2027학년도 한국기술교육대학교 모의고사 1회 해설집

2027학년도 한국기술교육대학교 약술형 논술 모의고사 1회 문제집

실천공학 수리 기초 1회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항

80분 · 100점 만점

문항 1 대수 · 거듭제곱근과 지수법칙 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

두 양수 $p, q$가 $\sqrt[3]{p^2} = 9$, $\sqrt[4]{q^3} = 8$을 만족시킬 때, $\dfrac{p^{4/3}}{q^{1/2}}$의 값을 기약분수로 구하시오.

【한국기술교육대 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 2 대수 · 지수함수와 로그방정식 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

방정식 $\log_3(x - 2) + \log_3(x + 4) = 3$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오.

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실천공학 수리 기초 1회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항

80분 · 100점 만점

문항 3 대수 · 삼각함수의 그래프와 주기 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

함수 $f(x) = a\cos\left(bx - \dfrac{\pi}{3}\right) + c$ ($a > 0, \; b > 0$)의 최댓값이 $7$, 최솟값이 $-1$이고 주기가 $\dfrac{2\pi}{3}$일 때, $a + b + c + f\left(\dfrac{\pi}{9}\right)$의 값을 구하시오.

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문항 4 대수 · 등차수열과 부분합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

등차수열 $\{a_n\}$에서 $a_2 = 17$, $a_5 = 8$일 때, 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 최대가 되도록 하는 자연수 $n$과 그때의 최댓값 $M$을 각각 구하시오.

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실천공학 수리 기초 1회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항

80분 · 100점 만점

문항 5 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 미정계수 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

극한 $\lim_{x \to -1} \dfrac{x^3 + ax^2 + bx + 4}{x + 1} = 6$이 성립하도록 하는 두 실수 $a, b$에 대하여 $a - b$의 값을 구하시오.

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문항 6 미적분Ⅰ · 미분계수와 곱의 미분법 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

다항함수 $g(x)$가 $g(1) = -2$, $g'(1) = 4$를 만족시킬 때, 함수 $h(x) = (x^2 + 3x - 1)g(x)$에 대하여 $h'(1)$의 값을 구하시오.

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실천공학 수리 기초 1회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항

80분 · 100점 만점

문항 7 미적분Ⅰ · 삼차함수의 극대와 극소 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5$의 극댓값 $M$과 극솟값 $m$을 각각 구하고, $M - m$의 값을 구하시오.

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문항 8 미적분Ⅰ · 정적분으로 정의된 함수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

모든 실수 $x$에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 4x + \int_0^2 f(t)\,dt$를 만족시키는 다항함수 $f(x)$에 대하여 $f(3)$의 값을 구하시오.

【한국기술교육대 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

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실천공학 수리 기초 1회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 거듭제곱근과 지수법칙 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[문제] 두 양수 $p, q$가 $\sqrt[3]{p^2} = 9$, $\sqrt[4]{q^3} = 8$을 만족시킬 때, $\dfrac{p^{4/3}}{q^{1/2}}$의 값을 기약분수로 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 거듭제곱근을 유리수 지수로 나타내면 $p^{2/3} = 9$, $q^{3/4} = 8 = 2^3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $p^{4/3} = \left(p^{2/3}\right)^2 = 9^2 = 81$이고, $q^{1/4} = 2$에서 $q^{1/2} = \left(q^{1/4}\right)^2 = 4$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 구하는 식의 값은 $\dfrac{81}{4}$이다.

최종 정답: $\dfrac{81}{4}$

문항 2 해설 대수 · 지수함수와 로그방정식 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 방정식 $\log_3(x - 2) + \log_3(x + 4) = 3$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 진수 조건에서 $x - 2 > 0$이고 $x + 4 > 0$이므로 $x > 2$이어야 한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 로그의 성질에 의하여 $\log_3\{(x - 2)(x + 4)\} = 3 \implies (x - 2)(x + 4) = 3^3 = 27$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $x^2 + 2x - 35 = (x + 7)(x - 5) = 0$에서 진수 조건 $x > 2$를 만족시키는 해는 $x = 5$이다.

최종 정답: $x = 5$

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모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 삼각함수의 그래프와 주기 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] 함수 $f(x) = a\cos\left(bx - \dfrac{\pi}{3}\right) + c$ ($a > 0, \; b > 0$)의 최댓값이 $7$, 최솟값이 $-1$이고 주기가 $\dfrac{2\pi}{3}$일 때, $a + b + c + f\left(\dfrac{\pi}{9}\right)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $a > 0$이므로 최댓값 $a + c = 7$, 최솟값 $-a + c = -1$에서 연립하면 $a = 4, \; c = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 주기가 $\dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{2\pi}{3}$이므로 $b = 3$이고, $f(x) = 4\cos\left(3x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $f\left(\dfrac{\pi}{9}\right) = 4\cos 0 + 3 = 7$이므로 $a + b + c + f\left(\dfrac{\pi}{9}\right) = 4 + 3 + 3 + 7 = 17$이다.

최종 정답: $17$

문항 4 해설 대수 · 등차수열과 부분합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 등차수열 $\{a_n\}$에서 $a_2 = 17$, $a_5 = 8$일 때, 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 최대가 되도록 하는 자연수 $n$과 그때의 최댓값 $M$을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $a_5 - a_2 = 3d = 8 - 17 = -9$에서 공차는 $d = -3$이고 첫째항은 $a_1 = 17 - (-3) = 20$이므로 $a_n = 23 - 3n$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $a_n > 0 \iff 23 - 3n > 0 \iff n \le 7$이므로 제$7$항까지 양수이고 제$8$항부터 음수이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $n = 7$일 때 합이 최대이며, $M = S_7 = \dfrac{7(a_1 + a_7)}{2} = \dfrac{7(20 + 2)}{2} = 77$이다.

최종 정답: $n = 7, \; M = 77$

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모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 미정계수 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 극한 $\lim_{x \to -1} \dfrac{x^3 + ax^2 + bx + 4}{x + 1} = 6$이 성립하도록 하는 두 실수 $a, b$에 대하여 $a - b$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x \to -1$일 때 분모가 $0$에 수렴하므로 분자도 $0$에 수렴해야 하여 $-1 + a - b + 4 = 0 \implies b = a + 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 분자에 $b = a + 3$을 대입하여 인수분해하면 $(x + 1)\{x^2 + (a - 1)x + 4\}$이므로 약분 후 $x = -1$을 대입하면 $1 - (a - 1) + 4 = 6 - a$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $6 - a = 6$에서 $a = 0$이고 $b = 3$이므로 $a - b = -3$이다.

최종 정답: $-3$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 미분계수와 곱의 미분법 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 다항함수 $g(x)$가 $g(1) = -2$, $g'(1) = 4$를 만족시킬 때, 함수 $h(x) = (x^2 + 3x - 1)g(x)$에 대하여 $h'(1)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 곱의 미분법에 의하여 $h'(x) = (2x + 3)g(x) + (x^2 + 3x - 1)g'(x)$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $x = 1$을 대입하면 $h'(1) = 5g(1) + 3g'(1)$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $g(1) = -2, \; g'(1) = 4$를 대입하면 $h'(1) = 5(-2) + 3(4) = 2$이다.

최종 정답: $2$

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 삼차함수의 극대와 극소 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 삼차함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5$의 극댓값 $M$과 극솟값 $m$을 각각 구하고, $M - m$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 도함수 $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0$에서 극점을 갖는 $x$좌표는 $x = 1, \; 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $x = 1$에서 극댓값 $M = f(1) = 1 - 6 + 9 + 5 = 9$를 갖고, $x = 3$에서 극솟값 $m = f(3) = 27 - 54 + 27 + 5 = 5$를 갖는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 극댓값과 극솟값의 차는 $M - m = 9 - 5 = 4$이다.

최종 정답: $M = 9, \; m = 5, \; M - m = 4$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 정적분으로 정의된 함수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 4x + \int_0^2 f(t)\,dt$를 만족시키는 다항함수 $f(x)$에 대하여 $f(3)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 정적분 $\int_0^2 f(t)\,dt = K$ (상수)로 놓으면 $f(x) = 3x^2 - 4x + K$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $K = \int_0^2 (3t^2 - 4t + K)\,dt = \left[t^3 - 2t^2 + Kt\right]_0^2 = 8 - 8 + 2K = 2K$에서 $K = 0$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $f(x) = 3x^2 - 4x$이므로 $f(3) = 27 - 12 = 15$이다.

최종 정답: $15$

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실천공학 수리 응용 2회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항

80분 · 100점 만점

문항 1 대수 · 상용로그의 활용 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

$\log 2 = 0.3010$, $\log 3 = 0.4771$일 때, $\log\left(\dfrac{36}{5}\right)$의 값을 소수 넷째 자리까지 구하시오.

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문항 2 대수 · 삼각함수 사이의 관계 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

$\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$이고 $\tan\theta = -\dfrac{4}{3}$일 때, $5(\sin\theta - \cos\theta)$의 값을 구하시오.

【한국기술교육대 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

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실천공학 수리 응용 2회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항

80분 · 100점 만점

문항 3 대수 · 사인법칙과 코사인법칙 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

원에 내접하는 사각형 $ABCD$에서 $\overline{AB} = 3$, $\overline{BC} = 5$, $\angle B = \dfrac{2\pi}{3}$일 때, 대각선 $AC$의 길이와 $\sin(\angle ADC)$의 값을 각각 구하시오.

【한국기술교육대 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 4 대수 · 거듭제곱의 합 공식 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

합 $\sum_{k=1}^{8} (k + 1)(2k - 1)$의 값을 구하시오.

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실천공학 수리 응용 2회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항

80분 · 100점 만점

문항 5 미적분Ⅰ · 구간별 함수의 연속성 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

함수 $f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + 5 & (x < 2) \\ -2x + b & (x \ge 2) \end{cases}$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 상수 $a, b$에 대하여 $a + b$의 값을 구하시오.

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문항 6 미적분Ⅰ · 접선에 수직인 직선 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

곡선 $y = x^3 - 2x^2 + 3x + 1$ 위의 점 $(1, 3)$을 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선의 $y$절편을 구하시오.

【한국기술교육대 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

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실천공학 수리 응용 2회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항

80분 · 100점 만점

문항 7 미적분Ⅰ · 방정식의 실근의 개수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

삼차방정식 $2x^3 - 9x^2 + 12x - k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

【한국기술교육대 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

문항 8 미적분Ⅰ · 두 곡선 사이의 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

두 포물선 $y = x^2 - 2x$와 $y = -x^2 + 4x$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

【한국기술교육대 약술형 3줄 답안 작성란 (핵심 공식 · 풀이 과정 · 최종 답안)】

2027학년도 한국기술교육대학교 약술형 논술 모의고사 2회 해설집

실천공학 수리 응용 2회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 상용로그의 활용 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

[문제] $\log 2 = 0.3010$, $\log 3 = 0.4771$일 때, $\log\left(\dfrac{36}{5}\right)$의 값을 소수 넷째 자리까지 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 진수를 $2$와 $3$, $10$의 거듭제곱으로 변형하면 $\dfrac{36}{5} = \dfrac{72}{10} = \dfrac{2^3 \cdot 3^2}{10}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 로그의 성질에 의하여 $\log\left(\dfrac{2^3 \cdot 3^2}{10}\right) = 3\log 2 + 2\log 3 - 1$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $3(0.3010) + 2(0.4771) - 1 = 0.9030 + 0.9542 - 1 = 0.8572$이다.

최종 정답: $0.8572$

문항 2 해설 대수 · 삼각함수 사이의 관계 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$이고 $\tan\theta = -\dfrac{4}{3}$일 때, $5(\sin\theta - \cos\theta)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 제$2$사분면의 각이므로 $\sin\theta > 0$, $\cos\theta < 0$이고 $1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\dfrac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \dfrac{16}{9} = \dfrac{25}{9}$에서 $\cos\theta = -\dfrac{3}{5}$이고, $\sin\theta = \tan\theta\cos\theta = \dfrac{4}{5}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $5(\sin\theta - \cos\theta) = 5\left(\dfrac{4}{5} - \left(-\dfrac{3}{5}\right)\right) = 7$이다.

최종 정답: $7$

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문항 3 해설 대수 · 사인법칙과 코사인법칙 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 원에 내접하는 사각형 $ABCD$에서 $\overline{AB} = 3$, $\overline{BC} = 5$, $\angle B = \dfrac{2\pi}{3}$일 때, 대각선 $AC$의 길이와 $\sin(\angle ADC)$의 값을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 삼각형 $ABC$에서 코사인법칙을 적용하면 $\overline{AC}^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos\dfrac{2\pi}{3} = 9 + 25 + 15 = 49$이므로 $\overline{AC} = 7$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 원에 내접하는 사각형의 대각의 합은 $\pi$이므로 $\angle ADC = \pi - \angle B = \dfrac{\pi}{3}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $\overline{AC} = 7$이고, $\sin(\angle ADC) = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이다.

최종 정답: $\overline{AC} = 7, \; \sin(\angle ADC) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

문항 4 해설 대수 · 거듭제곱의 합 공식 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 합 $\sum_{k=1}^{8} (k + 1)(2k - 1)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 일반항을 전개하면 $(k + 1)(2k - 1) = 2k^2 + k - 1$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\sum_{k=1}^{8} (2k^2 + k - 1) = 2 \cdot \dfrac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} + \dfrac{8 \cdot 9}{2} - 8$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $408 + 36 - 8 = 436$이다.

최종 정답: $436$

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문항 5 해설 미적분Ⅰ · 구간별 함수의 연속성 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문제] 함수 $f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + 5 & (x < 2) \\ -2x + b & (x \ge 2) \end{cases}$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 상수 $a, b$에 대하여 $a + b$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $x = 2$에서 미분가능하므로 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 하여 $2(2) + a = -2 \implies a = -6$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $x = 2$에서 연속이어야 하므로 $4 + 2a + 5 = -4 + b$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $a = -6$을 대입하면 $-3 = -4 + b \implies b = 1$이므로 $a + b = -5$이다.

최종 정답: $-5$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 접선에 수직인 직선 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 곡선 $y = x^3 - 2x^2 + 3x + 1$ 위의 점 $(1, 3)$을 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선의 $y$절편을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $y' = 3x^2 - 4x + 3$에서 $x = 1$일 때 접선의 기울기는 $3 - 4 + 3 = 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 접선에 수직인 직선의 기울기는 $-\dfrac{1}{2}$이고 점 $(1, 3)$을 지나므로 방정식은 $y - 3 = -\dfrac{1}{2}(x - 1)$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 이를 정리하면 $y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2}$이므로 $y$절편은 $\dfrac{7}{2}$이다.

