 4$: $y^2 \le 9 \implies y \in \{-3, \dots, 3\}$ (각 7개, 총 14개)
- $x=\pm 5$: $y^2 \le 0 \implies y = 0$ (각 1개, 총 2개)
전체 원소의 개수는 $11 + 18 + 18 + 18 + 14 + 2 = 81$개이다.
$x+y$가 짝수라는 것은 $x, y$의 홀짝성이 일치(둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수)하는 경우이다.
각 $x$행별로 $y$좌표 중 $x$와 기우성이 같은 정수의 개수를 세면:
- $x=0$ (짝수): $y \in \{0, \pm 2, \pm 4\}$ $\implies$ 5개
- $x=\pm 1$ (홀수): $y \in \{\pm 1, \pm 3\}$ $\implies$ 각 4개, 총 8개
- $x=\pm 2$ (짝수): $y \in \{0, \pm 2, \pm 4\}$ $\implies$ 각 5개, 총 10개
- $x=\pm 3$ (홀수): $y \in \{\pm 1, \pm 3\}$ $\implies$ 각 4개, 총 8개
- $x=\pm 4$ (짝수): $y \in \{0, \pm 2\}$ $\implies$ 각 3개, 총 6개
- $x=\pm 5$ (홀수): $y=0$은 짝수이므로 없음 $\implies$ 0개
따라서 $x+y$가 짝수인 원소의 개수는 $5 + 8 + 10 + 8 + 6 + 0 = 37$개이다.

• [1-2] 이항정리를 이용한 계수 도출:
다항식 $\left( 2x^2 - \frac{1}{x} \right)^9$의 전개식의 일반항 $T_{r+1}$은
$$T_{r+1} = {}_9\mathrm{C}_r (2x^2)^{9-r} \left(-\frac{1}{x}\right)^r = {}_9\mathrm{C}_r 2^{9-r} (-1)^r x^{18-2r} x^{-r} = {}_9\mathrm{C}_r 2^{9-r} (-1)^r x^{18-3r}$$
$x^3$의 항이 되기 위해 $18 - 3r = 3$이어야 하므로 $3r = 15 \implies r = 5$이다.
따라서 $x^3$의 계수는 $${}_9\mathrm{C}_5 2^{9-5} (-1)^5 = {}_9\mathrm{C}_4 \cdot 2^4 \cdot (-1) = 126 \cdot 16 \cdot (-1) = -2016$$이다.

• [1-3] 극대극소 및 대칭이동 연립 조건 해결:
$f(x) = x^3 - 3ax^2 + 4b$의 도함수를 구하면 $f'(x) = 3x^2 - 6ax = 3x(x - 2a)$이다.
$a > 0$이므로 $f'(x) = 0$의 두 실근은 $x = 0$과 $x = 2a$이다.
- $x=0$ 좌우에서 $f'(x)$는 양에서 음으로 바뀌므로 극댓점 $P$의 좌표는 $(0, f(0)) = (0, 4b)$이다.
- $x=2a$ 좌우에서 $f'(x)$는 음에서 양으로 바뀌므로 극솟점 $R$의 좌표는 $(2a, f(2a)) = (2a, 8a^3 - 12a^3 + 4b) = (2a, -4a^3 + 4b)$이다.
조건에서 극솟점 $R$의 $y$좌표가 $0$이므로 $-4a^3 + 4b = 0 \implies b = a^3$이다.
한편 극댓점 $P(0, 4b)$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점 $Q$의 좌표는 $(4b, 0)$이다.
점 $Q(4b, 0)$이 곡선 $y = -x^2 + 2x$ 위에 있으므로 $0 = -(4b)^2 + 2(4b) = -16b^2 + 8b$이다.
$b > 0$이므로 양변을 $8b$로 나누면 $-2b + 1 = 0 \implies b = \frac{1}{2}$이다.
$b = a^3$이므로 $a^3 = \frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$이다.

