2027학년도 대비 고려대학교(세종) 약술형 논술 모의고사 4회 (해설집)

2027학년도 대비 고려대학교(세종) 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 4회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30%)

[문항 1] 0 또는 음의 정수 지수의 정의와 분수 지수식 계산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.11 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수01-02]

\(0\)이 아닌 실수의 \(0\)제곱과 음의 정수 지수의 정의를 이용하여 다음을 구하시오.

[1-1] (5점) \(A = (\sqrt{5} - 2)^0 + 2^{-3} \times 16 - (-3)^{-2} \times 9\)의 값을 구하시오.

[1-2] (5점) \(\dfrac{4^{-2} + 4^{-3}}{2^{-5} + 2^{-7}}\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [1-1] \(A = 2\) | [1-2] \(2\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(a \ne 0\)일 때 \(a^0 = 1\)이고 \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(A = 1 + \dfrac{1}{8} \times 16 - \dfrac{1}{9} \times 9 = 1 + 2 - 1 = 2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(4^{-2} + 4^{-3} = 2^{-4} + 2^{-6} = 2\left(2^{-5} + 2^{-7}\right)\)이므로 분모로 약분하면 값은 \(2\)가 된다 (아래 정답 표기 \(2\)로 일치).

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (5점)	• \((\sqrt{5}-2)^0 = 1\) 및 음의 지수 계산 +3점 / \(A = 2\) 산출 +2점
소문항 [1-2] (5점)	• 분자를 \(2^{-4} + 2^{-6} = 2(2^{-5} + 2^{-7})\)로 변형 +3점 / 약분 값 \(2\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: \(4^{-2} = (2^2)^{-2} = 2^{-4}\)와 같이 밑을 \(2\)로 통일한 뒤 가장 작은 지수 묶음으로 인수분해하면 약분이 쉽습니다.

[문항 2] 로그방정식의 해법과 무연근 제거

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 4 변형 | 성취기준: 12대수01-08]

로그방정식 \(\log_3 (x - 1) + \log_3 (x + 5) = 3\)에 대하여 다음을 구하시오.

[2-1] (5점) 주어진 로그방정식의 진수 조건을 구하시오.

[2-2] (5점) 로그의 성질을 이용하여 방정식을 풀고, 진수 조건을 만족시키는 실근 \(x\)를 구하시오.

🎯 정답 : [2-1] \(x \gt 1\) | [2-2] \(x = 4\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 진수 조건 \(x - 1 \gt 0,\; x + 5 \gt 0\)과 로그의 성질 \(\log_3\{(x-1)(x+5)\} = 3 \iff (x-1)(x+5) = 3^3\)을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 두 진수가 모두 양수여야 하므로 공통 범위는 \(x \gt 1\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(x^2 + 4x - 5 = 27 \implies x^2 + 4x - 32 = (x + 8)(x - 4) = 0\)이고, \(x \gt 1\)이므로 \(x = 4\)이다.

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (5점)	• \(x - 1 \gt 0,\; x + 5 \gt 0\)으로부터 \(x \gt 1\) 도출 +5점
소문항 [2-2] (5점)	• \((x-1)(x+5) = 27\) 정리 및 인수분해 +3점 / \(x = -8\) 제외 후 \(x = 4\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 이차방정식의 두 근 \(-8, 4\) 중 진수 조건 \(x \gt 1\)에 위배되는 \(x = -8\)을 반드시 제외해야 합니다.

[문항 3] 삼각방정식의 해와 대칭성을 이용한 근의 합

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.26 문제 9 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

\(0 \le x \lt 2\pi\)일 때, 다음 삼각방정식에 대하여 물음에 답하시오.

[3-1] (5점) 방정식 \(2\cos x - \sqrt{3} = 0\)의 두 실근 \(\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)\)를 각각 구하시오.

[3-2] (5점) 방정식 \(2\sin^2 x - \cos x - 1 = 0\)의 모든 실근의 합을 구하시오.