최종 정답: $\dfrac{7}{2}$

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문항 7 해설 미적분Ⅰ · 방정식의 실근의 개수 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 삼차방정식 $2x^3 - 9x^2 + 12x - k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$라 하면 $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2) = 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $f(x)$는 $x = 1$에서 극댓값 $f(1) = 5$, $x = 2$에서 극솟값 $f(2) = 16 - 36 + 24 = 4$를 갖는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 직선 $y = k$가 곡선 $y = f(x)$와 서로 다른 세 점에서 만나려면 $4 < k < 5$이어야 한다.

최종 정답: $4 < k < 5$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 두 곡선 사이의 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 두 포물선 $y = x^2 - 2x$와 $y = -x^2 + 4x$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 교점 방정식 $x^2 - 2x = -x^2 + 4x \iff 2x(x - 3) = 0$에서 두 교점의 $x$좌표는 $0, \; 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 이차항 계수의 차가 $|1 - (-1)| = 2$이므로 넓이 공식 $S = \dfrac{|a - a'|}{6}(\beta - \alpha)^3$을 적용한다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $S = \dfrac{2}{6}(3 - 0)^3 = \dfrac{1}{3} \cdot 27 = 9$이다.

최종 정답: $9$

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문항 1 대수 · 지수법칙과 대칭식 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

양수 $a$가 $a^{1/2} - a^{-1/2} = 3$을 만족시킬 때, $a + a^{-1}$과 $a^2 + a^{-2}$의 값을 각각 구하시오.

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문항 2 대수 · 로그부등식 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

부등식 $\left(\log_2 x\right)^2 - \log_2(x^5) + 4 \le 0$을 만족시키는 모든 정수 $x$의 값의 합을 구하시오.

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문항 3 대수 · 등비수열의 활용 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_4 = 15$, $S_8 = 255$일 때, $S_{12}$의 값을 구하시오.

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문항 4 대수 · 귀납적으로 정의된 수열 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 3$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 2a_n - 1$을 만족시킬 때, $a_8$의 값을 구하시오.

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문항 5 미적분Ⅰ · 무한대 극한과 다항식 결정 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{2x^2 + 1} = 3$, $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 5$를 만족시킬 때, $f(0)$의 값을 구하시오.

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문항 6 미적분Ⅰ · 평균값 정리 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10$에 대하여 닫힌구간 $[-2, 4]$에서 평균값 정리를 만족시키는 양수 $c$의 값을 구하시오.

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문항 7 미적분Ⅰ · 부정적분과 극값 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

이차함수 $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$를 도함수로 갖는 함수 $f(x)$의 극솟값이 $-2$일 때, $f(x)$의 극댓값을 구하시오.

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문항 8 미적분Ⅰ · 정적분과 속도의 활용 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

지면에서 지면과 수직인 위쪽 방향으로 초속 $30\,\text{m/s}$로 쏘아 올린 물체의 $t$초 후의 속도가 $v(t) = 30 - 10t\,(\text{m/s})$일 때, 이 물체가 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시각 $t_1$과 최고 높이 $H$를 각각 구하시오.

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문항 1 해설 대수 · 지수법칙과 대칭식 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

[문제] 양수 $a$가 $a^{1/2} - a^{-1/2} = 3$을 만족시킬 때, $a + a^{-1}$과 $a^2 + a^{-2}$의 값을 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 곱셈 공식 $a + a^{-1} = \left(a^{1/2} - a^{-1/2}\right)^2 + 2$를 적용한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $a + a^{-1} = 3^2 + 2 = 11$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $a^2 + a^{-2} = (a + a^{-1})^2 - 2 = 11^2 - 2 = 119$이다.

최종 정답: $11, \; 119$

문항 2 해설 대수 · 로그부등식 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 부등식 $\left(\log_2 x\right)^2 - \log_2(x^5) + 4 \le 0$을 만족시키는 모든 정수 $x$의 값의 합을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 진수 조건에서 $x > 0$이고, $t = \log_2 x$로 치환하면 $t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4) \le 0$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $1 \le \log_2 x \le 4$에서 밑이 $2 > 1$이므로 $2^1 \le x \le 2^4$, 즉 $2 \le x \le 16$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 이를 만족시키는 정수 $x$의 합은 $\sum_{x=2}^{16} x = \dfrac{15(2 + 16)}{2} = 135$이다.

최종 정답: $135$

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문항 3 해설 대수 · 등비수열의 활용 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_4 = 15$, $S_8 = 255$일 때, $S_{12}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 등비수열의 부분합 성질에 의하여 $S_4, \; S_8 - S_4, \; S_{12} - S_8$도 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $S_4 = 15$이고 $S_8 - S_4 = 255 - 15 = 240$이므로 부분합 사이의 공비는 $r^4 = \dfrac{240}{15} = 16$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $S_{12} - S_8 = 240 \cdot 16 = 3840$이므로 $S_{12} = 255 + 3840 = 4095$이다.

최종 정답: $4095$

문항 4 해설 대수 · 귀납적으로 정의된 수열 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 3$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = 2a_n - 1$을 만족시킬 때, $a_8$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 점화식의 양변에서 $1$을 빼면 $a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1)$이므로 수열 $\{a_n - 1\}$은 첫째항이 $a_1 - 1 = 2$, 공비가 $2$인 등비수열이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 따라서 $a_n - 1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n \implies a_n = 2^n + 1$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $n = 8$을 대입하면 $a_8 = 2^8 + 1 = 256 + 1 = 257$이다.

최종 정답: $257$

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문항 5 해설 미적분Ⅰ · 무한대 극한과 다항식 결정 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 다항함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{2x^2 + 1} = 3$, $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 5$를 만족시킬 때, $f(0)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 무한대 극한 조건에서 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $6$인 이차다항식이고, $x \to 2$ 극한에서 $f(2) = 0$이므로 $f(x) = 6(x - 2)(x - k)$로 놓는다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\lim_{x \to 2} \dfrac{6(x - 2)(x - k)}{x - 2} = 6(2 - k) = 5$에서 $2 - k = \dfrac{5}{6} \implies k = \dfrac{7}{6}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $f(0) = 6(-2)\left(-\dfrac{7}{6}\right) = 14$이다.

최종 정답: $14$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 평균값 정리 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

[문제] 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10$에 대하여 닫힌구간 $[-2, 4]$에서 평균값 정리를 만족시키는 양수 $c$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 구간 $[-2, 4]$에서의 평균변화율은 $\dfrac{f(4) - f(-2)}{4 - (-2)} = \dfrac{-10 - 8}{6} = -3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 도함수 $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$에 대하여 평균값 정리 조건 $f'(c) = 3c^2 - 6c - 9 = -3 \iff c^2 - 2c - 2 = 0$을 세운다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 구간 $(-2, 4)$에 속하는 양수 $c$는 $c = 1 + \sqrt{3}$이다.

최종 정답: $1 + \sqrt{3}$

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문항 7 해설 미적분Ⅰ · 부정적분과 극값 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 이차함수 $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$를 도함수로 갖는 함수 $f(x)$의 극솟값이 $-2$일 때, $f(x)$의 극댓값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $f'(x) = 3(x - 1)(x - 3) = 0$이므로 함수 $f(x)$는 $x = 1$에서 극대, $x = 3$에서 극소가 된다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 부정적분을 구하면 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + C$이고, 극솟값 조건 $f(3) = 27 - 54 + 27 + C = -2$에서 $C = -2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 극댓값은 $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$이다.

최종 정답: $2$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 정적분과 속도의 활용 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 지면에서 지면과 수직인 위쪽 방향으로 초속 $30\,\text{m/s}$로 쏘아 올린 물체의 $t$초 후의 속도가 $v(t) = 30 - 10t\,(\text{m/s})$일 때, 이 물체가 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시각 $t_1$과 최고 높이 $H$를 각각 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 최고 높이에서 순간 속도는 $v(t) = 30 - 10t = 0$이므로 $t_1 = 3$ (초)이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 지면에서 출발하였으므로 최고 높이 $H$는 $t = 0$에서 $t = 3$까지의 위치 변화량 $\int_0^3 (30 - 10t)\,dt$와 같다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $H = \left[30t - 5t^2\right]_0^3 = 90 - 45 = 45\,(\text{m})$이다.

최종 정답: $t_1 = 3, \; H = 45$

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문항 1 대수 · 로그의 밑변환 공식 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

값 $\left(\log_2 9 + \log_4 3\right)\left(\log_3 16 + \log_9 4\right)$를 계산하시오.

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문항 2 대수 · 삼각부등식 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

$0 \le x < 2\pi$에서 부등식 $2\cos x - \sqrt{3} \ge 0$의 해가 $0 \le x \le \alpha$ 또는 $\beta \le x < 2\pi$일 때, $\beta - \alpha$의 값을 구하시오.

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문항 3 대수 · 삼각형의 넓이와 코사인법칙 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

세 변의 길이가 $\overline{AB} = 7$, $\overline{BC} = 8$, $\overline{CA} = 9$인 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 구하시오.

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문항 4 대수 · 로그가 포함된 급수의 소거 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

합 $\sum_{k=1}^{31} \log_2\left(1 + \dfrac{1}{k}\right)$의 값을 구하시오.

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문항 5 미적분Ⅰ · 함수의 연속성과 미정계수 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

모든 실수 $x$에서 연속인 함수 $f(x)$가 $(x + 2)f(x) = x^2 + ax - 6$을 만족시킬 때, $f(a)$의 값을 구하시오.

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문항 6 미적분Ⅰ · 미분계수와 접선의 기울기 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

곡선 $y = x^3 + ax^2 + bx - 2$ 위의 점 $(1, 2)$에서의 접선의 기울기가 $7$일 때, 상수 $a, b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오.

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문항 7 미적분Ⅰ · 정적분의 성질과 구간 분리 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

정적분 $\int_0^3 |x^2 - 2x|\,dx$의 값을 구하시오.

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문항 8 미적분Ⅰ · 넓이를 이등분하는 직선 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

곡선 $y = -x^2 + 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 $y = mx$ ($0 < m < 4$)가 이등분할 때, $(4 - m)^3$의 값을 구하시오.

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모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 로그의 밑변환 공식 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]

[문제] 값 $\left(\log_2 9 + \log_4 3\right)\left(\log_3 16 + \log_9 4\right)$를 계산하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 밑을 각각 $2$와 $3$으로 통일하면 $\log_2 9 + \log_4 3 = 2\log_2 3 + \dfrac{1}{2}\log_2 3 = \dfrac{5}{2}\log_2 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 마찬가지로 $\log_3 16 + \log_9 4 = 4\log_3 2 + \log_3 2 = 5\log_3 2$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 두 식을 곱하면 $\dfrac{5}{2}\log_2 3 \cdot 5\log_3 2 = \dfrac{25}{2}$이다.

최종 정답: $\dfrac{25}{2}$

문항 2 해설 대수 · 삼각부등식 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] $0 \le x < 2\pi$에서 부등식 $2\cos x - \sqrt{3} \ge 0$의 해가 $0 \le x \le \alpha$ 또는 $\beta \le x < 2\pi$일 때, $\beta - \alpha$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $\cos x \ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}$을 만족시키는 단위원 위의 $x$의 범위를 구한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $0 \le x < 2\pi$에서 $\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$인 각은 $x = \dfrac{\pi}{6}$와 $x = \dfrac{11\pi}{6}$이므로 $\alpha = \dfrac{\pi}{6}, \; \beta = \dfrac{11\pi}{6}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $\beta - \alpha = \dfrac{11\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{10\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{3}$이다.

최종 정답: $\dfrac{5\pi}{3}$

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모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 삼각형의 넓이와 코사인법칙 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

[문제] 세 변의 길이가 $\overline{AB} = 7$, $\overline{BC} = 8$, $\overline{CA} = 9$인 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 코사인법칙에 의하여 $\cos A = \dfrac{7^2 + 9^2 - 8^2}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \dfrac{49 + 81 - 64}{126} = \dfrac{66}{126} = \dfrac{11}{21}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\sin A = \sqrt{1 - \left(\dfrac{11}{21}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{441 - 121}}{21} = \dfrac{\sqrt{320}}{21} = \dfrac{8\sqrt{5}}{21}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 삼각형의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 \cdot \dfrac{8\sqrt{5}}{21} = 12\sqrt{5}$이다.

최종 정답: $12\sqrt{5}$

문항 4 해설 대수 · 로그가 포함된 급수의 소거 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 합 $\sum_{k=1}^{31} \log_2\left(1 + \dfrac{1}{k}\right)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $1 + \dfrac{1}{k} = \dfrac{k + 1}{k}$이므로 일반항은 $\log_2(k + 1) - \log_2 k$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $k = 1$부터 $31$까지 대입하여 더하면 연쇄 소거에 의하여 $\log_2 32 - \log_2 1$만 남는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $\log_2 2^5 - 0 = 5$이다.

최종 정답: $5$

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문항 5 해설 미적분Ⅰ · 함수의 연속성과 미정계수 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

[문제] 모든 실수 $x$에서 연속인 함수 $f(x)$가 $(x + 2)f(x) = x^2 + ax - 6$을 만족시킬 때, $f(a)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 양변에 $x = -2$를 대입하면 $0 = 4 - 2a - 6$에서 $a = -1$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $x \ne -2$일 때 $f(x) = \dfrac{x^2 - x - 6}{x + 2} = \dfrac{(x + 2)(x - 3)}{x + 2} = x - 3$이며, 연속성에 의해 모든 실수에서 $f(x) = x - 3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 $f(a) = f(-1) = -1 - 3 = -4$이다.

최종 정답: $-4$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 미분계수와 접선의 기울기 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 곡선 $y = x^3 + ax^2 + bx - 2$ 위의 점 $(1, 2)$에서의 접선의 기울기가 $7$일 때, 상수 $a, b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 점 $(1, 2)$가 곡선 위의 점이므로 $1 + a + b - 2 = 2 \implies a + b = 3$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $y' = 3x^2 + 2ax + b$에서 $x = 1$일 때 접선의 기울기가 $3 + 2a + b = 7 \implies 2a + b = 4$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 두 식을 연립하면 $a = 1, \; b = 2$이므로 $ab = 2$이다.

