• [1-1] 함수방정식과 도함수의 정의:
$x = y = 0$을 대입하면 $f(0) = 2f(0) - 1 \implies f(0) = 1$이다.
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1 + 2xh}{h} = f'(0) + 2x = 2x + 2$이므로 적분하면 $f(x) = x^2 + 2x + 1$이다.

• [1-2] 대칭구간에서 기함수·우함수 분리 적분:
$(x^3 - 2x + 1)(2x + 2) = 2x^4 + 2x^3 - 4x^2 + 2$에서 홀수차 항 $2x^3$의 정적분은 $0$이다.
따라서 $\int_{-2}^{2} (2x^4 - 4x^2 + 2)\,dx = 2\int_0^2 (2x^4 - 4x^2 + 2)\,dx = 2\left[\frac{2}{5}x^5 - \frac{4}{3}x^3 + 2x\right]_0^2 = 2\left(\frac{64}{5} - \frac{32}{3} + 4\right) = \frac{184}{15}$이다.

• [1-3] 삼차함수의 접선과 둘러싸인 도형의 넓이:
$g'(x) = 3x^2 - 4x$에서 $g'(1) = -1$이므로 점 $A(1, 0)$에서의 접선 $l$은 $y = -(x - 1) = -x + 1$이다.
$x^3 - 2x^2 + 1 = -x + 1 \implies x(x - 1)^2 = 0$이므로 접선 $l$은 곡선과 원점 $(0, 1)$에서 다시 만난다.
따라서 둘러싸인 도형의 넓이는 $\int_0^1 x(x - 1)^2\,dx = \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right]_0^1 = \frac{1}{12}$이다.

• [2-1] 구와 평면의 교선 원 및 최대·최소 거리:
$z = 0$을 대입하면 $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 - 9 = 16$이므로 원 $C$의 중심은 $M(3, 4, 0)$, 반지름은 $r' = 4$, 넓이는 $16\pi$이다.
원점 $O(0, 0, 0)$에서 원 $C$의 중심 $M(3, 4, 0)$까지의 거리는 $\overline{OM} = 5$이고 원 $C$와 원점 $O$는 같은 $xy$평면 위에 있으므로, 거리의 최댓값은 $5 + 4 = 9$, 최솟값은 $5 - 4 = 1$이다.

• [2-2] 이항분포의 평균과 분산 관계:
$V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 \implies 20 = 920 - \{E(X)\}^2$에서 $\{E(X)\}^2 = 900$이고 $E(X) > 0$이므로 $E(X) = 30$이다.
$E(X) = 90p = 30$이므로 $p = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$이다 (검산: $V(X) = 90 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = 20$).

• [2-3] 표본평균의 정규분포 표준화:
표본의 크기 $n = 25$에 대하여 $\overline{Y} \sim N\left(300, \left(\frac{25}{\sqrt{25}}\right)^2\right) = N(300, 5^2)$이다.
따라서 $P(295 \le \overline{Y} \le 310) = P\left(\frac{295 - 300}{5} \le Z \le \frac{310 - 300}{5}\right) = P(-1.0 \le Z \le 2.0) = 0.3413 + 0.4772 = 0.8185$이다.