🎯 정답 : [3-1] \(\alpha = \dfrac{\pi}{6},\; \beta = \dfrac{11\pi}{6}\) | [3-2] \(3\pi\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인함수의 대칭성 \(\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta\)와 항등식 \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)에서 \(\alpha = \dfrac{\pi}{6},\; \beta = \dfrac{11\pi}{6}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(2(1 - \cos^2 x) - \cos x - 1 = 0 \implies (2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0\)에서 \(\cos x = \dfrac{1}{2}\) (\(x = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}\)) 또는 \(\cos x = -1\) (\(x = \pi\))이므로 합은 \(3\pi\)이다.

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (5점)	• \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 정리 +2점 / \(\dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{11\pi}{6}\) 도출 +3점
소문항 [3-2] (5점)	• \((2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0\) 인수분해 +3점 / 세 실근 합 \(3\pi\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: \(\cos x = -1\)을 만족하는 \(x = \pi\)를 빠뜨리지 않도록 주의하세요.

[문항 4] 사인법칙을 이용한 삼각형의 변의 길이와 외접원의 넓이

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(A = \dfrac{\pi}{4}\), \(B = \dfrac{\pi}{3}\)이고 \(\overline{\mathrm{BC}} = a = 6\sqrt{2}\)일 때, 사인법칙을 이용하여 다음을 구하시오.

[4-1] (5점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이 \(R\)와 외접원의 넓이를 각각 구하시오.

[4-2] (5점) 변 \(\overline{\mathrm{AC}} = b\)의 길이를 구하시오.

🎯 정답 : [4-1] \(R = 6\), 외접원 넓이 \(36\pi\) | [4-2] \(b = 6\sqrt{3}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = 2R\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2R = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sin\frac{\pi}{4}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12\)이므로 \(R = 6\)이고, 외접원의 넓이는 \(\pi R^2 = 36\pi\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(b = 2R\sin B = 12 \times \sin\dfrac{\pi}{3} = 12 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\)이다.

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (5점)	• \(2R = 12 \implies R = 6\) 산출 +3점 / 외접원 넓이 \(36\pi\) 도출 +2점
소문항 [4-2] (5점)	• \(b = 2R\sin B\) 적용 +2점 / \(b = 6\sqrt{3}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(2R = 12\)를 바로 \(b = 2R\sin B\)에 대입하면 분수 계산 없이 \(b\)를 즉시 구할 수 있습니다.

[문항 5] 수열의 귀납적 정의와 비례식을 이용한 항의 추론

대수 Ⅲ. 수열 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.2 생각 열기 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 1\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 귀납적 정의 \(a_{n+1} = \dfrac{n}{n + 2} a_n\)을 만족시킬 때, 다음을 구하시오.

[5-1] (5점) \(a_2,\; a_3,\; a_4\)의 값을 각각 기약분수로 구하시오.

[5-2] (5점) 변변 곱하기를 이용하여 일반항 \(a_n\)을 구하고, \(a_{10}\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [5-1] \(a_2 = \dfrac{1}{3},\; a_3 = \dfrac{1}{6},\; a_4 = \dfrac{1}{10}\) | [5-2] \(a_n = \dfrac{2}{n(n+1)},\; a_{10} = \dfrac{1}{55}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 귀납적 정의 \(\dfrac{a_{k+1}}{a_k} = \dfrac{k}{k+2}\)를 \(k = 1\)부터 \(n-1\)까지 변변 곱하는 축차곱 법칙을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_2 = \dfrac{1}{3}\), \(a_3 = \dfrac{2}{4}\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\), \(a_4 = \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{10}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(a_n = 1 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{4} \times \dfrac{3}{5} \times \cdots \times \dfrac{n-1}{n+1} = \dfrac{2}{n(n+1)}\)이므로 \(a_{10} = \dfrac{2}{10 \times 11} = \dfrac{1}{55}\)이다.

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (5점)	• \(a_2 = \dfrac{1}{3},\; a_3 = \dfrac{1}{6},\; a_4 = \dfrac{1}{10}\) 산출 +5점
소문항 [5-2] (5점)	• 연쇄 약분으로 \(a_n = \dfrac{2}{n(n+1)}\) 유도 +3점 / \(a_{10} = \dfrac{1}{55}\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 분자에는 \(1 \times 2\)가 남고 분모에는 \(n(n+1)\)이 남는 연쇄 소거 규칙을 확인하세요.