최종 정답: $2$

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모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 정적분의 성질과 구간 분리 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 정적분 $\int_0^3 |x^2 - 2x|\,dx$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] $x^2 - 2x = x(x - 2)$는 $0 \le x \le 2$에서 음수이고 $2 \le x \le 3$에서 양수이므로 구간을 나누어 적분한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\int_0^2 (-x^2 + 2x)\,dx = \left[-\dfrac{1}{3}x^3 + x^2\right]_0^2 = \dfrac{4}{3}$이고, $\int_2^3 (x^2 - 2x)\,dx = \left[\dfrac{1}{3}x^3 - x^2\right]_2^3 = 0 - \left(-\dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{4}{3}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 두 정적분을 더하면 $\dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}$이다.

최종 정답: $\dfrac{8}{3}$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 넓이를 이등분하는 직선 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 곡선 $y = -x^2 + 4x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 $y = mx$ ($0 < m < 4$)가 이등분할 때, $(4 - m)^3$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 곡선 $y = -x^2 + 4x$와 $x$축의 교점은 $x = 0, \; 4$이므로 전체 넓이는 $S = \dfrac{1}{6}(4 - 0)^3 = \dfrac{32}{3}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 곡선과 직선 $y = mx$의 교점은 $x = 0, \; 4 - m$이므로 둘러싸인 넓이는 $\dfrac{1}{6}(4 - m)^3$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 이 넓이가 전체 넓이의 절반인 $\dfrac{16}{3}$과 같으므로 $\dfrac{1}{6}(4 - m)^3 = \dfrac{16}{3}$에서 $(4 - m)^3 = 32$이다.

최종 정답: $32$

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문항 1 대수 · 지수함수의 최대·최소 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

정의역이 $\{x \mid 0 \le x \le 2\}$인 함수 $f(x) = 4^x - 2^{x+2} + 7$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 합 $M + m$을 구하시오.

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문항 2 대수 · 삼각방정식과 대칭성 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

$0 \le x \le 2\pi$에서 방정식 $\sin 2x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$의 모든 실근의 합을 구하시오.

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문항 3 대수 · 등차수열과 등비수열의 혼합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

세 수 $a, \; 6, \; b$는 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 $a, \; b, \; 16$은 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 양수 $a, b$에 대하여 $b - a$의 값을 구하시오.

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문항 4 대수 · 시그마와 등비급수 혼합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

합 $\sum_{k=1}^{6} \left(2^k + 3k - 2\right)$의 값을 구하시오.

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문항 5 미적분Ⅰ · 미분계수의 정의와 극한 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

다항함수 $f(x)$에 대하여 $f(3) = 2$, $f'(3) = 6$일 때, 극한 $\lim_{x \to 3} \dfrac{f(x) - 2}{x^2 - 9}$의 값을 구하시오.

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문항 6 미적분Ⅰ · 사차함수의 극값과 그래프 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

사차함수 $f(x) = x^4 - 8x^2 + 10$의 극댓값과 극솟값의 합을 구하시오.

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문항 7 미적분Ⅰ · 정적분과 미분의 관계 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_1^x (x - t)f(t)\,dt = x^3 - 2x^2 + x$를 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

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문항 8 미적분Ⅰ · 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

삼차곡선 $y = x^3 - 3x + 2$와 직선 $y = 2$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

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모범답안 · 배점 100점

문항 1 해설 대수 · 지수함수의 최대·최소 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

[문제] 정의역이 $\{x \mid 0 \le x \le 2\}$인 함수 $f(x) = 4^x - 2^{x+2} + 7$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$의 합 $M + m$을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $t = 2^x$로 치환하면 $0 \le x \le 2$에서 $1 \le t \le 4$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 주어진 함수는 $g(t) = t^2 - 4t + 7 = (t - 2)^2 + 3$ ($1 \le t \le 4$)이 된다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $t = 2$일 때 최솟값 $m = 3$, $t = 4$일 때 최댓값 $M = 7$이므로 $M + m = 10$이다.

최종 정답: $10$

문항 2 해설 대수 · 삼각방정식과 대칭성 배점 10점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

[문제] $0 \le x \le 2\pi$에서 방정식 $\sin 2x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$의 모든 실근의 합을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] $2x = t$로 치환하면 $0 \le t \le 4\pi$에서 $\sin t = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$의 실근을 구하는 것과 같다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $t = \dfrac{\pi}{3}, \; \dfrac{2\pi}{3}, \; \dfrac{7\pi}{3}, \; \dfrac{8\pi}{3}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] 따라서 모든 실근 $x = \dfrac{t}{2}$의 합은 $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{7\pi}{3} + \dfrac{8\pi}{3}\right) = 3\pi$이다.

최종 정답: $3\pi$

2027학년도 한국기술교육대학교 약술형 논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) 해설집

실천공학 수리 파이널 5회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 3 해설 대수 · 등차수열과 등비수열의 혼합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

[문제] 세 수 $a, \; 6, \; b$는 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 $a, \; b, \; 16$은 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 양수 $a, b$에 대하여 $b - a$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 등차중항 성질에 의하여 $a + b = 12 \implies a = 12 - b$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 등비중항 성질에 의하여 $b^2 = 16a = 16(12 - b) \iff b^2 + 16b - 192 = (b + 24)(b - 8) = 0$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] $b > 0$이므로 $b = 8$이고 $a = 4$이므로 $b - a = 4$이다.

최종 정답: $4$

문항 4 해설 대수 · 시그마와 등비급수 혼합 배점 15점

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

[문제] 합 $\sum_{k=1}^{6} \left(2^k + 3k - 2\right)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 시그마의 선형성에 의하여 $\sum_{k=1}^{6} 2^k + 3\sum_{k=1}^{6} k - \sum_{k=1}^{6} 2$로 분리한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $\sum_{k=1}^{6} 2^k = \dfrac{2(2^6 - 1)}{2 - 1} = 126$이고, $3\sum_{k=1}^{6} k - 12 = 3 \cdot 21 - 12 = 51$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 전체 합은 $126 + 51 = 177$이다.

최종 정답: $177$

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실천공학 수리 파이널 5회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 5 해설 미적분Ⅰ · 미분계수의 정의와 극한 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

[문제] 다항함수 $f(x)$에 대하여 $f(3) = 2$, $f'(3) = 6$일 때, 극한 $\lim_{x \to 3} \dfrac{f(x) - 2}{x^2 - 9}$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 인수분해 $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$과 $f(3) = 2$를 이용하여 식을 변형한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] $\lim_{x \to 3} \left\{\dfrac{f(x) - f(3)}{x - 3} \cdot \dfrac{1}{x + 3}\right\} = f'(3) \cdot \dfrac{1}{6}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $f'(3) = 6$을 대입하면 구하는 극한값은 $6 \cdot \dfrac{1}{6} = 1$이다.

최종 정답: $1$

문항 6 해설 미적분Ⅰ · 사차함수의 극값과 그래프 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

[문제] 사차함수 $f(x) = x^4 - 8x^2 + 10$의 극댓값과 극솟값의 합을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 도함수 $f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x + 2)(x - 2) = 0$에서 극점의 $x$좌표는 $x = -2, \; 0, \; 2$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] $x = 0$에서 극댓값 $f(0) = 10$을 갖고, $x = \pm 2$에서 극솟값 $f(2) = 16 - 32 + 10 = -6$을 갖는다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 극댓값과 극솟값의 합은 $10 + (-6) = 4$이다.

최종 정답: $4$

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실천공학 수리 파이널 5회 · 대수 & 미적분Ⅰ 핵심 8문항 — Track B 3줄 풀이 노트 & 채점 루브릭

모범답안 · 배점 100점

문항 7 해설 미적분Ⅰ · 정적분과 미분의 관계 배점 15점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

[문제] 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_1^x (x - t)f(t)\,dt = x^3 - 2x^2 + x$를 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 4점)] 주어진 식을 $x\int_1^x f(t)\,dt - \int_1^x tf(t)\,dt = x^3 - 2x^2 + x$로 전개한 뒤 양변을 $x$에 대하여 미분한다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 6점)] 첫 번째 미분에서 $\int_1^x f(t)\,dt = 3x^2 - 4x + 1$을 얻고, 다시 한 번 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = 6x - 4$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 5점)] 따라서 $f(2) = 12 - 4 = 8$이다.

최종 정답: $8$

문항 8 해설 미적분Ⅰ · 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이 배점 10점

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 유제 8 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

[문제] 삼차곡선 $y = x^3 - 3x + 2$와 직선 $y = 2$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.

[1줄 · 공식선언 (30% / 3점)] 교점 방정식 $x^3 - 3x + 2 = 2 \iff x(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) = 0$에서 교점의 $x$좌표는 $-\sqrt{3}, \; 0, \; \sqrt{3}$이다.

[2줄 · 핵심계산 (40% / 4점)] 기함수 대칭성에 의하여 $S = 2\int_0^{\sqrt{3}} (3x - x^3)\,dx = 2\left[\dfrac{3}{2}x^2 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_0^{\sqrt{3}}$이다.

[3줄 · 최종결론 (30% / 3점)] $S = 2\left(\dfrac{9}{2} - \dfrac{9}{4}\right) = \dfrac{9}{2}$이다.

최종 정답: $\dfrac{9}{2}$

2027학년도 대비 한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (문제집) 80분 / 100점 만점 · 교과서 중심 3단계 약술 풀이

[약술문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch03_미래엔) PDF p.44 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 지수함수 $y = 2^{x - 192} + 192$와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 $y - x = 0\cdot 388$에 대하여 서로 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 $-1$인 직선 $x + y = 388$은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 $\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 388)$도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.

직선 $y = -x + 388$이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 388)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 $x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 388$임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 $\mathrm{M}(194, 194)$의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 $\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 194)$일 때, $x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 388)$를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 $x + y - 388 = 0$까지의 거리 $h = \dfrac{388}{\sqrt{2}}$를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[약술문항 2] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{195}\right)$을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 6$가 되어 역수 수열은 공차가 $6$인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 $n$에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 $n = 1\;(a_1 = 1/195)$일 때 성립함을 보이고, $n = k$일 때 성립한다고 가정하여 $n = k + 1$일 때도 성립함을 연역한다.

첫째항이 $a_1 = \dfrac{1}{195}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}$을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 195\right)$을 이용하여 $b_n = 6n + 189$와 $a_n$의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 일반항 $a_n = \dfrac{1}{6n + 189}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 2-3] (7점) 부분분수 항등식 $6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$을 이용하여 급수 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{49725}$의 값을 유도하시오.

[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[약술문항 3] 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 삼차다항함수 결정 및 접선 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수의 도함수는 정의에 의하여 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\;\left(f'(0) = 196\right)$로 정의된다.
<제시문 (나)> 모든 실수 $x, y$에 대하여 성립하는 항등식 $f(x+y) = f(x) + f(y) + 9xy(x+y) - 192$이 주어지면 원점 대입으로 $f(0) = 192$를 먼저 결정한다.

미분가능한 다항함수가 모든 실수에 대하여 등식 $f(x + y) = f(x) + f(y) + 9xy(x + y) - 192$을 만족시키고 $f'(0) = 196$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 원점 대입으로 $f(0) = 192$를 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 $f'(x) = 9x^2 + 196$임을 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 부정적분으로 함수 $f(x) = 3x^3 + 196x + 192$를 결정하고, 곡선 위의 점 $(1, 391)$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\;\left(f'(2) = 232\right)$의 값을 구하시오.

[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[약술문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 $t\;(0 \le t \le 564)$에서의 위치 차 함수를 $h(t) = t(t - 564)^2$라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 $h'(t)$이다.
<제시문 (나)> 닫힌구간 $[0, 564]$에서 두 점 사이의 거리 $D(t) = |t(t - 564)^2|$는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치 차 함수가 $h(t) = t^3 - 1128t^2 + 318096t = t(t - 564)^2$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 $t_1 = 564$를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 $h'(564) = 0$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 564]$에서 도함수 $h'(t) = 3(t - 188)(t - 564)$의 부호를 조사하여 거리 최댓값 $D(188) = 26578688$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 $h''(t) = 6t - 2256 = 0$이 되는 시각 $t_2 = 376$와 그때 두 점 사이의 거리 $D(376) = 13289344$를 각각 구하시오.

[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

[약술문항 5] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 $y = -6x(x - 189)$의 그래프와 가로축이 두 점 $(0, 0),\; (189, 0)$에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \int_0^{189} (-6x^2 + 1134x)\,dx = 6751269$이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 $x = \dfrac{189}{2}$에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 $6751269$를 정확히 이등분한다.

포물선 $C : y = -6x^2 + 1134x$와 가로축 및 원점을 지나는 직선 $L : y = 567x$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 $y = -6x^2 + 1134x$와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S = 6751269$를 유도하시오.

[문항 5-2] (7점) 직선 $x = k$가 넓이 $S = 6751269$를 이등분하는 상수 $k = \dfrac{189}{2}$를 구하고, $\int_0^{189/2} (-6x^2 + 1134x)\,dx = \dfrac{6751269}{2}$임을 확인하시오.

[문항 5-3] (7점) 포물선 $y = -6x^2 + 1134x$와 직선 $y = 567x$의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1 = \dfrac{6751269}{8}$을 구하시오.

[약술형 3줄 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제6회 (해설집) 80분 / 100점 만점 · 교과서 중심 3단계 약술 풀이

[약술문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch03_미래엔) PDF p.44 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]

[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 $x + y - 388 = 0$까지의 거리 $h = \dfrac{388}{\sqrt{2}}$를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] $x_1 + x_2 = 388,\; \mathrm{M}(194, 194)$ | [1-2] $\mathrm{P}(193, 195),\; \mathrm{Q}(195, 193)$ | [1-3] 넓이 $S = 388$

[1줄: 공식선언 (30%)] 두 교점은 직선 $x + y = 388$ 위에 있고 역함수 대칭이므로 $x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 388$이며 중점은 $\mathrm{M}(194, 194)$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 기울기가 $-1$인 직선 위의 두 점 거리 공식에서 $\sqrt{2}(x_2 - x_1) = 2\sqrt{2} \implies x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 388)$이므로 연립하면 $\mathrm{P}(193, 195),\; \mathrm{Q}(195, 193)$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 원점에서 직선 $x + y - 388 = 0$까지의 거리는 $h = \dfrac{388}{\sqrt{2}}$이므로 삼각형 OPQ의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{388}{\sqrt{2}} = 388$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 $x_1 + x_2 = 388$ 유도 +3점 / 중점 $\mathrm{M}(194, 194)$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 $x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 388)$ 도출 +3점 / 좌표 $\mathrm{P}(193, 195),\; \mathrm{Q}(195, 193)$ 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 $h = \dfrac{388}{\sqrt{2}}$ 계산 +4점 / 삼각형 넓이 $S = 388$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 $-1$인 직선 $x + y = 388$ 위에서 두 점의 좌표 차가 주어지면 대칭축 중점 $\mathrm{M}(194, 194)$을 기준으로 좌표를 즉시 결정할 수 있습니다.

