2027학년도 대비 고려대학교(세종) 약술형 논술 모의고사 2회 (해설집)

2027학년도 대비 고려대학교(세종) 자연계열 약술형 논술 실전 모의고사 2회 (모범해설 및 2열 채점기준표) 수리 영역 10문항 (80분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30%)

[문항 1] 거듭제곱의 나눗셈과 음수 거듭제곱근의 혼합 계산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

\(0\)이 아닌 두 실수 \(x, y\)에 대하여 식 \(\left(-2x^2 y^3\right)^3 \div \left(4x^4 y^5\right) = A x^p y^q\)라 할 때, 다음을 구하시오.

[1-1] (5점) 상수 \(A\)와 지수 \(p, q\)의 값을 각각 구하시오.

[1-2] (5점) \(\sqrt[3]{-27} + \sqrt[4]{16} + A + p + q\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [1-1] \(A = -2,\; p = 2,\; q = 4\) | [1-2] \(3\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 지수법칙 \((ab)^n = a^n b^n\), \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) 및 거듭제곱근의 정의를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(-8x^6 y^9 \div (4x^4 y^5) = -2 x^{6-4} y^{9-5} = -2 x^2 y^4\)이므로 \(A = -2,\; p = 2,\; q = 4\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\sqrt[3]{-27} = -3,\; \sqrt[4]{16} = 2\)이므로 구하는 합은 \(-3 + 2 + (-2) + 2 + 4 = 3\)이다.

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (5점)	• \((-2)^3 \div 4 = -2\)로 \(A = -2\) 산출 +2점 / \(p = 2,\; q = 4\) 도출 +3점
소문항 [1-2] (5점)	• \(\sqrt[3]{-27}=-3,\; \sqrt[4]{16}=2\) 계산 +3점 / 총합 \(3\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 음수 \(-2\)를 세제곱하면 \(-8\)이 되어 부호가 음수로 유지됨에 주의하세요.

[문항 2] 로그의 성질과 밑변환을 이용한 로그식의 연산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 문제 6 변형 | 성취기준: 12대수01-04]

로그의 성질을 이용하여 다음 두 식의 값을 각각 구하시오.

[2-1] (5점) \(A = \log_3 54 + \log_3 \dfrac{1}{2} - 2\log_3 \sqrt{3}\)의 값을 구하시오.

[2-2] (5점) \(B = \left(\log_2 9\right)\left(\log_3 16\right)\)의 값을 구하고, \(A + B\)를 구하시오.

🎯 정답 : [2-1] \(A = 2\) | [2-2] \(B = 8,\; A + B = 10\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 로그의 성질 \(\log_a M + \log_a N = \log_a(MN)\), \(\log_a a^k = k\) 및 밑변환 공식 \(\log_a b = \dfrac{\log c}{\log a}\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(A = \log_3\left(54 \times \dfrac{1}{2}\right) - \log_3 3 = \log_3 27 - 1 = 3 - 1 = 2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(B = 2\log_2 3 \times 4\log_3 2 = 8 \times 1 = 8\)이므로 \(A + B = 2 + 8 = 10\)이다.

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (5점)	• \(\log_3 27 = 3\) 및 \(2\log_3\sqrt{3} = 1\) 정리 +3점 / \(A = 2\) 산출 +2점
소문항 [2-2] (5점)	• 밑변환 공식으로 \(B = 8\) 산출 +3점 / \(A + B = 10\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: \(\log_2 9 = 2\log_2 3\)이고 \(\log_3 16 = 4\log_3 2\)로 고치면 \(\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1\)이 되어 바로 약분됩니다.

[문항 3] 로그함수의 단조성을 이용한 세 수의 대소 비교

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.8 문제 3 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

세 실수 \(A = 2\log_3 4\), \(B = \log_3 15\), \(C = 3\log_3 \sqrt[3]{17}\)에 대하여 다음을 구하시오.

[3-1] (5점) 세 수 \(A, B, C\)를 각각 \(\log_3 N\) 꼴로 나타내어 진수 \(N\)의 값을 비교하시오.

[3-2] (5점) 함수 \(y = \log_3 x\)의 증감 성질을 이용하여 세 수 \(A, B, C\)의 대소 관계를 부등호로 나타내시오.

🎯 정답 : [3-1] \(A = \log_3 16,\; B = \log_3 15,\; C = \log_3 17\) | [3-2] \(B \lt A \lt C\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 로그의 성질 \(k\log_a M = \log_a M^k\)와 밑이 \(3 \gt 1\)인 로그함수 \(y = \log_3 x\)는 증가함수임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(A = \log_3 4^2 = \log_3 16\), \(B = \log_3 15\), \(C = \log_3 (\sqrt[3]{17})^3 = \log_3 17\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 밑 \(3 \gt 1\)이고 진수가 \(15 \lt 16 \lt 17\)이므로 \(B \lt A \lt C\)이다.