[문항 6] 무리식의 부정형 극한에서 두 미정계수의 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 문제 7 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

극한에 대한 성질에 의하여 등식 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x + a} - 2}{x - 2} = b\)가 성립할 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 다음을 구하시오.

[6-1] (5점) \(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴함을 이용하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

[6-2] (5점) 분자를 유리화하여 상수 \(b\)의 값을 구하고, \(a + 16b\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [6-1] \(a = 2\) | [6-2] \(b = \dfrac{1}{4},\; a + 16b = 6\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 극한에 대한 성질에 의하여 \(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)이면 분자도 \(0\)이므로 \(\sqrt{2 + a} - 2 = 0\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\sqrt{2 + a} = 2\)에서 \(2 + a = 4\)이므로 \(a = 2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(b = \lim_{x \to 2} \dfrac{x - 2}{(x - 2)(\sqrt{x + 2} + 2)} = \dfrac{1}{4}\)이므로 \(a + 16b = 2 + 4 = 6\)이다.

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (5점)	• \(\sqrt{2 + a} - 2 = 0\) 수립 +2점 / \(a = 2\) 도출 +3점
소문항 [6-2] (5점)	• 유리화 후 \(b = \dfrac{1}{4}\) 산출 +3점 / \(a + 16b = 6\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 유리화할 때 분모에 곱해진 \(\sqrt{x+2} + 2\)에 \(x = 2\)를 대입하면 \(2 + 2 = 4\)가 됩니다.

[문항 7] 닫힌구간에서 유리함수의 연속성과 최대·최소 정리

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.31 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

닫힌구간 \([1, 5]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \dfrac{2x + 4}{x + 1}\)에 대하여 다음을 구하시오.

[7-1] (5점) 함수 \(f(x)\)를 \(k + \dfrac{m}{x + 1}\) (\(k, m\)은 상수) 꼴로 변형하고, 닫힌구간 \([1, 5]\)에서 연속인 이유를 서술하시오.

[7-2] (5점) 닫힌구간 \([1, 5]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.

🎯 정답 : [7-1] \(f(x) = 2 + \dfrac{2}{x + 1}\), 분모 \(x + 1 \ne 0\)이므로 연속 | [7-2] \(M = 3,\; m = \dfrac{7}{3}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 유리함수는 분모가 \(0\)이 아닌 모든 점에서 연속이며, 최대·최소 정리가 성립함을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x) = \dfrac{2(x + 1) + 2}{x + 1} = 2 + \dfrac{2}{x + 1}\)이고, 구간 \([1, 5]\)에서 \(x \ne -1\)이므로 연속이며 감소함수이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 최댓값은 \(M = f(1) = 3\), 최솟값은 \(m = f(5) = 2 + \dfrac{2}{6} = \dfrac{7}{3}\)이다.

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (5점)	• \(2 + \dfrac{2}{x+1}\) 표준형 변형 +3점 / 구간 내 분모 \(\ne 0\) 연속 근거 서술 +2점
소문항 [7-2] (5점)	• 최댓값 \(f(1) = 3\) 산출 +2점 / 최솟값 \(f(5) = \dfrac{7}{3}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 불연속점 \(x = -1\)이 주어진 닫힌구간 \([1, 5]\) 밖에 있으므로 구간 내에서 연속임을 명시하세요.

[문항 8] 곱의 미분법을 이용한 다항함수의 도함수와 미분계수

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.17 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]

다항함수 \(f(x) = (x^2 + 2x - 1)(2x - 3)\)에 대하여 다음을 구하시오.

[8-1] (5점) 곱의 미분법 \(\{g(x)h(x)\}' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)\)를 이용하여 도함수 \(f'(x)\)를 구하시오.

[8-2] (5점) \(f'(1)\)과 \(f'(2)\)의 합을 구하시오.