[약술문항 2] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

첫째항이 $a_1 = \dfrac{1}{195}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}$을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 195\right)$을 이용하여 $b_n = 6n + 189$와 $a_n$의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 일반항 $a_n = \dfrac{1}{6n + 189}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 2-3] (7점) 부분분수 항등식 $6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$을 이용하여 급수 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{49725}$의 값을 유도하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] $b_n = 6n + 189,\; a_n = \dfrac{1}{6n + 189}$ | [2-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [2-3] $\dfrac{10}{195\times 255} = \dfrac{10}{49725}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 역수 치환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 195\right)$에서 $b_{n+1} - b_n = 6$이므로 $b_n = 195 + 6(n - 1) = 6n + 189$이고 $a_n = \dfrac{1}{6n + 189}$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] (i) 초기항 $a_1 = \dfrac{1}{195}$ 성립. (ii) $a_k = \dfrac{1}{6k + 189}$이라 가정하면 $a_{k+1} = \dfrac{a_k}{6a_k + 1} = \dfrac{1}{6(k+1) + 189}$이므로 모든 자연수에서 성립한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 부분분수 분해에 의해 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{195} - \dfrac{1}{255}\right) = \dfrac{10}{49725}$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 역수 등차수열 $b_n = 6n + 189$ 유도 +3점 / 일반항 $a_n = \dfrac{1}{6n + 189}$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 초기 조건 $a_1 = \dfrac{1}{195}$ 확인 +2점 / 귀납 가정 후 $a_{k+1} = \dfrac{1}{6(k+1) + 189}$ 연역 +5점
소문항 [2-3]	• 망원급수 변형 $\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{195} - \dfrac{1}{255}\right)$ +4점 / 합 $\dfrac{10}{49725}$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 원래 점화식의 분모를 곱하면 $6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$이 바로 유도되어 망원급수 소거가 한 줄로 정리됩니다.

[약술문항 3] 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 삼차다항함수 결정 및 접선 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]

미분가능한 다항함수가 모든 실수에 대하여 등식 $f(x + y) = f(x) + f(y) + 9xy(x + y) - 192$을 만족시키고 $f'(0) = 196$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 원점 대입으로 $f(0) = 192$를 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 $f'(x) = 9x^2 + 196$임을 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 부정적분으로 함수 $f(x) = 3x^3 + 196x + 192$를 결정하고, 곡선 위의 점 $(1, 391)$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한값 $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\;\left(f'(2) = 232\right)$의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] $f(0) = 192,\; f'(x) = 9x^2 + 196$ | [3-2] $f(x) = 3x^3 + 196x + 192$, 접선 $y = 205x + 186$ | [3-3] $\dfrac{232}{4}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 함수방정식에 원점을 대입하면 $f(0) = 2f(0) - 192 \implies f(0) = 192$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 도함수 정의에 대입하면 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - 192 + 9xh(x+h)}{h} = 9x^2 + 196$이므로 적분하면 $f(x) = 3x^3 + 196x + 192$이고, 점 $(1, 391)$에서의 접선은 $y = 205x + 186$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 분모를 인수분해하면 $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{232}{4}$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• $f(0) = 192$ 산출 +2점 / 도함수 정의로 $f'(x) = 9x^2 + 196$ 유도 +4점
소문항 [3-2]	• $f(x) = 3x^3 + 196x + 192$ 결정 +4점 / 접선 $y = 205x + 186$ 도출 +3점
소문항 [3-3]	• 미분계수 식 $\dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{232}{4}$ 변형 +4점 / 극한값 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 도함수 정의식을 전개할 때 상수항 $-192$를 $-f(0)$으로 바꾸어 $\dfrac{f(h)-f(0)}{h} \to f'(0) = 196$를 명시해야 감점이 없습니다.

[약술문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치 차 함수가 $h(t) = t^3 - 1128t^2 + 318096t = t(t - 564)^2$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 $t_1 = 564$를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 $h'(564) = 0$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 564]$에서 도함수 $h'(t) = 3(t - 188)(t - 564)$의 부호를 조사하여 거리 최댓값 $D(188) = 26578688$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 $h''(t) = 6t - 2256 = 0$이 되는 시각 $t_2 = 376$와 그때 두 점 사이의 거리 $D(376) = 13289344$를 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] $t_1 = 564,\; h'(564) = 0$ | [4-2] $t = 188$에서 최댓값 $26578688$ | [4-3] $t_2 = 376,\; D(376) = 13289344$

[1줄: 공식선언 (30%)] 위치 차 $h(t) = t(t - 564)^2 = 0\;(t \gt 0)$에서 $t_1 = 564$이고, 도함수 $h'(t) = 3(t - 188)(t - 564)$에 대입하면 $h'(564) = 0$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 $[0, 564]$에서 내부 극대점은 $t = 188$이므로 최댓값은 $D(188) = 188(-376)^2 = 26578688$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 이계도함수 $h''(t) = 6t - 2256 = 0$에서 $t_2 = 376$이고, 그때의 거리는 $D(376) = 376(-188)^2 = 13289344$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• $t_1 = 564$ 도출 +3점 / 속도 차 $h'(564) = 0$ 확인 +3점
소문항 [4-2]	• $h'(t) = 3(t - 188)(t - 564) = 0$ 극대 판정 +4점 / 최댓값 $26578688$ 산출 +3점
소문항 [4-3]	• $h''(t) = 6t - 2256 = 0 \implies t_2 = 376$ 도출 +3점 / 거리 $13289344$ 계산 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수 비율 관계($1 : 2 : 3$)에 의해 원점 $t=0$, 극대 $t=188$, 변곡 $t=376$, 접점 $t=564$이 등간격 $188$로 배열됩니다.

[약술문항 5] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

포물선 $C : y = -6x^2 + 1134x$와 가로축 및 원점을 지나는 직선 $L : y = 567x$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 $y = -6x^2 + 1134x$와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S = 6751269$를 유도하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] $S = 6751269$ | [5-2] $k = \dfrac{189}{2},\; \text{정적분 } \dfrac{6751269}{2}$ | [5-3] 교점 $x = 0, \dfrac{189}{2}$, 넓이 $S_1 = \dfrac{6751269}{8}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분을 계산하면 $S = \left[-2x^3 + 567x^2\right]_0^{189} = -2(189)^3 + 3(189)^3 = 6751269$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 포물선의 대칭축 $x = \dfrac{189}{2}$에 의해 $k = \dfrac{189}{2}$이고, 실제로 $\left[-2x^3 + 567x^2\right]_0^{189/2} = -\dfrac{6751269}{4} + \dfrac{3\times 6751269}{4} = \dfrac{6751269}{2}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 연립방정식 $-6x^2 + 1134x = 567x \implies 6x\left(x - \dfrac{189}{2}\right) = 0$이므로 교점은 $x = 0, \dfrac{189}{2}$이고 넓이는 $S_1 = \int_0^{189/2} (-6x^2 + 567x)\,dx = \dfrac{6751269}{8}$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 원시함수 $-2x^3 + 567x^2$ 적분 +3점 / 넓이 $S = 6751269$ 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 대칭축 $k = \dfrac{189}{2}$ 도출 +3점 / 구간 $[0, 189/2]$ 적분값 $\dfrac{6751269}{2}$ 확인 +4점
소문항 [5-3]	• 교점 $x = \dfrac{189}{2}$ 산출 +3점 / 넓이 $S_1 = \dfrac{6751269}{8}$ 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 이차항 계수가 $-6$이고 두 교점의 차가 $\beta - \alpha = \dfrac{189}{2}$일 때 둘러싸인 넓이는 항상 $(\beta - \alpha)^3 = \dfrac{6751269}{8}$이 됩니다.

2027학년도 대비 한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (문제집) 80분 / 100점 만점 · 교과서 중심 3단계 약술 풀이

[약술문항 1] 유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch03_미래엔) PDF p.45 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 양수 $x$에 대하여 $u = x^{1/2}\;\left(u + u^{-1} = \sqrt{199}\right)$로 치환하면 지수법칙에 의하여 $x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = 197$이다.
<제시문 (나)> $u + u^{-1} = \sqrt{199}$일 때 세제곱 곱셈 공식 $u^3 + u^{-3} = (u + u^{-1})^3 - 3(u + u^{-1}) = 196\sqrt{199}$이 성립한다.

양수 $x$가 $x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{199}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 $x + x^{-1} = 197$임을 보이고 $x^2 + x^{-2} = 38807$의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 $x^{3/2} + x^{-3/2} = 196\sqrt{199}$과 $x^3 + x^{-3} = 7644782$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 $\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{7644784}{196\sqrt{199}}$의 값을 구하시오.

[약술문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]

<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=564,\; c=940\right)$와 사인법칙 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=1316\right)$이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 $S$와 둘레의 길이 $a + b + c = 2820$, 내접원의 반지름 $r$ 사이에는 $S = \dfrac{2820}{2}r$가 성립한다.

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 $b = 564,\; c = 940$이고 끼인각이 $A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=564\right)$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 $a = 1316$의 길이를 유도하시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 $R = \dfrac{1316\sqrt{3}}{3}$과 삼각형의 넓이 $S = \dfrac{530160\sqrt{3}}{4}$를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 $r = \dfrac{188\sqrt{3}}{2}$를 구하고 반지름의 곱 $R\cdot r$을 구하시오.

[약술문항 3] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -767$을 만족시키면 최고차항 계수가 $2$인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> $\lim_{x \to 191} \dfrac{f(x)}{(x - 191)^2} = 379$이 수렴하면 인수정리에 의해 $f(x) = (x - 191)^2(2x + r)$ 꼴로 인수분해된다.

삼차다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -767$과 $\lim_{x \to 191} \dfrac{f(x)}{(x - 191)^2} = 379$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 $f(x) = (x - 191)^2(2x + r)$로 놓고 상수 $r = -3$을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 구한 함수 $f(x) = (x - 191)^2(2x + -3)$이 무한대 극한 조건 $-767$을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 3-3] (7점) 함숫값 $f(193) = 1532$의 값과 $x = 191$에서의 미분계수 $f'(191) = 0$의 값을 각각 구하시오.

[약술문항 4] 절댓값 인수를 포함한 다항 곱함수의 실수 전체 미분가능 조건 증명 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 이차함수 $P(x) = x^2 - 381x + 36288$에 대하여 함수 $h(x) = |x - 192|P(x)$가 $x = 192$에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 좌·우미분계수가 일치하여 $P(192) = 0$인 것이다.
<제시문 (나)> $P(x) = (x - 192)(x - 189)$일 때 구간 $x \lt 192$에서 $h(x) = -(x - 192)^2(x - 189)$로 표현된다.

이차함수 $P(x) = x^2 - 381x + 36288$에 대하여 함수 $h(x) = |x - 192|P(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) $x = 192$에서의 우미분계수 $P(192)$와 좌미분계수 $-P(192)$를 미분계수 정의로 구하고 $P(192) = 0$임을 확인하시오.

[문항 4-2] (7점) 구간 $x \lt 192$에서 도함수 $h'(x) = -3(x - 192)(x - 190)$을 유도하시오.

[문항 4-3] (7점) $x \ne 192$에서 도함수가 영이 되는 $x = 190$의 값과 그때의 함숫값 $h(190) = -4\;(\text{기준점 } 192)$를 구하시오.

[약술문항 5] 상수 구간 정적분을 포함한 프레드홀름 항등식의 치환 해법 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 상수 구간 정적분 $A = \int_0^1 f(t)\,dt\;\left(c = 581\right)$는 적분변수와 무관한 상수이므로, 등식 $f(x) = 3x^2 - 4Ax + 581$을 양변 $[0, 1]$에서 다시 적분하면 $A = 194$에 대한 일차방정식을 얻는다.
<제시문 (나)> 대칭 구간 $[-1, 1]$에서 기함수의 정적분은 소거되고 우함수의 정적분은 $2\int_0^1 (3x^2 + 581)\,dx = 1164$이다.

연속함수가 모든 실수에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 4x\int_0^1 f(t)\,dt + 581$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 상수 $A$로 치환하고 $A = \int_0^1 (3t^2 - 4At + 581)\,dt$를 풀어 상수 $A = 194$과 함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 $f(x) = 3x^2 - 776x + 581$이 극솟값을 갖는 좌표 $x = \dfrac{388}{3}$와 함숫값 $f(1) = -192$을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (나)의 우·기함수 대칭성을 이용하여 $\int_{-1}^{1} (3x^2 - 776x + 581)\,dx = 1164$의 값을 구하시오.

2027학년도 대비 한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (해설집) 80분 / 100점 만점 · 교과서 중심 3단계 약술 풀이

[약술문항 1] 유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch03_미래엔) PDF p.45 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]

양수 $x$가 $x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{199}$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 $x + x^{-1} = 197$임을 보이고 $x^2 + x^{-2} = 38807$의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 $x^{3/2} + x^{-3/2} = 196\sqrt{199}$과 $x^3 + x^{-3} = 7644782$의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 $\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{7644784}{196\sqrt{199}}$의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] $x + x^{-1} = 197,\; x^2 + x^{-2} = 38807$ | [1-2] $x^{3/2} + x^{-3/2} = 196\sqrt{199},\; x^3 + x^{-3} = 7644782$ | [1-3] $196\sqrt{199}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 제곱 공식에서 $x + x^{-1} = (\sqrt{199})^2 - 2 = 197$이고, 다시 제곱하면 $x^2 + x^{-2} = 197^2 - 2 = 38807$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 세제곱 공식에서 $x^{3/2} + x^{-3/2} = (\sqrt{199})^3 - 3\sqrt{199} = 196\sqrt{199}$이고, $x^3 + x^{-3} = 197^3 - 3\times 197 = 7644782$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 분자 $x^3 + x^{-3} + 2 = 7644784 = (196\sqrt{199})^2$이므로 분모 $196\sqrt{199}$로 약분하면 $196\sqrt{199}$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• $x + x^{-1} = 197$ 유도 +3점 / $x^2 + x^{-2} = 38807$ 산출 +3점
소문항 [1-2]	• $x^{3/2} + x^{-3/2} = 196\sqrt{199}$ 도출 +3점 / $x^3 + x^{-3} = 7644782$ 계산 +4점
소문항 [1-3]	• 분자 $7644784$ 완전제곱 변형 +4점 / 약분 결과 $196\sqrt{199}$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분자 $7644784 = (196\sqrt{199})^2$임을 활용하면 큰 수의 유리화 없이 한 번의 약분으로 정확한 값을 얻을 수 있습니다.

