[1줄: 공식선언 (30%)] 양수 \(a\)에 대하여 \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)과 지수법칙 \(a^p a^q = a^{p+q}\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 안쪽부터 정리하면 \(\sqrt{a \sqrt[3]{a^2 \sqrt{a^4}}} = \sqrt{a \sqrt[3]{a^4}} = \left(a^{1 + \frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{6}}\)이므로 \(k = \dfrac{7}{6}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(a = 64 = 2^6\)을 대입하면 \(a^{\frac{7}{6}} = (2^6)^{\frac{7}{6}} = 2^7 = 128\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(I_n = I_0\left(\dfrac{3}{4}\right)^n \le \dfrac{1}{10}I_0\)의 양변에 상용로그를 취해도 부등호 방향이 유지됨을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(n(\log 3 - 2\log 2) \le -1\)에서 \(\log 3 - 2\log 2 = 0.48 - 0.60 = -0.12\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(-0.12n \le -1 \implies n \ge \dfrac{100}{12} = 8.33\cdots\)이므로 자연수 \(n\)의 최솟값은 \(9\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 항등식 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)과 곱셈 공식 \(a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\)에서 \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\sin^3\theta + \cos^3\theta = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 - 3\left(-\dfrac{3}{8}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{11}{16}\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙 \(\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\), 넓이 \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C\), 사인법칙 \(2R = \dfrac{c}{\sin C}\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\cos C = \dfrac{9 + 25 - 49}{2 \times 3 \times 5} = \dfrac{-15}{30} = -\dfrac{1}{2}\)이므로 \(C = \dfrac{2\pi}{3}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(S = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}\)이고, \(2R = \dfrac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}\)에서 \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(n+1\)번째 사람이 기존 \(n\)명과 각각 \(1\)번씩 총 \(n\)번의 악수를 추가로 하므로 귀납적 정의 \(a_{n+1} = a_n + n\;(n \ge 2)\)이 성립함을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_2 = 1\)이고, \(a_3 = a_2 + 2 = 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(a_{10} = a_2 + \sum_{k=2}^{9} k = 1 + (2 + 3 + \cdots + 9) = \dfrac{9 \times 10}{2} = 45\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(g(x) \le f(x) \le h(x)\)이고 \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} h(x) = L\)이면 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = L\)이라는 함수의 극한의 대소 관계를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x^2 + 1 \gt 0\)으로 각 변을 나누면 \(\dfrac{3x^2 - 2x + 4}{x^2 + 1} \le f(x) \le \dfrac{3x^2 + 4x + 5}{x^2 + 1}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 - 2x + 4}{x^2 + 1} = 3\)이고 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 + 4x + 5}{x^2 + 1} = 3\)이므로 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 3\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 접점의 좌표를 \((t, t^3 - 3t^2 + 2)\)라 할 때 접선의 기울기 조건 \(f'(t) = 9\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(t) = 3t^2 - 6t = 9 \implies 3(t + 1)(t - 3) = 0\)이므로 \(t = -1\) 또는 \(t = 3\)이고, 접점은 \((-1, -2)\)와 \((3, 2)\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 두 접선은 \(y = 9(x + 1) - 2 = 9x + 7\)과 \(y = 9(x - 3) + 2 = 9x - 25\)이므로 \(y\)절편의 합은 \(7 + (-25) = -18\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x + 1)(x - 1)\)의 부호 변화와 구간 양 끝점 함숫값 비교법을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 0\)에서 극댓값 \(f(0) = 3\)을 갖고, \(x = \pm 1\)에서 극솟값 \(f(-1) = f(1) = 2\)를 갖는다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 \(f(-1)=2,\; f(0)=3,\; f(1)=2,\; f(2)=11\)이므로 \(M = 11,\; m = 2\)이고 \(M + m = 13\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 교점 방정식 \(x^3 - 2x = 2x\)와 기함수 그래프의 원점 대칭성에 의한 넓이 이등분 성질을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x^3 - 4x = x(x + 2)(x - 2) = 0\)이므로 세 교점의 \(x\)좌표는 \(-2,\; 0,\; 2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 원점 대칭에 의해 \(S = 2\int_{0}^{2} (4x - x^3)\,dx = 2\left[2x^2 - \dfrac{1}{4}x^4\right]_{0}^{2} = 2(8 - 4) = 8\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 운동 방향 전환 시각은 \(v(t) = 0\)에서 나타나며, 위치 변화량은 \(\int_0^3 v(t)\,dt\), 움직인 거리는 \(\int_0^3 |v(t)|\,dt\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(v(t) = 3t(2 - t) = 0\)에서 \(t = 2\)일 때 운동 방향을 바꾸므로 그때까지의 거리는 \(\int_{0}^{2} (6t - 3t^2)\,dt = \left[3t^2 - t^3\right]_{0}^{2} = 4\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 위치 변화량은 \(\int_{0}^{3} (6t - 3t^2)\,dt = 27 - 27 = 0\)이고, 움직인 거리는 \(s = 4 + \int_{2}^{3} (3t^2 - 6t)\,dt = 4 + 4 = 8\)이다.