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (5점)	• \(A = \log_3 16,\; C = \log_3 17\) 변형 +5점
소문항 [3-2] (5점)	• 밑 \(3 \gt 1\) 증가함수 근거 명시 +3점 / \(B \lt A \lt C\) 결정 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 대소 비교 문항에서는 '밑이 \(3 \gt 1\)이므로 증가함수이다'라는 한 줄 근거가 채점의 핵심입니다.

[문항 4] 동경 위의 점의 좌표와 삼각함수의 정의

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.11 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수02-01]

좌표평면에서 원점 \(\mathrm{O}\)와 점 \(\mathrm{P}(-5, 12)\)를 지나는 동경 \(\mathrm{OP}\)가 나타내는 각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, 다음을 구하시오.

[4-1] (5점) 선분 \(\mathrm{OP}\)의 길이 \(r\)를 구하고, \(\sin\theta,\; \cos\theta,\; \tan\theta\)의 값을 각각 구하시오.

[4-2] (5점) \(13(\sin\theta - \cos\theta) + 5\tan\theta\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [4-1] \(r = 13,\; \sin\theta = \dfrac{12}{13},\; \cos\theta = -\dfrac{5}{13},\; \tan\theta = -\dfrac{12}{5}\) | [4-2] \(5\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)에 대하여 삼각함수의 정의 \(\sin\theta = \dfrac{y}{r},\; \cos\theta = \dfrac{x}{r},\; \tan\theta = \dfrac{y}{x}\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(r = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = 13\)이므로 \(\sin\theta = \dfrac{12}{13},\; \cos\theta = -\dfrac{5}{13},\; \tan\theta = -\dfrac{12}{5}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(13\left(\dfrac{12}{13} - \left(-\dfrac{5}{13}\right)\right) + 5\left(-\dfrac{12}{5}\right) = 17 - 12 = 5\)이다.

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (5점)	• \(r = 13\) 산출 +2점 / 세 삼각함수의 값 정확히 도출 +3점
소문항 [4-2] (5점)	• 식에 대입하여 \(17 - 12\) 정리 +3점 / 최종값 \(5\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 점 \(\mathrm{P}(-5, 12)\)의 \(x\)좌표가 음수이므로 \(\cos\theta\)와 \(\tan\theta\)는 음수가 됩니다.

[문항 5] 수학적 귀납법을 이용한 수열의 합 등식 증명과 계산

대수 Ⅲ. 수열 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 문제 1 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-07]

모든 자연수 \(n\)에 대하여 등식 \(1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + \cdots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\;\cdots(*)\)가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하고자 한다.

[5-1] (5점) \(n = k\)일 때 등식 \((*)\)가 성립한다고 가정할 때, 좌변에 \((k+1)(k+2)\)를 더한 식을 인수분해하여 \(n = k+1\)일 때 성립함을 유도하시오.

[5-2] (5점) 위 등식을 이용하여 \(\sum_{k=1}^{9} k(k+1)\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [5-1] \(\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) = \dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\) | [5-2] \(330\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 수학적 귀납법의 원리(\(n=1\) 확인 및 \(n=k \implies n=k+1\) 유도)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)\left(\dfrac{k}{3} + 1\right) = \dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\)이므로 \(n=k+1\)일 때도 성립한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(n = 9\)를 대입하면 \(\sum_{k=1}^{9} k(k+1) = \dfrac{9 \times 10 \times 11}{3} = 330\)이다.

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (5점)	• 양변에 \((k+1)(k+2)\)를 더하는 식 작성 +2점 / 공통인수로 묶어 우변 완성 +3점
소문항 [5-2] (5점)	• \(n = 9\) 대입 식 수립 +2점 / \(330\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 귀납 단계에서 우변을 전개하지 않고 공통인수 \((k+1)(k+2)\)로 묶어내면 바로 증명이 완성됩니다.

[문항 6] 함수의 극한에 대한 성질을 이용한 식의 극한값

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.12 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

두 함수 \(f(x), g(x)\)가 \(\lim_{x \to 1} f(x) = 4\), \(\lim_{x \to 1} \{2f(x) - g(x)\} = 5\)를 만족시킬 때, 극한에 대한 성질을 이용하여 다음을 구하시오.

[6-1] (5점) 극한값 \(\lim_{x \to 1} g(x)\)를 구하시오.

[6-2] (5점) 극한값 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{3f(x) + 2g(x)}{f(x)g(x) - 6}\)을 구하시오.

🎯 정답 : [6-1] \(\lim_{x \to 1} g(x) = 3\) | [6-2] \(3\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 수렴하는 두 함수의 극한에 대한 성질(합·차·곱·몫의 극한 법칙)을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(h(x) = 2f(x) - g(x)\)라 하면 \(g(x) = 2f(x) - h(x)\)이므로 \(\lim_{x \to 1} g(x) = 2(4) - 5 = 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 분모의 극한은 \(4 \times 3 - 6 = 6 \ne 0\)이므로 구하는 극한값은 \(\dfrac{3(4) + 2(3)}{12 - 6} = \dfrac{18}{6} = 3\)이다.