[약술문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 $b = 564,\; c = 940$이고 끼인각이 $A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=564\right)$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 $a = 1316$의 길이를 유도하시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 $R = \dfrac{1316\sqrt{3}}{3}$과 삼각형의 넓이 $S = \dfrac{530160\sqrt{3}}{4}$를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 $r = \dfrac{188\sqrt{3}}{2}$를 구하고 반지름의 곱 $R\cdot r$을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] $a = 1316$ | [2-2] $R = \dfrac{1316\sqrt{3}}{3},\; S = \dfrac{530160\sqrt{3}}{4}$ | [2-3] $r = \dfrac{188\sqrt{3}}{2},\; R\cdot r = \dfrac{247408}{2}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙에서 $a^2 = 564^2 + 940^2 - 2(564)(940)(-1/2) = 49\times 188^2$이므로 $a = 1316$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 사인법칙에서 $2R = \dfrac{1316}{\sqrt{3}/2} \implies R = \dfrac{1316\sqrt{3}}{3}$이고, 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\times 564\times 940\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{530160\sqrt{3}}{4}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 둘레가 $a + b + c = 2820$이므로 $\dfrac{2820}{2}r = \dfrac{530160\sqrt{3}}{4} \implies r = \dfrac{188\sqrt{3}}{2}$이고 $R\cdot r = \dfrac{247408}{2}$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 $a^2 = 49\times 188^2$ +3점 / $a = 1316$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 $R = \dfrac{1316\sqrt{3}}{3}$ 산출 +3점 / 넓이 $S = \dfrac{530160\sqrt{3}}{4}$ 계산 +4점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 $r = \dfrac{188\sqrt{3}}{2}$ 유도 +4점 / 곱 $R\cdot r = \dfrac{247408}{2}$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 끼인각이 $120^\circ$이고 두 변의 비가 $3 : 5$인 둔각삼각형은 대변의 비가 항상 $7$이 되는 대표적인 정수비 삼각형($3\times 188 : 5\times 188 : 7\times 188$)입니다.

[약술문항 3] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

삼차다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -767$과 $\lim_{x \to 191} \dfrac{f(x)}{(x - 191)^2} = 379$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 $f(x) = (x - 191)^2(2x + r)$로 놓고 상수 $r = -3$을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 구한 함수 $f(x) = (x - 191)^2(2x + -3)$이 무한대 극한 조건 $-767$을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 3-3] (7점) 함숫값 $f(193) = 1532$의 값과 $x = 191$에서의 미분계수 $f'(191) = 0$의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] $r = -3$ | [3-2] 이차항 계수 $-767$ 일치 검증 완료 | [3-3] $f(193) = 1532,\; f'(191) = 0$

[1줄: 공식선언 (30%)] 제시문 (나)의 극한식에 대입하면 $\lim_{x \to 191} (2x + r) = 382 + r = 379$이므로 $r = -3$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 전개하면 $f(x) = (x^2 - 382x + 36481)(2x + -3) = 2x^3 + (-767)x^2 + \cdots$이므로 이차항 계수 $-767$이 정확히 성립한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] $x = 193$를 대입하면 $f(193) = 4(386 + -3) = 1532$이고, $(x - 191)^2$을 인수로 가지므로 $f'(191) = 0$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 $r = -3$ 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 삼차식 전개 후 이차항 계수 $-767$ 확인 +7점
소문항 [3-3]	• $f(193) = 1532$ 산출 +4점 / 중근 성질로 $f'(191) = 0$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분모에 $(x - 191)^2$이 있을 때 극한이 수렴하려면 분자는 $x = 191$을 반드시 중근 이상으로 가져야 합니다.

[약술문항 4] 절댓값 인수를 포함한 다항 곱함수의 실수 전체 미분가능 조건 증명 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

이차함수 $P(x) = x^2 - 381x + 36288$에 대하여 함수 $h(x) = |x - 192|P(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) $x = 192$에서의 우미분계수 $P(192)$와 좌미분계수 $-P(192)$를 미분계수 정의로 구하고 $P(192) = 0$임을 확인하시오.

[문항 4-2] (7점) 구간 $x \lt 192$에서 도함수 $h'(x) = -3(x - 192)(x - 190)$을 유도하시오.

[문항 4-3] (7점) $x \ne 192$에서 도함수가 영이 되는 $x = 190$의 값과 그때의 함숫값 $h(190) = -4\;(\text{기준점 } 192)$를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] $P(192) = -P(192) = 0$ 확인 | [4-2] $h'(x) = -3(x - 192)(x - 190)$ | [4-3] $x = 190,\; h(190) = -4$

[1줄: 공식선언 (30%)] 미분계수 정의에서 $\lim_{x \to 192\pm} \dfrac{|x - 192|P(x)}{x - 192} = \pm P(192)$이고 실제로 $P(192) = (192 - 192)(192 - 189) = 0$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 $x \lt 192$에서 $h(x) = -(x - 192)^2(x - 189)$를 미분하면 $h'(x) = -(x - 192)(3x - 570) = -3(x - 192)(x - 190)$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 $x \ne 192$에서 극점은 $x = 190$이고, 대입하면 $h(190) = -(190 - 192)^2(190 - 189) = -4$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 좌·우미분계수 $\pm P(192)$ 정의식 서술 +4점 / $P(192) = 0$ 확인 +2점
소문항 [4-2]	• $x \lt 192$ 부호 분리 및 곱의 미분법 적용 +4점 / $h'(x) = -3(x - 192)(x - 190)$ 유도 +3점
소문항 [4-3]	• 극점 $x = 190$ 도출 +3점 / 함숫값 $h(190) = -4\;(\text{극점 } 190)$ 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 첨점 후보 $x = 192$에서 절댓값 함수가 미분가능하려면 곱해진 다항식이 $x - 192$을 인수로 가져야 함을 먼저 서술하세요.

[약술문항 5] 상수 구간 정적분을 포함한 프레드홀름 항등식의 치환 해법 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

연속함수가 모든 실수에 대하여 등식 $f(x) = 3x^2 - 4x\int_0^1 f(t)\,dt + 581$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 상수 $A$로 치환하고 $A = \int_0^1 (3t^2 - 4At + 581)\,dt$를 풀어 상수 $A = 194$과 함수 $f(x)$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 $f(x) = 3x^2 - 776x + 581$이 극솟값을 갖는 좌표 $x = \dfrac{388}{3}$와 함숫값 $f(1) = -192$을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (나)의 우·기함수 대칭성을 이용하여 $\int_{-1}^{1} (3x^2 - 776x + 581)\,dx = 1164$의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] $A = 194,\; f(x) = 3x^2 - 776x + 581$ | [5-2] $x = \dfrac{388}{3},\; f(1) = -192$ | [5-3] $1164$

[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분 정의식에 대입하면 $A = \left[t^3 - 2At^2 + 581t\right]_0^1 = 582 - 2A \implies 3A = 582$이므로 $A = 194$이고 $f(x) = 3x^2 - 776x + 581$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 도함수 $f'(x) = 6x - 776 = 0$에서 극소점은 $x = \dfrac{388}{3}$이고, $f(1) = 3 - 776 + 581 = -192$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 기함수 항 $-776x$는 소거되므로 $\int_{-1}^{1} (3x^2 - 776x + 581)\,dx = 2(1 + 581) = 1164$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• $A = 582 - 2A \implies A = 194$ 도출 +3점 / $f(x) = 3x^2 - 776x + 581$ 완성 +3점
소문항 [5-2]	• 대칭축 $x = \dfrac{388}{3}$ 산출 +4점 / $f(1) = -192$ 계산 +3점
소문항 [5-3]	• 기함수 소거 및 우함수 2배 공식 적용 +4점 / 정적분 값 $1164$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 적분 구간이 상수인 정적분은 함수가 아니라 상수 $A = 194$이므로 미분하지 않고 상수로 치환해야 합니다.

2027학년도 대비 한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (문제집) 80분 / 100점 만점 · 교과서 중심 3단계 약술 풀이

[약술문항 1] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch03_미래엔) PDF p.46 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 표본공간의 분할 $A_1, A_2$에서 $P(B|A_1) = \dfrac{1}{187},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{187}$일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.
<제시문 (나)> 크기 $n = 559504$인 표본에서 표본비율이 $\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36$일 때, 모비율 $p$의 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{559504}}$이다.

두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 $P(B|A_1) = \dfrac{1}{187},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{187}$이며, 크기 $n = 559504$인 표본의 표본비율이 $\hat{p} = 0.36$일 때 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 $P(B) = \dfrac{2}{187}$과 조건부확률 $P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 187)$를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 표본의 크기 $n = 559504$을 대입하여 표본비율의 표준오차 $\dfrac{12/25}{748} = \dfrac{3}{4675}$를 유도하시오.

[문항 1-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간 $[a, b]$의 길이 $b - a = \dfrac{294}{116875}$를 기약분수로 구하시오.

[약술문항 2] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 닫힌구간 $[x_1, x_2]$에서 미분가능한 함수 $f(x) = x^3 + 552x + 2$에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 $f'(c) = 3c^2 + 552$인 $c$가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 $f'(x) = 3x^2 + 552 \gt 0$이므로 역함수 $g(x)$가 존재하며 $g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 552}$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 $f(x) = x^3 + 552x + 2$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 $x_1 \lt x_2$에 대하여 부등식 $f(x_2) - f(x_1) \ge 552(x_2 - x_1)$이 성립함을 증명하시오.

[문항 2-2] (7점) $f(0) = 2,\; f(1) = 555$임을 이용하여 역함수의 미분계수 $g'(2) = \dfrac{1}{552}$와 $g'(555) = \dfrac{1}{555}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 $(555, 1)$에서의 접선의 방정식 $y = \dfrac{1}{555}x$를 구하고, $\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(555)} = 1107$의 값을 구하시오.

[약술문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 일차함수 $f(t) = 6t - 1128$에 대하여 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1128)\,dt$는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.
<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 $F'(x) = \int_0^x (6t - 1128)\,dt = 3x^2 - 1128x$이고 $F''(x) = 6x - 1128$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1128)\,dt$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 $F'(x) = 3x^2 - 1128x$와 이계도함수 $F''(x) = 6x - 1128$를 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 $F(0) - F(376) = 26578688$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 $x = 188$에서의 함숫값 $F(188) = -13289344$과 접선의 기울기 $F'(188) = -106032$을 각각 구하시오.

[약술문항 4] 포물선의 초점·준선 정의와 접선이 이루는 이등변삼각형의 넓이 (20점)

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (포물선의 정의와 접선) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 포물선 $y^2 = 744x$ 위의 임의의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서 초점 $\mathrm{F}(186, 0)$까지의 거리는 준선 $x = -186$까지의 거리 $x_1 + 186$와 같다.
<제시문 (나)> 포물선 $y^2 = 744x$ 위의 점 $\mathrm{P}(744, 744)$에서의 접선의 방정식은 $y = \dfrac{1}{2}x + 372$이다.

초점이 $\mathrm{F}(186, 0)$인 포물선 $y^2 = 744x$ 위의 제1사분면의 점 $\mathrm{P}(744, 744)$에서의 접선이 가로축과 만나는 점을 Q라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)의 포물선 정의를 이용하여 준선의 방정식 $x = -186$와 선분 $\overline{\mathrm{PF}} = 930$의 길이를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 점 $\mathrm{P}(744, 744)$에서의 접선의 방정식과 가로축 절편 $\mathrm{Q}(-744, 0)$을 구하여 $\overline{\mathrm{FQ}} = \overline{\mathrm{FP}} = 930$임을 증명하시오.

[문항 4-3] (7점) 이등변삼각형 FPQ의 밑변 $930$와 높이 $744$로부터 삼각형의 넓이 $S = 345960$를 구하시오.

[약술문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 $\mathrm{A}(558, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 558, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 558)$을 지나는 평면의 방정식은 $x + y + z = 558$이고 법선벡터는 $\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 558)$이다.
<제시문 (나)> 평면 $x + y + z = 558$와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 $S' = S\cos\theta = \dfrac{311364}{2}$가 성립한다.

좌표공간에서 세 점 $\mathrm{A}(558, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 558, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 558)$을 지나는 평면 $x + y + z = 558$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 $x + y + z - 558 = 0$까지의 수선의 길이 $d = 186\sqrt{3}$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 $S' = \dfrac{311364}{2}$와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 $S = \dfrac{311364\sqrt{3}}{2}$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 $V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 28956852$를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.

2027학년도 대비 한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제8회 (해설집) 80분 / 100점 만점 · 교과서 중심 3단계 약술 풀이

[약술문항 1] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch03_미래엔) PDF p.46 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 $P(B) = \dfrac{2}{187}$과 조건부확률 $P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 187)$를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 표본의 크기 $n = 559504$을 대입하여 표본비율의 표준오차 $\dfrac{12/25}{748} = \dfrac{3}{4675}$를 유도하시오.

[문항 1-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간 $[a, b]$의 길이 $b - a = \dfrac{294}{116875}$를 기약분수로 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] $P(B) = \dfrac{2}{187},\; P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}$ | [1-2] 표준오차 $\dfrac{3}{4675}$ | [1-3] $L = \dfrac{294}{116875}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 전확률 공식에서 $P(B) = \dfrac{1}{374} + \dfrac{3}{374} = \dfrac{2}{187}$이고, 베이즈 정리에 의해 $P(A_2 | B) = \dfrac{3/(2\times 187)}{2/187} = \dfrac{3}{4}$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{9\times 16}{25^2 \times 559504}} = \dfrac{12}{25 \times 748} = \dfrac{3}{4675}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times \dfrac{49}{25} \times \dfrac{3}{4675} = \dfrac{294}{116875}$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 전확률 $P(B) = \dfrac{2}{187}$ 계산 +3점 / 사후확률 $P(A_2\|B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{분모 } 187)$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• $\sqrt{n} = 748$ 계산 +4점 / 표준오차 $\dfrac{3}{4675}$ 유도 +3점
소문항 [1-3]	• 신뢰구간 길이 공식 적용 +4점 / $\dfrac{294}{116875}$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 확률과 통계(`12확통03-06`)에서 재도입된 모비율 신뢰구간 공식과 표준오차 $\dfrac{3}{4675}$ 계산 과정을 명확히 서술해야 합니다.

