2027학년도 한국기술교육대학교 모의고사 1회 해설집

2027학년도 한국기술교육대학교 약술형 논술 모의고사 1회 해설집

실천공학 수리 기초 1회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 거듭제곱근과 지수법칙 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[문제] 두 양수 $p, q$가 $\sqrt[3]{p^2} = 9$, $\sqrt[4]{q^3} = 8$을 만족시킬 때, $\dfrac{p^{4/3}}{q^{1/2}}$의 값을 기약분수로 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 거듭제곱근을 유리수 지수로 나타내면 $p^{2/3} = 9$, $q^{3/4} = 8 = 2^3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $p^{4/3} = \left(p^{2/3}\right)^2 = 9^2 = 81$이고, $q^{1/4} = 2$에서 $q^{1/2} = \left(q^{1/4}\right)^2 = 4$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 식의 값은 $\dfrac{81}{4}$이다.

최종 정답: $\dfrac{81}{4}$

문항 2 해설 대수 · 지수함수와 로그방정식 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 방정식 $\log_3(x - 2) + \log_3(x + 4) = 3$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 진수 조건에서 $x - 2 > 0$이고 $x + 4 > 0$이므로 $x > 2$이어야 한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 로그의 성질에 의하여 $\log_3\{(x - 2)(x + 4)\} = 3 \implies (x - 2)(x + 4) = 3^3 = 27$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $x^2 + 2x - 35 = (x + 7)(x - 5) = 0$에서 진수 조건 $x > 2$를 만족시키는 해는 $x = 5$이다.

최종 정답: $x = 5$

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실천공학 수리 기초 1회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 삼각함수의 그래프와 주기 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] 함수 $f(x) = a\cos\left(bx - \dfrac{\pi}{3}\right) + c$ ($a > 0, \; b > 0$)의 최댓값이 $7$, 최솟값이 $-1$이고 주기가 $\dfrac{2\pi}{3}$일 때, $a + b + c + f\left(\dfrac{\pi}{9}\right)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $a > 0$이므로 최댓값 $a + c = 7$, 최솟값 $-a + c = -1$에서 연립하면 $a = 4, \; c = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 주기가 $\dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{2\pi}{3}$이므로 $b = 3$이고, $f(x) = 4\cos\left(3x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $f\left(\dfrac{\pi}{9}\right) = 4\cos 0 + 3 = 7$이므로 $a + b + c + f\left(\dfrac{\pi}{9}\right) = 4 + 3 + 3 + 7 = 17$이다.

최종 정답: $17$

문항 4 해설 대수 · 등차수열과 부분합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 등차수열 $\{a_n\}$에서 $a_2 = 17$, $a_5 = 8$일 때, 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 최대가 되도록 하는 자연수 $n$과 그때의 최댓값 $M$을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $a_5 - a_2 = 3d = 8 - 17 = -9$에서 공차는 $d = -3$이고 첫째항은 $a_1 = 17 - (-3) = 20$이므로 $a_n = 23 - 3n$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $a_n > 0 \iff 23 - 3n > 0 \iff n \le 7$이므로 제$7$항까지 양수이고 제$8$항부터 음수이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $n = 7$일 때 합이 최대이며, $M = S_7 = \dfrac{7(a_1 + a_7)}{2} = \dfrac{7(20 + 2)}{2} = 77$이다.

최종 정답: $n = 7, \; M = 77$

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실천공학 수리 기초 1회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 미정계수 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 극한 $\lim_{x \to -1} \dfrac{x^3 + ax^2 + bx + 4}{x + 1} = 6$이 성립하도록 하는 두 실수 $a, b$에 대하여 $a - b$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x \to -1$일 때 분모가 $0$에 수렴하므로 분자도 $0$에 수렴해야 하여 $-1 + a - b + 4 = 0 \implies b = a + 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 분자에 $b = a + 3$을 대입하여 인수분해하면 $(x + 1)\{x^2 + (a - 1)x + 4\}$이므로 약분 후 $x = -1$을 대입하면 $1 - (a - 1) + 4 = 6 - a$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $6 - a = 6$에서 $a = 0$이고 $b = 3$이므로 $a - b = -3$이다.

최종 정답: $-3$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 미분계수와 곱의 미분법 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 다항함수 $g(x)$가 $g(1) = -2$, $g'(1) = 4$를 만족시킬 때, 함수 $h(x) = (x^2 + 3x - 1)g(x)$에 대하여 $h'(1)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 곱의 미분법에 의하여 $h'(x) = (2x + 3)g(x) + (x^2 + 3x - 1)g'(x)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $x = 1$을 대입하면 $h'(1) = 5g(1) + 3g'(1)$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $g(1) = -2, \; g'(1) = 4$를 대입하면 $h'(1) = 5(-2) + 3(4) = 2$이다.

최종 정답: $2$

2027학년도 한국기술교육대학교 약술형 논술 모의고사 1회 해설집

실천공학 수리 기초 1회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 삼차함수의 극대와 극소 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5$의 극댓값 $M$과 극솟값 $m$을 각각 구하고, $M - m$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 도함수 $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0$에서 극점을 갖는 $x$좌표는 $x = 1, \; 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $x = 1$에서 극댓값 $M = f(1) = 1 - 6 + 9 + 5 = 9$를 갖고, $x = 3$에서 극솟값 $m = f(3) = 27 - 54 + 27 + 5 = 5$를 갖는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 극댓값과 극솟값의 차는 $M - m = 9 - 5 = 4$이다.

최종 정답: $M = 9, \; m = 5, \; M - m = 4$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 정적분으로 정의된 함수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 4x + \int_0^2 f(t)\,dt$를 만족시키는 다항함수 $f(x)$에 대하여 $f(3)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 정적분 $\int_0^2 f(t)\,dt = K$ (상수)로 놓으면 $f(x) = 3x^2 - 4x + K$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $K = \int_0^2 (3t^2 - 4t + K)\,dt = \left[t^3 - 2t^2 + Kt\right]_0^2 = 8 - 8 + 2K = 2K$에서 $K = 0$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $f(x) = 3x^2 - 4x$이므로 $f(3) = 27 - 12 = 15$이다.

최종 정답: $15$