2027학년도 한국기술교육대학교 모의고사 4회 해설집

2027학년도 한국기술교육대학교 약술형 논술 모의고사 4회 해설집

실천공학 수리 실전 4회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 로그의 밑변환 공식 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

[문제] 값 $\left(\log_2 9 + \log_4 3\right)\left(\log_3 16 + \log_9 4\right)$를 계산하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 밑을 각각 $2$와 $3$으로 통일하면 $\log_2 9 + \log_4 3 = 2\log_2 3 + \dfrac{1}{2}\log_2 3 = \dfrac{5}{2}\log_2 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 마찬가지로 $\log_3 16 + \log_9 4 = 4\log_3 2 + \log_3 2 = 5\log_3 2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 두 식을 곱하면 $\dfrac{5}{2}\log_2 3 \cdot 5\log_3 2 = \dfrac{25}{2}$이다.

최종 정답: $\dfrac{25}{2}$

문항 2 해설 대수 · 삼각부등식 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] $0 \le x < 2\pi$에서 부등식 $2\cos x - \sqrt{3} \ge 0$의 해가 $0 \le x \le \alpha$ 또는 $\beta \le x < 2\pi$일 때, $\beta - \alpha$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $\cos x \ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}$을 만족시키는 단위원 위의 $x$의 범위를 구한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $0 \le x < 2\pi$에서 $\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$인 각은 $x = \dfrac{\pi}{6}$와 $x = \dfrac{11\pi}{6}$이므로 $\alpha = \dfrac{\pi}{6}, \; \beta = \dfrac{11\pi}{6}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $\beta - \alpha = \dfrac{11\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{10\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{3}$이다.

최종 정답: $\dfrac{5\pi}{3}$

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실천공학 수리 실전 4회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 삼각형의 넓이와 코사인법칙 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 세 변의 길이가 $\overline{AB} = 7$, $\overline{BC} = 8$, $\overline{CA} = 9$인 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 코사인법칙에 의하여 $\cos A = \dfrac{7^2 + 9^2 - 8^2}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \dfrac{49 + 81 - 64}{126} = \dfrac{66}{126} = \dfrac{11}{21}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\sin A = \sqrt{1 - \left(\dfrac{11}{21}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{441 - 121}}{21} = \dfrac{\sqrt{320}}{21} = \dfrac{8\sqrt{5}}{21}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 삼각형의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 \cdot \dfrac{8\sqrt{5}}{21} = 12\sqrt{5}$이다.

최종 정답: $12\sqrt{5}$

문항 4 해설 대수 · 로그가 포함된 급수의 소거 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 합 $\sum_{k=1}^{31} \log_2\left(1 + \dfrac{1}{k}\right)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $1 + \dfrac{1}{k} = \dfrac{k + 1}{k}$이므로 일반항은 $\log_2(k + 1) - \log_2 k$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $k = 1$부터 $31$까지 대입하여 더하면 연쇄 소거에 의하여 $\log_2 32 - \log_2 1$만 남는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $\log_2 2^5 - 0 = 5$이다.

최종 정답: $5$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 연속성과 미정계수 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문제] 모든 실수 $x$에서 연속인 함수 $f(x)$가 $(x + 2)f(x) = x^2 + ax - 6$을 만족시킬 때, $f(a)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 양변에 $x = -2$를 대입하면 $0 = 4 - 2a - 6$에서 $a = -1$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $x \ne -2$일 때 $f(x) = \dfrac{x^2 - x - 6}{x + 2} = \dfrac{(x + 2)(x - 3)}{x + 2} = x - 3$이며, 연속성에 의해 모든 실수에서 $f(x) = x - 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $f(a) = f(-1) = -1 - 3 = -4$이다.

최종 정답: $-4$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 미분계수와 접선의 기울기 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 곡선 $y = x^3 + ax^2 + bx - 2$ 위의 점 $(1, 2)$에서의 접선의 기울기가 $7$일 때, 상수 $a, b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 점 $(1, 2)$가 곡선 위의 점이므로 $1 + a + b - 2 = 2 \implies a + b = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $y' = 3x^2 + 2ax + b$에서 $x = 1$일 때 접선의 기울기가 $3 + 2a + b = 7 \implies 2a + b = 4$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 두 식을 연립하면 $a = 1, \; b = 2$이므로 $ab = 2$이다.

최종 정답: $2$

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 정적분의 성질과 구간 분리 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 정적분 $\int_0^3 |x^2 - 2x|\,dx$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $x^2 - 2x = x(x - 2)$는 $0 \le x \le 2$에서 음수이고 $2 \le x \le 3$에서 양수이므로 구간을 나누어 적분한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\int_0^2 (-x^2 + 2x)\,dx = \left[-\dfrac{1}{3}x^3 + x^2\right]_0^2 = \dfrac{4}{3}$이고, $\int_2^3 (x^2 - 2x)\,dx = \left[\dfrac{1}{3}x^3 - x^2\right]_2^3 = 0 - \left(-\dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{4}{3}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 두 정적분을 더하면 $\dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}$이다.

최종 정답: $\dfrac{8}{3}$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 넓이를 이등분하는 직선 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 곡선 $y = -x^2 + 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 $y = mx$ ($0 < m < 4$)가 이등분할 때, $(4 - m)^3$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 곡선 $y = -x^2 + 4x$와 $x$축의 교점은 $x = 0, \; 4$이므로 전체 넓이는 $S = \dfrac{1}{6}(4 - 0)^3 = \dfrac{32}{3}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 곡선과 직선 $y = mx$의 교점은 $x = 0, \; 4 - m$이므로 둘러싸인 넓이는 $\dfrac{1}{6}(4 - m)^3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 이 넓이가 전체 넓이의 절반인 $\dfrac{16}{3}$과 같으므로 $\dfrac{1}{6}(4 - m)^3 = \dfrac{16}{3}$에서 $(4 - m)^3 = 32$이다.

최종 정답: $32$