[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $t = 2^x$로 치환하면 $0 \le x \le 2$에서 $1 \le t \le 4$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 주어진 함수는 $g(t) = t^2 - 4t + 7 = (t - 2)^2 + 3$ ($1 \le t \le 4$)이 된다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $t = 2$일 때 최솟값 $m = 3$, $t = 4$일 때 최댓값 $M = 7$이므로 $M + m = 10$이다.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $2x = t$로 치환하면 $0 \le t \le 4\pi$에서 $\sin t = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$의 실근을 구하는 것과 같다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $t = \dfrac{\pi}{3}, \; \dfrac{2\pi}{3}, \; \dfrac{7\pi}{3}, \; \dfrac{8\pi}{3}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 모든 실근 $x = \dfrac{t}{2}$의 합은 $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{7\pi}{3} + \dfrac{8\pi}{3}\right) = 3\pi$이다.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 등차중항 성질에 의하여 $a + b = 12 \implies a = 12 - b$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 등비중항 성질에 의하여 $b^2 = 16a = 16(12 - b) \iff b^2 + 16b - 192 = (b + 24)(b - 8) = 0$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $b > 0$이므로 $b = 8$이고 $a = 4$이므로 $b - a = 4$이다.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 시그마의 선형성에 의하여 $\sum_{k=1}^{6} 2^k + 3\sum_{k=1}^{6} k - \sum_{k=1}^{6} 2$로 분리한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\sum_{k=1}^{6} 2^k = \dfrac{2(2^6 - 1)}{2 - 1} = 126$이고, $3\sum_{k=1}^{6} k - 12 = 3 \cdot 21 - 12 = 51$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 전체 합은 $126 + 51 = 177$이다.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 인수분해 $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$과 $f(3) = 2$를 이용하여 식을 변형한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\lim_{x \to 3} \left\{\dfrac{f(x) - f(3)}{x - 3} \cdot \dfrac{1}{x + 3}\right\} = f'(3) \cdot \dfrac{1}{6}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $f'(3) = 6$을 대입하면 구하는 극한값은 $6 \cdot \dfrac{1}{6} = 1$이다.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 도함수 $f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x + 2)(x - 2) = 0$에서 극점의 $x$좌표는 $x = -2, \; 0, \; 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $x = 0$에서 극댓값 $f(0) = 10$을 갖고, $x = \pm 2$에서 극솟값 $f(2) = 16 - 32 + 10 = -6$을 갖는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 극댓값과 극솟값의 합은 $10 + (-6) = 4$이다.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 주어진 식을 $x\int_1^x f(t)\,dt - \int_1^x tf(t)\,dt = x^3 - 2x^2 + x$로 전개한 뒤 양변을 $x$에 대하여 미분한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 첫 번째 미분에서 $\int_1^x f(t)\,dt = 3x^2 - 4x + 1$을 얻고, 다시 한 번 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = 6x - 4$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $f(2) = 12 - 4 = 8$이다.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 교점 방정식 $x^3 - 3x + 2 = 2 \iff x(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) = 0$에서 교점의 $x$좌표는 $-\sqrt{3}, \; 0, \; \sqrt{3}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 기함수 대칭성에 의하여 $S = 2\int_0^{\sqrt{3}} (3x - x^3)\,dx = 2\left[\dfrac{3}{2}x^2 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^{\sqrt{3}}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $S = 2\left(\dfrac{9}{2} - \dfrac{9}{4}\right) = \dfrac{9}{2}$이다.