2027학년도 한국기술교육대학교 모의고사 3회 해설집

2027학년도 한국기술교육대학교 약술형 논술 모의고사 3회 해설집

실천공학 수리 심화 3회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수법칙과 대칭식 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[문제] 양수 $a$가 $a^{1/2} - a^{-1/2} = 3$을 만족시킬 때, $a + a^{-1}$과 $a^2 + a^{-2}$의 값을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 곱셈 공식 $a + a^{-1} = \left(a^{1/2} - a^{-1/2}\right)^2 + 2$를 적용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $a + a^{-1} = 3^2 + 2 = 11$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $a^2 + a^{-2} = (a + a^{-1})^2 - 2 = 11^2 - 2 = 119$이다.

최종 정답: $11, \; 119$

문항 2 해설 대수 · 로그부등식 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 부등식 $\left(\log_2 x\right)^2 - \log_2(x^5) + 4 \le 0$을 만족시키는 모든 정수 $x$의 값의 합을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 진수 조건에서 $x > 0$이고, $t = \log_2 x$로 치환하면 $t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4) \le 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $1 \le \log_2 x \le 4$에서 밑이 $2 > 1$이므로 $2^1 \le x \le 2^4$, 즉 $2 \le x \le 16$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 이를 만족시키는 정수 $x$의 합은 $\sum_{x=2}^{16} x = \dfrac{15(2 + 16)}{2} = 135$이다.

최종 정답: $135$

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모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 등비수열의 활용 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_4 = 15$, $S_8 = 255$일 때, $S_{12}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 등비수열의 부분합 성질에 의하여 $S_4, \; S_8 - S_4, \; S_{12} - S_8$도 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $S_4 = 15$이고 $S_8 - S_4 = 255 - 15 = 240$이므로 부분합 사이의 공비는 $r^4 = \dfrac{240}{15} = 16$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $S_{12} - S_8 = 240 \cdot 16 = 3840$이므로 $S_{12} = 255 + 3840 = 4095$이다.

최종 정답: $4095$

문항 4 해설 대수 · 귀납적으로 정의된 수열 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 3$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 2a_n - 1$을 만족시킬 때, $a_8$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 점화식의 양변에서 $1$을 빼면 $a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1)$이므로 수열 $\{a_n - 1\}$은 첫째항이 $a_1 - 1 = 2$, 공비가 $2$인 등비수열이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 따라서 $a_n - 1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n \implies a_n = 2^n + 1$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $n = 8$을 대입하면 $a_8 = 2^8 + 1 = 256 + 1 = 257$이다.

최종 정답: $257$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 무한대 극한과 다항식 결정 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{2x^2 + 1} = 3$, $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 5$를 만족시킬 때, $f(0)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 무한대 극한 조건에서 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $6$인 이차다항식이고, $x \to 2$ 극한에서 $f(2) = 0$이므로 $f(x) = 6(x - 2)(x - k)$로 놓는다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\lim_{x \to 2} \dfrac{6(x - 2)(x - k)}{x - 2} = 6(2 - k) = 5$에서 $2 - k = \dfrac{5}{6} \implies k = \dfrac{7}{6}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $f(0) = 6(-2)\left(-\dfrac{7}{6}\right) = 14$이다.

최종 정답: $14$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 평균값 정리 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10$에 대하여 닫힌구간 $[-2, 4]$에서 평균값 정리를 만족시키는 양수 $c$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 구간 $[-2, 4]$에서의 평균변화율은 $\dfrac{f(4) - f(-2)}{4 - (-2)} = \dfrac{-10 - 8}{6} = -3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 도함수 $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$에 대하여 평균값 정리 조건 $f'(c) = 3c^2 - 6c - 9 = -3 \iff c^2 - 2c - 2 = 0$을 세운다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 구간 $(-2, 4)$에 속하는 양수 $c$는 $c = 1 + \sqrt{3}$이다.

최종 정답: $1 + \sqrt{3}$

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실천공학 수리 심화 3회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 부정적분과 극값 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 이차함수 $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$를 도함수로 갖는 함수 $f(x)$의 극솟값이 $-2$일 때, $f(x)$의 극댓값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f'(x) = 3(x - 1)(x - 3) = 0$이므로 함수 $f(x)$는 $x = 1$에서 극대, $x = 3$에서 극소가 된다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 부정적분을 구하면 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + C$이고, 극솟값 조건 $f(3) = 27 - 54 + 27 + C = -2$에서 $C = -2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 극댓값은 $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$이다.

최종 정답: $2$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 정적분과 속도의 활용 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 지면에서 지면과 수직인 위쪽 방향으로 초속 $30\,\text{m/s}$로 쏘아 올린 물체의 $t$초 후의 속도가 $v(t) = 30 - 10t\,(\text{m/s})$일 때, 이 물체가 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시각 $t_1$과 최고 높이 $H$를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 최고 높이에서 순간 속도는 $v(t) = 30 - 10t = 0$이므로 $t_1 = 3$ (초)이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 지면에서 출발하였으므로 최고 높이 $H$는 $t = 0$에서 $t = 3$까지의 위치 변화량 $\int_0^3 (30 - 10t)\,dt$와 같다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $H = \left[30t - 5t^2\right]_0^3 = 90 - 45 = 45\,(\text{m})$이다.

최종 정답: $t_1 = 3, \; H = 45$