양수 $a$가 $a^{1/2} - a^{-1/2} = 3$을 만족시킬 때, $a + a^{-1}$과 $a^2 + a^{-2}$의 값을 각각 구하시오.

부등식 $\left(\log_2 x\right)^2 - \log_2(x^5) + 4 \le 0$을 만족시키는 모든 정수 $x$의 값의 합을 구하시오.

등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_4 = 15$, $S_8 = 255$일 때, $S_{12}$의 값을 구하시오.

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 3$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 2a_n - 1$을 만족시킬 때, $a_8$의 값을 구하시오.

다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{2x^2 + 1} = 3$, $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 5$를 만족시킬 때, $f(0)$의 값을 구하시오.

함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10$에 대하여 닫힌구간 $[-2, 4]$에서 평균값 정리를 만족시키는 양수 $c$의 값을 구하시오.

이차함수 $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$를 도함수로 갖는 함수 $f(x)$의 극솟값이 $-2$일 때, $f(x)$의 극댓값을 구하시오.

지면에서 지면과 수직인 위쪽 방향으로 초속 $30\,\text{m/s}$로 쏘아 올린 물체의 $t$초 후의 속도가 $v(t) = 30 - 10t\,(\text{m/s})$일 때, 이 물체가 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시각 $t_1$과 최고 높이 $H$를 각각 구하시오.