[1줄: 공식선언 (30%)] 거듭제곱근의 성질 \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\), \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\), \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(X = \sqrt[4]{81} + \sqrt[5]{32} = 3 + 2 = 5\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(Y = \sqrt[6]{3^6} + \left(\sqrt[6]{2^6}\right)^3 = 3 + 2^3 = 3 + 8 = 11\)이므로 \(X \times Y = 55\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 임의의 양수 \(N\)에 대하여 \(\log N = n + \alpha\) (\(n\)은 정수, \(0 \le \alpha \lt 1\))로 유일하게 표현됨을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\log 314 = \log(3.14 \times 10^2) = 2 + 0.4969\)이므로 \(n = 2,\; \alpha = 0.4969\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\log 0.00314 = \log(3.14 \times 10^{-3}) = -3 + 0.4969\)이므로 \(m = -3,\; \beta = 0.4969\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 밑이 \(\dfrac{1}{2} \in (0, 1)\)이므로 로그함수 \(f(x)\)는 정의역에서 감소함수임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 1\)에서 최댓값 \(M = \log_{\frac{1}{2}} 4 + 5 = -2 + 5 = 3\)이고, \(x = 13\)에서 최솟값 \(m = \log_{\frac{1}{2}} 16 + 5 = -4 + 5 = 1\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(M^2 + m^2 = 3^2 + 1^2 = 10\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(x) = A\cos(Bx + C) + D\)의 주기는 \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\), 최댓값은 \(|A| + D\), 최솟값은 \(-|A| + D\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(T = \dfrac{2\pi}{3}\)이고, \(|-4| = 4\)이므로 \(M = 4 + 2 = 6\), \(m = -4 + 2 = -2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(\dfrac{3T}{\pi} + M - m = 2 + 6 - (-2) = 10\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 양수 \(h \gt 0\)에서 \(1 + h \gt 0\)이므로 부등식의 양변에 \(1 + h\)를 곱해도 부등호 방향이 유지됨을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(n = 2\)일 때 \((1 + h)^2 - (1 + 2h) = h^2 \gt 0\)이므로 부등식이 성립한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \((1 + h)^{k+1} \gt (1 + kh)(1 + h) = 1 + (k + 1)h + kh^2 \gt 1 + (k + 1)h\) (\(\because kh^2 \gt 0\))이므로 \(n = k+1\)일 때도 성립한다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(\dfrac{\infty}{\infty}\) 꼴 극한에서 분모의 최고차항으로 분자·분모를 나누는 법칙과 수렴 조건(분자 차수 \(\le\) 분모 차수)을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 분자·분모를 \(x^2\)으로 나누면 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{6 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^2}} = \dfrac{6}{2} = 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 극한값이 \(4\;( \ne 0)\)로 수렴하므로 삼차항 계수 \(a = 0\)이고, 이차항 계수비 \(\dfrac{b}{3} = 4\)에서 \(b = 12\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수의 정의 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x+h) - f(x) = 3(x+h)^2 - 2(x+h) + 5 - (3x^2 - 2x + 5) = 6xh + 3h^2 - 2h\)이므로 \(h\)로 나누어 극한을 취하면 \(f'(x) = 6x - 2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(f'(a) = 6a - 2 = 16\)에서 \(6a = 18\)이므로 \(a = 3\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 다항함수 \(f(x)\)는 \([0, 3]\)에서 연속이고 \((0, 3)\)에서 미분가능하므로 평균값 정리 \(f'(c) = \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0}\)을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(3) = 27 - 9 + 2 = 20\), \(f(0) = 2\)이므로 평균변화율은 \(\dfrac{20 - 2}{3} = 6\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(f'(c) = 3c^2 - 3 = 6\)에서 \(c^2 = 3\)이고, \(c \in (0, 3)\)이므로 \(c = \sqrt{3}\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 방정식 \(f(x) = k\)가 서로 다른 세 실근을 가질 필요충분조건은 \(y = k\)가 \(f(x)\)의 극솟값과 극댓값 사이에 위치하는 것임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0\)이므로 극댓값은 \(f(-1) = 5\), 극솟값은 \(f(3) = -27\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 구하는 실수 \(k\)의 값의 범위는 \(-27 \lt k \lt 5\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 곡선과 \(x\)축 사이의 넓이는 \(S = \int_{\alpha}^{\gamma} |f(x)|\,dx\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x(x - 1)(x - 2) = 0\)에서 교점은 \(0, 1, 2\)이고, \([0, 1]\)에서 \(y \ge 0\), \([1, 2]\)에서 \(y \le 0\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2x)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{4}\)이고 대칭성에 의해 \(\int_{1}^{2} -(x^3 - 3x^2 + 2x)\,dx = \dfrac{1}{4}\)이므로 \(S = \dfrac{1}{2}\)이다.