[약술문항 2] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 $f(x) = x^3 + 552x + 2$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-2] (7점) $f(0) = 2,\; f(1) = 555$임을 이용하여 역함수의 미분계수 $g'(2) = \dfrac{1}{552}$와 $g'(555) = \dfrac{1}{555}$의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] $f'(c) = 3c^2 + 552 \ge 552$ 증명 완료 | [2-2] $g'(2) = \dfrac{1}{552},\; g'(555) = \dfrac{1}{555}$ | [2-3] 접선 $y = \dfrac{1}{555}x,\; \text{합 } 1107$

[1줄: 공식선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = 3c^2 + 552 \ge 552$이고 $x_2 - x_1 \gt 0$이므로 $f(x_2) - f(x_1) \ge 552(x_2 - x_1)$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 역함수 미분법에 의해 $g'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{552}$이고 $g'(555) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{555}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 점 $(555, 1)$에서의 접선은 $y - 1 = \dfrac{1}{555}(x - 555) \implies y = \dfrac{1}{555}x$이고, 역수의 합은 $552 + 555 = 1107$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 평균값 정리 선언 및 $f'(c) = 3c^2 + 552 \ge 552$ 서술 +6점
소문항 [2-2]	• $g'(2) = \dfrac{1}{552}$ 산출 +3점 / $g'(555) = \dfrac{1}{555}$ 산출 +4점
소문항 [2-3]	• 접선 $y = \dfrac{1}{555}x$ 유도 +4점 / 역수 합 $1107$ 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 역함수의 미분계수 $g'(555)$를 구할 때는 $f(a) = 555$를 만족시키는 원함수 위의 점 $a = 1$을 먼저 찾아야 합니다.

[약술문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1128)\,dt$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 $F'(x) = 3x^2 - 1128x$와 이계도함수 $F''(x) = 6x - 1128$를 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 $F(0) - F(376) = 26578688$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 $x = 188$에서의 함숫값 $F(188) = -13289344$과 접선의 기울기 $F'(188) = -106032$을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] $F'(x) = 3x(x - 376),\; F''(x) = 6x - 1128$ | [3-2] 극대 $x=0$, 극소 $x=376$, 차 $26578688$ | [3-3] $F(188) = -13289344,\; F'(188) = -106032$

[1줄: 공식선언 (30%)] 적분변수를 분리하여 미분하면 $F'(x) = \int_0^x (6t - 1128)\,dt = 3x^2 - 1128x$이고 $F''(x) = 6x - 1128$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] $F'(x) = 3x(x - 376) = 0$에서 극댓값 $F(0) = 0$, 극솟값 $F(376) = -26578688$이므로 극값의 차는 $26578688$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 원시함수 $F(x) = x^3 - 564x^2$에 $x = 188$을 대입하면 $F(188) = -13289344$이고 $F'(188) = -106032$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 변수 분리 후 곱의 미분법 적용 +3점 / $F'(x) = 3x^2 - 1128x$ 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 극점 $x = 0, 376$ 판정 +3점 / 극값의 차 $26578688$ 산출 +4점
소문항 [3-3]	• $F(188) = -13289344$ 계산 +4점 / $F'(188) = -106032$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수 $(x - t)(6t - 1128)$ 안에 적분변수가 아닌 $x$가 들어 있으므로 미분하기 전에 반드시 $x$를 적분 기호 밖으로 묶어내야 합니다.

[약술문항 4] 포물선의 초점·준선 정의와 접선이 이루는 이등변삼각형의 넓이 (20점)

기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (포물선의 정의와 접선) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)의 포물선 정의를 이용하여 준선의 방정식 $x = -186$와 선분 $\overline{\mathrm{PF}} = 930$의 길이를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 이등변삼각형 FPQ의 밑변 $930$와 높이 $744$로부터 삼각형의 넓이 $S = 345960$를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] 준선 $x = -186,\; \overline{\mathrm{PF}} = 930$ | [4-2] 접선 $y = \dfrac{1}{2}x + 372,\; \mathrm{Q}(-744, 0),\; \overline{\mathrm{FQ}} = 930$ | [4-3] 넓이 $S = 345960$

[1줄: 공식선언 (30%)] 포물선 $y^2 = 744x$의 준선은 $x = -186$이므로 정의에 의해 $\overline{\mathrm{PF}} = 744 + 186 = 930$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 접선의 방정식 $y = \dfrac{1}{2}x + 372$의 가로축 절편은 $\mathrm{Q}(-744, 0)$이므로 $\overline{\mathrm{FQ}} = 186 - (-744) = 930$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 삼각형 FPQ의 밑변은 $930$, 높이는 $744$이므로 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\times 930\times 744 = 345960$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 준선 $x = -186$ 명시 +2점 / 포물선 정의로 $\overline{\mathrm{PF}} = 930$ 도출 +4점
소문항 [4-2]	• 접선 $y = \dfrac{1}{2}x + 372$ 유도 +4점 / $\mathrm{Q}(-744, 0)$ 및 $\overline{\mathrm{FQ}} = 930$ 증명 +3점
소문항 [4-3]	• 밑변 $930$ 및 높이 $744$ 설정 +3점 / 넓이 $S = 345960$ 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 포물선 위의 점 $(744, 744)$에서의 접선의 가로축 절편은 항상 $-744$가 되어 초점 F를 중심으로 이등변삼각형이 형성됩니다.

[약술문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

좌표공간에서 세 점 $\mathrm{A}(558, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 558, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 558)$을 지나는 평면 $x + y + z = 558$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 $x + y + z - 558 = 0$까지의 수선의 길이 $d = 186\sqrt{3}$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 $S' = \dfrac{311364}{2}$와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 $S = \dfrac{311364\sqrt{3}}{2}$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 $V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 28956852$를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] $d = \dfrac{558}{\sqrt{3}} = 186\sqrt{3}$ | [5-2] $S' = \dfrac{311364}{2},\; S = \dfrac{311364\sqrt{3}}{2}$ | [5-3] $V = 28956852$

[1줄: 공식선언 (30%)] 점과 평면 사이의 거리 공식에서 $d = \dfrac{558}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = 186\sqrt{3}$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 정사영 넓이는 $S' = \dfrac{311364}{2}$이므로 $S = \sqrt{3}S' = \dfrac{311364\sqrt{3}}{2}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 사면체 부피는 $V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{311364\sqrt{3}}{2} \times 186\sqrt{3} = 28956852$로 정확히 일치한다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 평면 $x+y+z=558$ 및 법선벡터 확인 +3점 / 원점 거리 $d = 186\sqrt{3}$ 산출 +3점
소문항 [5-2]	• 정사영 넓이 $S' = \dfrac{311364}{2}$ 계산 +3점 / $S = \dfrac{311364\sqrt{3}}{2}$ 유도 +4점
소문항 [5-3]	• 사면체 부피 대입 검증 +4점 / 부피 $V = 28956852$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 기하(`12기하03-05`)에서 강화된 벡터를 이용한 평면의 방정식 $x + y + z = 558$과 정사영 넓이 공식을 결합한 핵심 문항입니다.

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[약술문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.1 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 지수함수 $y = 2^{x - 195} + 195$와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 $y - x = 0\cdot 394$에 대하여 서로 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 $-1$인 직선 $x + y = 394$은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 $\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 394)$도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.

직선 $y = -x + 394$이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 394)$라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 $x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 394$임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 $\mathrm{M}(197, 197)$의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 $\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 197)$일 때, $x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 394)$를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 $x + y - 394 = 0$까지의 거리 $h = \dfrac{394}{\sqrt{2}}$를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

[약술문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]

<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=570,\; c=950\right)$와 사인법칙 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=1330\right)$이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 $S$와 둘레의 길이 $a + b + c = 2850$, 내접원의 반지름 $r$ 사이에는 $S = \dfrac{2850}{2}r$가 성립한다.

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 $b = 570,\; c = 950$이고 끼인각이 $A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=570\right)$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 $a = 1330$의 길이를 유도하시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 $R = \dfrac{1330\sqrt{3}}{3}$과 삼각형의 넓이 $S = \dfrac{541500\sqrt{3}}{4}$를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 $r = \dfrac{190\sqrt{3}}{2}$를 구하고 반지름의 곱 $R\cdot r$을 구하시오.

[약술문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 일차함수 $f(t) = 6t - 1134$에 대하여 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1134)\,dt$는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.
<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 $F'(x) = \int_0^x (6t - 1134)\,dt = 3x^2 - 1134x$이고 $F''(x) = 6x - 1134$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1134)\,dt$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 $F'(x) = 3x^2 - 1134x$와 이계도함수 $F''(x) = 6x - 1134$를 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 $F(0) - F(378) = 27005076$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 $x = 189$에서의 함숫값 $F(189) = -13502538$과 접선의 기울기 $F'(189) = -107163$을 각각 구하시오.

[약술문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 $t\;(0 \le t \le 573)$에서의 위치 차 함수를 $h(t) = t(t - 573)^2$라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 $h'(t)$이다.
<제시문 (나)> 닫힌구간 $[0, 573]$에서 두 점 사이의 거리 $D(t) = |t(t - 573)^2|$는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치 차 함수가 $h(t) = t^3 - 1146t^2 + 328329t = t(t - 573)^2$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 $t_1 = 573$를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 $h'(573) = 0$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 573]$에서 도함수 $h'(t) = 3(t - 191)(t - 573)$의 부호를 조사하여 거리 최댓값 $D(191) = 27871484$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 $h''(t) = 6t - 2292 = 0$이 되는 시각 $t_2 = 382$와 그때 두 점 사이의 거리 $D(382) = 13935742$를 각각 구하시오.

[약술문항 5] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 확률과 통계 · 기출 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통03-06]

<제시문 (가)> 표본공간의 분할 $A_1, A_2$에서 $P(B|A_1) = \dfrac{1}{188},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{188}$일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.
<제시문 (나)> 크기 $n = 565504$인 표본에서 표본비율이 $\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36$일 때, 모비율 $p$의 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{565504}}$이다.

두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 $P(B|A_1) = \dfrac{1}{188},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{188}$이며, 크기 $n = 565504$인 표본의 표본비율이 $\hat{p} = 0.36$일 때 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 $P(B) = \dfrac{2}{188}$과 조건부확률 $P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 188)$를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 표본의 크기 $n = 565504$을 대입하여 표본비율의 표준오차 $\dfrac{12/25}{752} = \dfrac{3}{4700}$를 유도하시오.

[문항 5-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간 $[a, b]$의 길이 $b - a = \dfrac{294}{117500}$를 기약분수로 구하시오.

2027학년도 대비 한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (해설집) 80분 / 100점 만점 · 교과서 중심 3단계 약술 풀이

[약술문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.1 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 $x + y - 394 = 0$까지의 거리 $h = \dfrac{394}{\sqrt{2}}$를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] $x_1 + x_2 = 394,\; \mathrm{M}(197, 197)$ | [1-2] $\mathrm{P}(196, 198),\; \mathrm{Q}(198, 196)$ | [1-3] 넓이 $S = 394$

[1줄: 공식선언 (30%)] 두 교점은 직선 $x + y = 394$ 위에 있고 역함수 대칭이므로 $x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 394$이며 중점은 $\mathrm{M}(197, 197)$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 기울기가 $-1$인 직선 위의 두 점 거리 공식에서 $\sqrt{2}(x_2 - x_1) = 2\sqrt{2} \implies x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 394)$이므로 연립하면 $\mathrm{P}(196, 198),\; \mathrm{Q}(198, 196)$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 원점에서 직선 $x + y - 394 = 0$까지의 거리는 $h = \dfrac{394}{\sqrt{2}}$이므로 삼각형 OPQ의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{394}{\sqrt{2}} = 394$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 $x_1 + x_2 = 394$ 유도 +3점 / 중점 $\mathrm{M}(197, 197)$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 $x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 394)$ 도출 +3점 / 좌표 $\mathrm{P}(196, 198),\; \mathrm{Q}(198, 196)$ 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 $h = \dfrac{394}{\sqrt{2}}$ 계산 +4점 / 삼각형 넓이 $S = 394$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 $-1$인 직선 $x + y = 394$ 위에서 두 점의 좌표 차가 주어지면 대칭축 중점 $\mathrm{M}(197, 197)$을 기준으로 좌표를 즉시 결정할 수 있습니다.

[약술문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 $b = 570,\; c = 950$이고 끼인각이 $A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=570\right)$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 $a = 1330$의 길이를 유도하시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 $R = \dfrac{1330\sqrt{3}}{3}$과 삼각형의 넓이 $S = \dfrac{541500\sqrt{3}}{4}$를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 $r = \dfrac{190\sqrt{3}}{2}$를 구하고 반지름의 곱 $R\cdot r$을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] $a = 1330$ | [2-2] $R = \dfrac{1330\sqrt{3}}{3},\; S = \dfrac{541500\sqrt{3}}{4}$ | [2-3] $r = \dfrac{190\sqrt{3}}{2},\; R\cdot r = \dfrac{252700}{2}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙에서 $a^2 = 570^2 + 950^2 - 2(570)(950)(-1/2) = 49\times 190^2$이므로 $a = 1330$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 사인법칙에서 $2R = \dfrac{1330}{\sqrt{3}/2} \implies R = \dfrac{1330\sqrt{3}}{3}$이고, 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}\times 570\times 950\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{541500\sqrt{3}}{4}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 둘레가 $a + b + c = 2850$이므로 $\dfrac{2850}{2}r = \dfrac{541500\sqrt{3}}{4} \implies r = \dfrac{190\sqrt{3}}{2}$이고 $R\cdot r = \dfrac{252700}{2}$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 $a^2 = 49\times 190^2$ +3점 / $a = 1330$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 $R = \dfrac{1330\sqrt{3}}{3}$ 산출 +3점 / 넓이 $S = \dfrac{541500\sqrt{3}}{4}$ 계산 +4점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 $r = \dfrac{190\sqrt{3}}{2}$ 유도 +4점 / 곱 $R\cdot r = \dfrac{252700}{2}$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 끼인각이 $120^\circ$이고 두 변의 비가 $3 : 5$인 둔각삼각형은 대변의 비가 항상 $7$이 되는 대표적인 정수비 삼각형($3\times 190 : 5\times 190 : 7\times 190$)입니다.

