QUESTIO NATURAL SCIENCE ESSAY
2027학년도 대입 수리논술 완벽 대비
광운대학교 [자연계열]
2027학년도 광운대학교 자연계열
실전모의고사 제1회 문제집
2026학년도 기출 유사 난이도 · 100점 만점 / 120분 실전 연습
QUESTIO 입시연구소 수학분과 전수 감수 · 도서출판 QUESTIO
2027 ADMISSION FINAL MOCK EXAM
【문제 1】 다음 글을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (1/2)
[50점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.1 탐구 14011 변형 | 성취기준: 12확통01-01, 12확통01-02]
📌 【제시문】
1. 집합 $A$가 유한집합일 때, 집합 $A$의 원소의 개수를 기호로 $n(A)$와 같이 나타낸다. 두 유한집합 $A, B$에 대하여 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$이다.
2. $n$이 자연수일 때, 다항식 $(a+b)^n$의 전개식은 $$(a+b)^n = \sum_{r=0}^n {}_n\mathrm{C}_r a^{n-r}b^r = {}_n\mathrm{C}_0 a^n + {}_n\mathrm{C}_1 a^{n-1}b + \dots + {}_n\mathrm{C}_n b^n$$
3. 좌표평면에서 점 $(x, y)$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $(y, x)$이다.
4. 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(a)=0$이고, $x=a$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극댓값 $f(a)$를 갖고, 음에서 양으로 바뀌면 극솟값 $f(a)$를 갖는다.
[1-1] 좌표평면 위의 정수 격자점들의 집합 $A = \{ (x, y) \mid x, y \in \mathbb{Z},\; x^2 + y^2 \le 25 \}$에 대하여, $x+y$의 값이 짝수인 원소의 개수 $N$을 구하시오. (10점)
[1-2] 다항식 $\left( 2x^2 - \frac{1}{x} \right)^9$의 전개식에서 $x^3$의 계수를 이항정리를 이용하여 구하시오. (14점)
【문제 1】 다음 글을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (2/2)
[50점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 14012 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
[1-3] 상수 $a > 0, b > 0$에 대하여 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3ax^2 + 4b$의 극댓점을 점 $P$, 극솟점을 점 $R$이라 하자. 점 $P$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점 $Q$가 곡선 $y = -x^2 + 2x$ 위에 있고, 극솟점 $R$의 $y$좌표가 $0$일 때, 상수 $a, b$의 값을 구하시오. (26점)
【문제 2】 다음 글을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (1/2)
[50점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 14013 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
📌 【제시문】
1. 삼각함수의 덧셈정리: 두 각 $\alpha, \beta$에 대하여 $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$이다.
2. 함수 $f(x)$가 열린구간에서 이계도함수를 가질 때, $f''(x) > 0$이면 곡선 $y=f(x)$는 아래로 볼록(위로 오목)하고, $f''(x) < 0$이면 위로 볼록(아래로 오목)하다. 곡선의 오목·볼록이 바뀌는 점을 변곡점이라 한다.
3. $x > 0$일 때 정의된 함수 $g(x) = \frac{\ln x}{x}$에 대하여 $\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty$, $\lim_{x \to \infty} g(x) = 0$이다.
4. 방정식 $f(x) = g(x)$의 서로 다른 실근의 개수는 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프의 교점의 개수와 같다.
[2-1] 두 예각 $\alpha, \beta$에 대하여 $\tan \alpha = 2, \tan \beta = 3$일 때, $\tan(2\alpha + \beta)$의 값을 구하시오. (12점)
[2-2] 함수 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ ($x > 0$)의 극댓값과 변곡점의 좌표를 구하고, 함수의 증감과 오목·볼록을 설명하시오. (14점)
【문제 2】 다음 글을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (2/2)
[50점]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.10 탐구 14014 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
[2-3] 양의 실수 $k$에 대하여 방정식 $e^x = k x^2$ ($x > 0$)이 서로 다른 두 양의 실근을 갖기 위한 $k$의 값의 범위를 구하고, $x \ne 0$ 전체에서 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 $k$의 범위를 구하시오. (24점)