• [2-1] 배각공식과 덧셈정리 적용:
먼저 $\tan(2\alpha)$의 값을 구한다.
$$\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} = \frac{2 \cdot 2}{1 - 2^2} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$$
이제 $\tan(2\alpha + \beta)$에 덧셈정리를 적용하면
$$\tan(2\alpha + \beta) = \frac{\tan(2\alpha) + \tan\beta}{1 - \tan(2\alpha)\tan\beta} = \frac{-\frac{4}{3} + 3}{1 - \left(-\frac{4}{3}\right) \cdot 3} = \frac{\frac{5}{3}}{1 + 4} = \frac{\frac{5}{3}}{5} = \frac{1}{3}$$이다.

• [2-2] 미분을 통한 극댓값 및 변곡점 도출:
$f(x) = \frac{\ln x}{x}$ ($x > 0$)의 1계 도함수를 구하면
$$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$
$f'(x) = 0 \iff 1 - \ln x = 0 \iff x = e$이다.
- $0 \lt x \lt e$에서 $f'(x) > 0$ (함수 증가)
- $x > e$에서 $f'(x) < 0$ (함수 감소)
따라서 $x=e$에서 유일한 극대이자 최댓값 $f(e) = \frac{1}{e}$를 갖는다.
다음으로 2계 도함수를 구하면
$$f''(x) = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1 - \ln x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x\ln x}{x^4} = \frac{2\ln x - 3}{x^3}$$
$f''(x) = 0 \iff 2\ln x - 3 = 0 \iff \ln x = \frac{3}{2} \iff x = e^{3/2} = e\sqrt{e}$이다.
- $0 \lt x \lt e^{3/2}$에서 $f''(x) < 0$ (위로 볼록)
- $x > e^{3/2}$에서 $f''(x) > 0$ (아래로 볼록)
따라서 변곡점의 좌표는 $\left( e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}} \right) = \left( e\sqrt{e}, \frac{3}{2e\sqrt{e}} \right)$이다.

• [2-3] 초월방정식의 실근 개수 판정:
방정식 $e^x = k x^2$에서 $k > 0$이다.
(i) $x > 0$일 때: 양변에 자연로그를 취하면 $x = \ln k + 2\ln x \implies \frac{\ln x}{x} = \frac{x - \ln k}{2x}$로 보거나, 직접 $g(x) = \frac{e^x}{x^2}$ ($x > 0$)의 그래프와 수평선 $y=k$의 교점으로 해석한다.
$g(x) = \frac{e^x}{x^2}$의 도함수를 구하면
$$g'(x) = \frac{e^x x^2 - e^x \cdot 2x}{x^4} = \frac{e^x(x - 2)}{x^3}$$
- $0 \lt x \lt 2$에서 $g'(x) < 0$ (감소)
- $x > 2$에서 $g'(x) > 0$ (증가)
따라서 $x=2$에서 극솟값 $g(2) = \frac{e^2}{4}$를 갖는다.
또한 $\lim_{x \to 0^+} g(x) = +\infty$, $\lim_{x \to \infty} g(x) = +\infty$이다.
따라서 $y = g(x)$와 $y = k$가 $x > 0$에서 서로 다른 두 실근을 갖기 위한 조건은 $k > g(2) = \frac{e^2}{4}$이다.
(ii) 음의 실근 $x < 0$의 개수 판정:
$x < 0$일 때 $t = -x > 0$이라 하면 $e^{-t} = k t^2 \iff k = \frac{1}{t^2 e^t}$.
함수 $h(t) = \frac{1}{t^2 e^t} = t^{-2} e^{-t}$는 $t > 0$에서 항상 $h'(t) < 0$이며 strictly decreasing한다.
$\lim_{t \to 0^+} h(t) = +\infty$, $\lim_{t \to \infty} h(t) = 0$이므로, 임의의 $k > 0$에 대하여 $h(t) = k$를 만족하는 양수 $t$는 오직 하나 존재한다.
즉, 모든 $k > 0$에 대하여 음의 실근은 항상 정확히 1개 존재한다.
따라서 $x \ne 0$ 전체에서 서로 다른 세 실근(양의 실근 2개 + 음의 실근 1개)을 갖기 위한 $k$의 조건은 $k > \frac{e^2}{4}$이다.