[약술문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1134)\,dt$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 $F'(x) = 3x^2 - 1134x$와 이계도함수 $F''(x) = 6x - 1134$를 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 $F(0) - F(378) = 27005076$를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 $x = 189$에서의 함숫값 $F(189) = -13502538$과 접선의 기울기 $F'(189) = -107163$을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] $F'(x) = 3x(x - 378),\; F''(x) = 6x - 1134$ | [3-2] 극대 $x=0$, 극소 $x=378$, 차 $27005076$ | [3-3] $F(189) = -13502538,\; F'(189) = -107163$

[1줄: 공식선언 (30%)] 적분변수를 분리하여 미분하면 $F'(x) = \int_0^x (6t - 1134)\,dt = 3x^2 - 1134x$이고 $F''(x) = 6x - 1134$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] $F'(x) = 3x(x - 378) = 0$에서 극댓값 $F(0) = 0$, 극솟값 $F(378) = -27005076$이므로 극값의 차는 $27005076$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 원시함수 $F(x) = x^3 - 567x^2$에 $x = 189$을 대입하면 $F(189) = -13502538$이고 $F'(189) = -107163$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 변수 분리 후 곱의 미분법 적용 +3점 / $F'(x) = 3x^2 - 1134x$ 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 극점 $x = 0, 378$ 판정 +3점 / 극값의 차 $27005076$ 산출 +4점
소문항 [3-3]	• $F(189) = -13502538$ 계산 +4점 / $F'(189) = -107163$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수 $(x - t)(6t - 1134)$ 안에 적분변수가 아닌 $x$가 들어 있으므로 미분하기 전에 반드시 $x$를 적분 기호 밖으로 묶어내야 합니다.

[약술문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 $t\;(t \ge 0)$에서의 위치 차 함수가 $h(t) = t^3 - 1146t^2 + 328329t = t(t - 573)^2$일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 $t_1 = 573$를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 $h'(573) = 0$의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 $[0, 573]$에서 도함수 $h'(t) = 3(t - 191)(t - 573)$의 부호를 조사하여 거리 최댓값 $D(191) = 27871484$를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 $h''(t) = 6t - 2292 = 0$이 되는 시각 $t_2 = 382$와 그때 두 점 사이의 거리 $D(382) = 13935742$를 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] $t_1 = 573,\; h'(573) = 0$ | [4-2] $t = 191$에서 최댓값 $27871484$ | [4-3] $t_2 = 382,\; D(382) = 13935742$

[1줄: 공식선언 (30%)] 위치 차 $h(t) = t(t - 573)^2 = 0\;(t \gt 0)$에서 $t_1 = 573$이고, 도함수 $h'(t) = 3(t - 191)(t - 573)$에 대입하면 $h'(573) = 0$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 $[0, 573]$에서 내부 극대점은 $t = 191$이므로 최댓값은 $D(191) = 191(-382)^2 = 27871484$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 이계도함수 $h''(t) = 6t - 2292 = 0$에서 $t_2 = 382$이고, 그때의 거리는 $D(382) = 382(-191)^2 = 13935742$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• $t_1 = 573$ 도출 +3점 / 속도 차 $h'(573) = 0$ 확인 +3점
소문항 [4-2]	• $h'(t) = 3(t - 191)(t - 573) = 0$ 극대 판정 +4점 / 최댓값 $27871484$ 산출 +3점
소문항 [4-3]	• $h''(t) = 6t - 2292 = 0 \implies t_2 = 382$ 도출 +3점 / 거리 $13935742$ 계산 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수 비율 관계($1 : 2 : 3$)에 의해 원점 $t=0$, 극대 $t=191$, 변곡 $t=382$, 접점 $t=573$이 등간격 $191$로 배열됩니다.

[약술문항 5] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 확률과 통계 · 기출 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통03-06]

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 $P(B) = \dfrac{2}{188}$과 조건부확률 $P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 188)$를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 표본의 크기 $n = 565504$을 대입하여 표본비율의 표준오차 $\dfrac{12/25}{752} = \dfrac{3}{4700}$를 유도하시오.

[문항 5-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간 $[a, b]$의 길이 $b - a = \dfrac{294}{117500}$를 기약분수로 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] $P(B) = \dfrac{2}{188},\; P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}$ | [5-2] 표준오차 $\dfrac{3}{4700}$ | [5-3] $L = \dfrac{294}{117500}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 전확률 공식에서 $P(B) = \dfrac{1}{376} + \dfrac{3}{376} = \dfrac{2}{188}$이고, 베이즈 정리에 의해 $P(A_2 | B) = \dfrac{3/(2\times 188)}{2/188} = \dfrac{3}{4}$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{9\times 16}{25^2 \times 565504}} = \dfrac{12}{25 \times 752} = \dfrac{3}{4700}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times \dfrac{49}{25} \times \dfrac{3}{4700} = \dfrac{294}{117500}$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 전확률 $P(B) = \dfrac{2}{188}$ 계산 +3점 / 사후확률 $P(A_2\|B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{분모 } 188)$ 도출 +3점
소문항 [5-2]	• $\sqrt{n} = 752$ 계산 +4점 / 표준오차 $\dfrac{3}{4700}$ 유도 +3점
소문항 [5-3]	• 신뢰구간 길이 공식 적용 +4점 / $\dfrac{294}{117500}$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 확률과 통계(`12확통03-06`)에서 재도입된 모비율 신뢰구간 공식과 표준오차 $\dfrac{3}{4700}$ 계산 과정을 명확히 서술해야 합니다.

2027학년도 대비 한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (문제집) 80분 / 100점 만점 · 교과서 중심 3단계 약술 풀이

[약술문항 1] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.2 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{199}\right)$을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 5$가 되어 역수 수열은 공차가 $5$인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 $n$에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 $n = 1\;(a_1 = 1/199)$일 때 성립함을 보이고, $n = k$일 때 성립한다고 가정하여 $n = k + 1$일 때도 성립함을 연역한다.

첫째항이 $a_1 = \dfrac{1}{199}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}$을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 199\right)$을 이용하여 $b_n = 5n + 194$와 $a_n$의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 일반항 $a_n = \dfrac{1}{5n + 194}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 1-3] (7점) 부분분수 항등식 $5a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$을 이용하여 급수 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{49551}$의 값을 유도하시오.

[약술문항 2] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -779$을 만족시키면 최고차항 계수가 $2$인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> $\lim_{x \to 194} \dfrac{f(x)}{(x - 194)^2} = 385$이 수렴하면 인수정리에 의해 $f(x) = (x - 194)^2(2x + r)$ 꼴로 인수분해된다.

삼차다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -779$과 $\lim_{x \to 194} \dfrac{f(x)}{(x - 194)^2} = 385$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 $f(x) = (x - 194)^2(2x + r)$로 놓고 상수 $r = -3$을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 구한 함수 $f(x) = (x - 194)^2(2x + -3)$이 무한대 극한 조건 $-779$을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 2-3] (7점) 함숫값 $f(196) = 1556$의 값과 $x = 194$에서의 미분계수 $f'(194) = 0$의 값을 각각 구하시오.

[약술문항 3] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 닫힌구간 $[x_1, x_2]$에서 미분가능한 함수 $f(x) = x^3 + 558x + 2$에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 $f'(c) = 3c^2 + 558$인 $c$가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 $f'(x) = 3x^2 + 558 \gt 0$이므로 역함수 $g(x)$가 존재하며 $g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 558}$이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 $f(x) = x^3 + 558x + 2$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 $x_1 \lt x_2$에 대하여 부등식 $f(x_2) - f(x_1) \ge 558(x_2 - x_1)$이 성립함을 증명하시오.

[문항 3-2] (7점) $f(0) = 2,\; f(1) = 561$임을 이용하여 역함수의 미분계수 $g'(2) = \dfrac{1}{558}$와 $g'(561) = \dfrac{1}{561}$의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 $(561, 1)$에서의 접선의 방정식 $y = \dfrac{1}{561}x$를 구하고, $\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(561)} = 1119$의 값을 구하시오.

[약술문항 4] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 $y = -6x(x - 193)$의 그래프와 가로축이 두 점 $(0, 0),\; (193, 0)$에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = \int_0^{193} (-6x^2 + 1158x)\,dx = 7189057$이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 $x = \dfrac{193}{2}$에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 $7189057$를 정확히 이등분한다.

포물선 $C : y = -6x^2 + 1158x$와 가로축 및 원점을 지나는 직선 $L : y = 579x$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 $y = -6x^2 + 1158x$와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S = 7189057$를 유도하시오.

[문항 4-2] (7점) 직선 $x = k$가 넓이 $S = 7189057$를 이등분하는 상수 $k = \dfrac{193}{2}$를 구하고, $\int_0^{193/2} (-6x^2 + 1158x)\,dx = \dfrac{7189057}{2}$임을 확인하시오.

[문항 4-3] (7점) 포물선 $y = -6x^2 + 1158x$와 직선 $y = 579x$의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_1 = \dfrac{7189057}{8}$을 구하시오.

[약술문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 $\mathrm{A}(564, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 564, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 564)$을 지나는 평면의 방정식은 $x + y + z = 564$이고 법선벡터는 $\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 564)$이다.
<제시문 (나)> 평면 $x + y + z = 564$와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 $S' = S\cos\theta = \dfrac{318096}{2}$가 성립한다.

좌표공간에서 세 점 $\mathrm{A}(564, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 564, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 564)$을 지나는 평면 $x + y + z = 564$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 $x + y + z - 564 = 0$까지의 수선의 길이 $d = 188\sqrt{3}$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 $S' = \dfrac{318096}{2}$와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 $S = \dfrac{318096\sqrt{3}}{2}$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 $V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 29901024$를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.

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[약술문항 1] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.2 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

첫째항이 $a_1 = \dfrac{1}{199}$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{5a_n + 1}$을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 199\right)$을 이용하여 $b_n = 5n + 194$와 $a_n$의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 일반항 $a_n = \dfrac{1}{5n + 194}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 1-3] (7점) 부분분수 항등식 $5a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$을 이용하여 급수 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{49551}$의 값을 유도하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] $b_n = 5n + 194,\; a_n = \dfrac{1}{5n + 194}$ | [1-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [1-3] $\dfrac{10}{199\times 249} = \dfrac{10}{49551}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 역수 치환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 199\right)$에서 $b_{n+1} - b_n = 5$이므로 $b_n = 199 + 5(n - 1) = 5n + 194$이고 $a_n = \dfrac{1}{5n + 194}$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] (i) 초기항 $a_1 = \dfrac{1}{199}$ 성립. (ii) $a_k = \dfrac{1}{5k + 194}$이라 가정하면 $a_{k+1} = \dfrac{a_k}{5a_k + 1} = \dfrac{1}{5(k+1) + 194}$이므로 모든 자연수에서 성립한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 부분분수 분해에 의해 $\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{199} - \dfrac{1}{249}\right) = \dfrac{10}{49551}$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역수 등차수열 $b_n = 5n + 194$ 유도 +3점 / 일반항 $a_n = \dfrac{1}{5n + 194}$ 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 초기 조건 $a_1 = \dfrac{1}{199}$ 확인 +2점 / 귀납 가정 후 $a_{k+1} = \dfrac{1}{5(k+1) + 194}$ 연역 +5점
소문항 [1-3]	• 망원급수 변형 $\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{199} - \dfrac{1}{249}\right)$ +4점 / 합 $\dfrac{10}{49551}$ 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 원래 점화식의 분모를 곱하면 $5a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}$이 바로 유도되어 망원급수 소거가 한 줄로 정리됩니다.

[약술문항 2] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

삼차다항함수가 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -779$과 $\lim_{x \to 194} \dfrac{f(x)}{(x - 194)^2} = 385$을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 $f(x) = (x - 194)^2(2x + r)$로 놓고 상수 $r = -3$을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 구한 함수 $f(x) = (x - 194)^2(2x + -3)$이 무한대 극한 조건 $-779$을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 2-3] (7점) 함숫값 $f(196) = 1556$의 값과 $x = 194$에서의 미분계수 $f'(194) = 0$의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] $r = -3$ | [2-2] 이차항 계수 $-779$ 일치 검증 완료 | [2-3] $f(196) = 1556,\; f'(194) = 0$

[1줄: 공식선언 (30%)] 제시문 (나)의 극한식에 대입하면 $\lim_{x \to 194} (2x + r) = 388 + r = 385$이므로 $r = -3$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 전개하면 $f(x) = (x^2 - 388x + 37636)(2x + -3) = 2x^3 + (-779)x^2 + \cdots$이므로 이차항 계수 $-779$이 정확히 성립한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] $x = 196$를 대입하면 $f(196) = 4(392 + -3) = 1556$이고, $(x - 194)^2$을 인수로 가지므로 $f'(194) = 0$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 $r = -3$ 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 삼차식 전개 후 이차항 계수 $-779$ 확인 +7점
소문항 [2-3]	• $f(196) = 1556$ 산출 +4점 / 중근 성질로 $f'(194) = 0$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분모에 $(x - 194)^2$이 있을 때 극한이 수렴하려면 분자는 $x = 194$을 반드시 중근 이상으로 가져야 합니다.