🎯 정답 : [8-1] \(f'(x) = 6x^2 + 2x - 8\) | [8-2] \(20\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 곱의 미분법 \(f'(x) = (x^2 + 2x - 1)'(2x - 3) + (x^2 + 2x - 1)(2x - 3)'\)을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = (2x + 2)(2x - 3) + (x^2 + 2x - 1)\cdot 2 = (4x^2 - 2x - 6) + (2x^2 + 4x - 2) = 6x^2 + 2x - 8\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(f'(1) = 6 + 2 - 8 = 0\)이고 \(f'(2) = 24 + 4 - 8 = 20\)이므로 \(f'(1) + f'(2) = 20\)이다.

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (5점)	• 곱의 미분법 적용 식 작성 +3점 / \(f'(x) = 6x^2 + 2x - 8\) 정리 +2점
소문항 [8-2] (5점)	• \(f'(1) = 0,\; f'(2) = 20\) 산출 +3점 / 합 \(20\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: \(f'(1)\)과 \(f'(2)\)를 구할 때 전개하기 전의 식 \((2x+2)(2x-3) + 2(x^2+2x-1)\)에 대입하여 검산해 보세요.

[문항 9] 실수 전체에서 사차부등식이 항상 성립하기 위한 조건

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(x^4 - 4x^3 + 12 \ge k\)가 항상 성립하도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음을 구하시오.

[9-1] (5점) 함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 12\)의 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 최솟값을 갖는 \(x\)의 값과 최솟값을 구하시오.

[9-2] (5점) 주어진 부등식이 모든 실수 \(x\)에서 성립하도록 하는 실수 \(k\)의 최댓값을 구하시오.

🎯 정답 : [9-1] \(x = 3\)에서 최솟값 \(-15\) | [9-2] \(k\)의 최댓값 \(-15\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 모든 실수 \(x\)에서 \(f(x) \ge k\)가 성립할 필요충분조건은 \(\min f(x) \ge k\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3) = 0\)에서 \(x = 3\)일 때 극소이자 최소이므로 최솟값은 \(f(3) = 81 - 108 + 12 = -15\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(k \le -15\)이므로 실수 \(k\)의 최댓값은 \(-15\)이다.

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [9-1] (5점)	• \(f'(x) = 4x^2(x-3)\) 도출 +2점 / \(x = 3\)에서 최솟값 \(-15\) 산출 +3점
소문항 [9-2] (5점)	• \(k \le -15\) 부등식 수립 +3점 / 최댓값 \(-15\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: \(x = 0\)에서는 \(f'(x) = 0\)이지만 좌우에서 \(f'(x)\)의 부호가 모두 음수이므로 극값을 갖지 않습니다.

[문항 10] 정적분으로 정의된 함수의 극한과 미분계수의 관계

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 문제 6 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04]

다항함수 \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1\)에 대하여 정적분과 미분의 관계를 이용하여 다음 두 극한값을 구하시오.

[10-1] (5점) 극한 \(L_1 = \lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x - 2} \int_{2}^{x} f(t)\,dt\)의 값을 구하시오.

[10-2] (5점) 극한 \(L_2 = \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \int_{1}^{1 + 2h} f(t)\,dt\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [10-1] \(L_1 = 13\) | [10-2] \(L_2 = 8\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(F'(x) = f(x)\)일 때 \(\lim_{x \to a} \dfrac{1}{x - a}\int_{a}^{x} f(t)\,dt = F'(a) = f(a)\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(L_1 = f(2) = 2(8) - 3(4) + 4(2) + 1 = 16 - 12 + 8 + 1 = 13\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(L_2 = \lim_{h \to 0} \dfrac{F(1 + 2h) - F(1)}{2h} \times 2 = 2F'(1) = 2f(1) = 2(2 - 3 + 4 + 1) = 8\)이다.

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [10-1] (5점)	• \(L_1 = f(2)\) 변환 근거 명시 +3점 / \(f(2) = 13\) 산출 +2점
소문항 [10-2] (5점)	• \(L_2 = 2f(1)\) 변환 근거 명시 +3점 / \(2 \times 4 = 8\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 적분할 필요 없이 부정적분 \(F(x)\)의 미분계수 정의로 바꾸면 피적분함수 \(f(x)\)의 함숫값으로 바로 계산됩니다.