[약술문항 3] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 $f(x) = x^3 + 558x + 2$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-2] (7점) $f(0) = 2,\; f(1) = 561$임을 이용하여 역함수의 미분계수 $g'(2) = \dfrac{1}{558}$와 $g'(561) = \dfrac{1}{561}$의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] $f'(c) = 3c^2 + 558 \ge 558$ 증명 완료 | [3-2] $g'(2) = \dfrac{1}{558},\; g'(561) = \dfrac{1}{561}$ | [3-3] 접선 $y = \dfrac{1}{561}x,\; \text{합 } 1119$

[1줄: 공식선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = 3c^2 + 558 \ge 558$이고 $x_2 - x_1 \gt 0$이므로 $f(x_2) - f(x_1) \ge 558(x_2 - x_1)$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 역함수 미분법에 의해 $g'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{558}$이고 $g'(561) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{561}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 점 $(561, 1)$에서의 접선은 $y - 1 = \dfrac{1}{561}(x - 561) \implies y = \dfrac{1}{561}x$이고, 역수의 합은 $558 + 561 = 1119$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 평균값 정리 선언 및 $f'(c) = 3c^2 + 558 \ge 558$ 서술 +6점
소문항 [3-2]	• $g'(2) = \dfrac{1}{558}$ 산출 +3점 / $g'(561) = \dfrac{1}{561}$ 산출 +4점
소문항 [3-3]	• 접선 $y = \dfrac{1}{561}x$ 유도 +4점 / 역수 합 $1119$ 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 역함수의 미분계수 $g'(561)$를 구할 때는 $f(a) = 561$를 만족시키는 원함수 위의 점 $a = 1$을 먼저 찾아야 합니다.

[약술문항 4] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

포물선 $C : y = -6x^2 + 1158x$와 가로축 및 원점을 지나는 직선 $L : y = 579x$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 $y = -6x^2 + 1158x$와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S = 7189057$를 유도하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] $S = 7189057$ | [4-2] $k = \dfrac{193}{2},\; \text{정적분 } \dfrac{7189057}{2}$ | [4-3] 교점 $x = 0, \dfrac{193}{2}$, 넓이 $S_1 = \dfrac{7189057}{8}$

[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분을 계산하면 $S = \left[-2x^3 + 579x^2\right]_0^{193} = -2(193)^3 + 3(193)^3 = 7189057$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 포물선의 대칭축 $x = \dfrac{193}{2}$에 의해 $k = \dfrac{193}{2}$이고, 실제로 $\left[-2x^3 + 579x^2\right]_0^{193/2} = -\dfrac{7189057}{4} + \dfrac{3\times 7189057}{4} = \dfrac{7189057}{2}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 연립방정식 $-6x^2 + 1158x = 579x \implies 6x\left(x - \dfrac{193}{2}\right) = 0$이므로 교점은 $x = 0, \dfrac{193}{2}$이고 넓이는 $S_1 = \int_0^{193/2} (-6x^2 + 579x)\,dx = \dfrac{7189057}{8}$이다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 원시함수 $-2x^3 + 579x^2$ 적분 +3점 / 넓이 $S = 7189057$ 도출 +3점
소문항 [4-2]	• 대칭축 $k = \dfrac{193}{2}$ 도출 +3점 / 구간 $[0, 193/2]$ 적분값 $\dfrac{7189057}{2}$ 확인 +4점
소문항 [4-3]	• 교점 $x = \dfrac{193}{2}$ 산출 +3점 / 넓이 $S_1 = \dfrac{7189057}{8}$ 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 이차항 계수가 $-6$이고 두 교점의 차가 $\beta - \alpha = \dfrac{193}{2}$일 때 둘러싸인 넓이는 항상 $(\beta - \alpha)^3 = \dfrac{7189057}{8}$이 됩니다.

[약술문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

좌표공간에서 세 점 $\mathrm{A}(564, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 564, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 564)$을 지나는 평면 $x + y + z = 564$에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 $x + y + z - 564 = 0$까지의 수선의 길이 $d = 188\sqrt{3}$를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 $S' = \dfrac{318096}{2}$와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 $S = \dfrac{318096\sqrt{3}}{2}$를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 $V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 29901024$를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] $d = \dfrac{564}{\sqrt{3}} = 188\sqrt{3}$ | [5-2] $S' = \dfrac{318096}{2},\; S = \dfrac{318096\sqrt{3}}{2}$ | [5-3] $V = 29901024$

[1줄: 공식선언 (30%)] 점과 평면 사이의 거리 공식에서 $d = \dfrac{564}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = 188\sqrt{3}$이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 정사영 넓이는 $S' = \dfrac{318096}{2}$이므로 $S = \sqrt{3}S' = \dfrac{318096\sqrt{3}}{2}$이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 사면체 부피는 $V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{318096\sqrt{3}}{2} \times 188\sqrt{3} = 29901024$로 정확히 일치한다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 평면 $x+y+z=564$ 및 법선벡터 확인 +3점 / 원점 거리 $d = 188\sqrt{3}$ 산출 +3점
소문항 [5-2]	• 정사영 넓이 $S' = \dfrac{318096}{2}$ 계산 +3점 / $S = \dfrac{318096\sqrt{3}}{2}$ 유도 +4점
소문항 [5-3]	• 사면체 부피 대입 검증 +4점 / 부피 $V = 29901024$ 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 기하(`12기하03-05`)에서 강화된 벡터를 이용한 평면의 방정식 $x + y + z = 564$과 정사영 넓이 공식을 결합한 핵심 문항입니다.

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 \(x_1 + x_2 = 388\) 유도 +3점 / 중점 \(\mathrm{M}(194, 194)\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 388)\) 도출 +3점 / 좌표 \(\mathrm{P}(193, 195),\; \mathrm{Q}(195, 193)\) 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 \(h = \dfrac{388}{\sqrt{2}}\) 계산 +4점 / 삼각형 넓이 \(S = 388\) 산출 +3점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 역수 등차수열 \(b_n = 6n + 189\) 유도 +3점 / 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{6n + 189}\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 초기 조건 \(a_1 = \dfrac{1}{195}\) 확인 +2점 / 귀납 가정 후 \(a_{k+1} = \dfrac{1}{6(k+1) + 189}\) 연역 +5점
소문항 [2-3]	• 망원급수 변형 \(\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{195} - \dfrac{1}{255}\right)\) +4점 / 합 \(\dfrac{10}{49725}\) 산출 +3점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• \(f(0) = 192\) 산출 +2점 / 도함수 정의로 \(f'(x) = 9x^2 + 196\) 유도 +4점
소문항 [3-2]	• \(f(x) = 3x^3 + 196x + 192\) 결정 +4점 / 접선 \(y = 205x + 186\) 도출 +3점
소문항 [3-3]	• 미분계수 식 \(\dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{232}{4}\) 변형 +4점 / 극한값 산출 +3점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(t_1 = 564\) 도출 +3점 / 속도 차 \(h'(564) = 0\) 확인 +3점
소문항 [4-2]	• \(h'(t) = 3(t - 188)(t - 564) = 0\) 극대 판정 +4점 / 최댓값 \(26578688\) 산출 +3점
소문항 [4-3]	• \(h''(t) = 6t - 2256 = 0 \implies t_2 = 376\) 도출 +3점 / 거리 \(13289344\) 계산 +4점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 원시함수 \(-2x^3 + 567x^2\) 적분 +3점 / 넓이 \(S = 6751269\) 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 대칭축 \(k = \dfrac{189}{2}\) 도출 +3점 / 구간 \([0, 189/2]\) 적분값 \(\dfrac{6751269}{2}\) 확인 +4점
소문항 [5-3]	• 교점 \(x = \dfrac{189}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S_1 = \dfrac{6751269}{8}\) 도출 +4점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(x + x^{-1} = 197\) 유도 +3점 / \(x^2 + x^{-2} = 38807\) 산출 +3점
소문항 [1-2]	• \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 196\sqrt{199}\) 도출 +3점 / \(x^3 + x^{-3} = 7644782\) 계산 +4점
소문항 [1-3]	• 분자 \(7644784\) 완전제곱 변형 +4점 / 약분 결과 \(196\sqrt{199}\) 도출 +3점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 \(a^2 = 49\times 188^2\) +3점 / \(a = 1316\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 \(R = \dfrac{1316\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = \dfrac{530160\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 \(r = \dfrac{188\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점 / 곱 \(R\cdot r = \dfrac{247408}{2}\) 도출 +3점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 \(r = -3\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 삼차식 전개 후 이차항 계수 \(-767\) 확인 +7점
소문항 [3-3]	• \(f(193) = 1532\) 산출 +4점 / 중근 성질로 \(f'(191) = 0\) 도출 +3점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 좌·우미분계수 \(\pm P(192)\) 정의식 서술 +4점 / \(P(192) = 0\) 확인 +2점
소문항 [4-2]	• \(x \lt 192\) 부호 분리 및 곱의 미분법 적용 +4점 / \(h'(x) = -3(x - 192)(x - 190)\) 유도 +3점
소문항 [4-3]	• 극점 \(x = 190\) 도출 +3점 / 함숫값 \(h(190) = -4\;(\text{극점 } 190)\) 산출 +4점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(A = 582 - 2A \implies A = 194\) 도출 +3점 / \(f(x) = 3x^2 - 776x + 581\) 완성 +3점
소문항 [5-2]	• 대칭축 \(x = \dfrac{388}{3}\) 산출 +4점 / \(f(1) = -192\) 계산 +3점
소문항 [5-3]	• 기함수 소거 및 우함수 2배 공식 적용 +4점 / 정적분 값 \(1164\) 도출 +3점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{187}\) 계산 +3점 / 사후확률 \(P(A_2\|B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{분모 } 187)\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• \(\sqrt{n} = 748\) 계산 +4점 / 표준오차 \(\dfrac{3}{4675}\) 유도 +3점
소문항 [1-3]	• 신뢰구간 길이 공식 적용 +4점 / \(\dfrac{294}{116875}\) 도출 +3점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 평균값 정리 선언 및 \(f'(c) = 3c^2 + 552 \ge 552\) 서술 +6점
소문항 [2-2]	• \(g'(2) = \dfrac{1}{552}\) 산출 +3점 / \(g'(555) = \dfrac{1}{555}\) 산출 +4점
소문항 [2-3]	• 접선 \(y = \dfrac{1}{555}x\) 유도 +4점 / 역수 합 \(1107\) 계산 +3점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 변수 분리 후 곱의 미분법 적용 +3점 / \(F'(x) = 3x^2 - 1128x\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 극점 \(x = 0, 376\) 판정 +3점 / 극값의 차 \(26578688\) 산출 +4점
소문항 [3-3]	• \(F(188) = -13289344\) 계산 +4점 / \(F'(188) = -106032\) 도출 +3점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 준선 \(x = -186\) 명시 +2점 / 포물선 정의로 \(\overline{\mathrm{PF}} = 930\) 도출 +4점
소문항 [4-2]	• 접선 \(y = \dfrac{1}{2}x + 372\) 유도 +4점 / \(\mathrm{Q}(-744, 0)\) 및 \(\overline{\mathrm{FQ}} = 930\) 증명 +3점
소문항 [4-3]	• 밑변 \(930\) 및 높이 \(744\) 설정 +3점 / 넓이 \(S = 345960\) 산출 +4점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 평면 \(x+y+z=558\) 및 법선벡터 확인 +3점 / 원점 거리 \(d = 186\sqrt{3}\) 산출 +3점
소문항 [5-2]	• 정사영 넓이 \(S' = \dfrac{311364}{2}\) 계산 +3점 / \(S = \dfrac{311364\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점
소문항 [5-3]	• 사면체 부피 대입 검증 +4점 / 부피 \(V = 28956852\) 도출 +3점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 \(x_1 + x_2 = 394\) 유도 +3점 / 중점 \(\mathrm{M}(197, 197)\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 394)\) 도출 +3점 / 좌표 \(\mathrm{P}(196, 198),\; \mathrm{Q}(198, 196)\) 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 \(h = \dfrac{394}{\sqrt{2}}\) 계산 +4점 / 삼각형 넓이 \(S = 394\) 산출 +3점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 \(a^2 = 49\times 190^2\) +3점 / \(a = 1330\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 \(R = \dfrac{1330\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = \dfrac{541500\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 \(r = \dfrac{190\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점 / 곱 \(R\cdot r = \dfrac{252700}{2}\) 도출 +3점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(t_1 = 573\) 도출 +3점 / 속도 차 \(h'(573) = 0\) 확인 +3점
소문항 [4-2]	• \(h'(t) = 3(t - 191)(t - 573) = 0\) 극대 판정 +4점 / 최댓값 \(27871484\) 산출 +3점
소문항 [4-3]	• \(h''(t) = 6t - 2292 = 0 \implies t_2 = 382\) 도출 +3점 / 거리 \(13935742\) 계산 +4점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{188}\) 계산 +3점 / 사후확률 \(P(A_2\|B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{분모 } 188)\) 도출 +3점
소문항 [5-2]	• \(\sqrt{n} = 752\) 계산 +4점 / 표준오차 \(\dfrac{3}{4700}\) 유도 +3점
소문항 [5-3]	• 신뢰구간 길이 공식 적용 +4점 / \(\dfrac{294}{117500}\) 도출 +3점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역수 등차수열 \(b_n = 5n + 194\) 유도 +3점 / 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{5n + 194}\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 초기 조건 \(a_1 = \dfrac{1}{199}\) 확인 +2점 / 귀납 가정 후 \(a_{k+1} = \dfrac{1}{5(k+1) + 194}\) 연역 +5점
소문항 [1-3]	• 망원급수 변형 \(\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{199} - \dfrac{1}{249}\right)\) +4점 / 합 \(\dfrac{10}{49551}\) 산출 +3점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 평균값 정리 선언 및 \(f'(c) = 3c^2 + 558 \ge 558\) 서술 +6점
소문항 [3-2]	• \(g'(2) = \dfrac{1}{558}\) 산출 +3점 / \(g'(561) = \dfrac{1}{561}\) 산출 +4점
소문항 [3-3]	• 접선 \(y = \dfrac{1}{561}x\) 유도 +4점 / 역수 합 \(1119\) 계산 +3점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 원시함수 \(-2x^3 + 579x^2\) 적분 +3점 / 넓이 \(S = 7189057\) 도출 +3점
소문항 [4-2]	• 대칭축 \(k = \dfrac{193}{2}\) 도출 +3점 / 구간 \([0, 193/2]\) 적분값 \(\dfrac{7189057}{2}\) 확인 +4점
소문항 [4-3]	• 교점 \(x = \dfrac{193}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S_1 = \dfrac{7189057}{8}\) 도출 +4점

평가 소문항	한국기술교육대학교 공학계열 약술형 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 평면 \(x+y+z=564\) 및 법선벡터 확인 +3점 / 원점 거리 \(d = 188\sqrt{3}\) 산출 +3점
소문항 [5-2]	• 정사영 넓이 \(S' = \dfrac{318096}{2}\) 계산 +3점 / \(S = \dfrac{318096\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점
소문항 [5-3]	• 사면체 부피 대입 검증 +4점 / 부피 \(V = 29901024\) 도출 +3점