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (5점)	• 극한의 성질로 \(\lim_{x \to 1} g(x) = 2(4) - 5\) 분리 +3점 / 값 \(3\) 도출 +2점
소문항 [6-2] (5점)	• 분자 \(18\), 분모 \(6 \ne 0\) 대입 +3점 / 최종값 \(3\) 산출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 분모의 극한값이 \(6 \ne 0\)임을 확인해야 몫의 극한 성질을 적용할 수 있습니다.

[문항 7] 실수 전체의 집합에서 연속이 되기 위한 두 미정계수 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.27 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03]

함수 \(f(x) = \begin{cases} x + a & (x \lt -1) \\ x^2 + 2x & (-1 \le x \lt 2) \\ bx - 2 & (x \ge 2) \end{cases}\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 다음을 구하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[7-1] (5점) \(x = -1\)에서의 연속 조건을 이용하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

[7-2] (5점) \(x = 2\)에서의 연속 조건을 이용하여 상수 \(b\)의 값을 구하고, \(a + b\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [7-1] \(a = 0\) | [7-2] \(b = 5,\; a + b = 5\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 구간별 다항함수가 실수 전체에서 연속이려면 경계점 \(x = -1\)과 \(x = 2\)에서 각각 좌극한과 우극한, 함숫값이 같아야 함을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = -1\)에서 \(\lim_{x \to -1-} (x + a) = -1 + a\)이고 \(f(-1) = 1 - 2 = -1\)이므로 \(-1 + a = -1 \implies a = 0\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(x = 2\)에서 \(\lim_{x \to 2-} (x^2 + 2x) = 8\)이고 \(f(2) = 2b - 2\)이므로 \(2b - 2 = 8 \implies b = 5\)이며, \(a + b = 5\)이다.

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (5점)	• \(x = -1\)에서 좌·우극한 일치 식 수립 +3점 / \(a = 0\) 산출 +2점
소문항 [7-2] (5점)	• \(x = 2\)에서 \(2b - 2 = 8\)로 \(b = 5\) 산출 +3점 / \(a + b = 5\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 각 구간의 경계값 \(x = -1\)과 \(x = 2\)에서 좌극한과 우극한에 사용되는 식을 정확히 구분하세요.

[문항 8] 접선의 기울기와 미분계수 조건을 이용한 계수 결정

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 문제 4 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

곡선 \(y = x^3 + ax^2 + bx + 1\) 위의 점 \((1, 4)\)에서의 접선의 기울기가 \(6\)일 때, 다음을 구하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[8-1] (5점) 곡선이 점 \((1, 4)\)를 지난다는 조건과 접선의 기울기 조건으로부터 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[8-2] (5점) 이 곡선 위의 \(x = -1\)인 점에서의 접선의 기울기를 구하시오.

🎯 정답 : [8-1] \(a = 1,\; b = 1\) | [8-2] \(2\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1\)이라 할 때 \(f(1) = 4\)이고 접선의 기울기 \(f'(1) = 6\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(1) = 2 + a + b = 4 \implies a + b = 2\)이고, \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\)에서 \(f'(1) = 3 + 2a + b = 6 \implies 2a + b = 3\)이므로 \(a = 1,\; b = 1\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f'(x) = 3x^2 + 2x + 1\)이므로 \(x = -1\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(-1) = 3 - 2 + 1 = 2\)이다.

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (5점)	• \(a + b = 2,\; 2a + b = 3\) 연립방정식 수립 +3점 / \(a = 1,\; b = 1\) 산출 +2점
소문항 [8-2] (5점)	• \(f'(x) = 3x^2 + 2x + 1\) 완성 +2점 / \(f'(-1) = 2\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: '곡선 위의 점 \((1, 4)\)에서의 접선의 기울기가 \(6\)'이라는 문장에는 \(f(1)=4\)와 \(f'(1)=6\) 두 가지 조건이 들어 있습니다.

[문항 9] 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.35 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07]

삼차함수 \(f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 5\)에 대하여 다음을 구하시오.

[9-1] (5점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하고, 함수 \(f(x)\)가 증가하는 닫힌구간을 구하시오.

[9-2] (5점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값 \(M\)과 극솟값 \(m\)을 각각 구하고, \(M - m\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [9-1] \(f'(x) = -3(x - 1)(x - 3)\), 증가구간 \([1, 3]\) | [9-2] \(M = 5,\; m = 1,\; M - m = 4\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(f'(x) = -3x^2 + 12x - 9 = -3(x - 1)(x - 3)\)의 부호 변화로 증감과 극값을 판정함을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(1 \le x \le 3\)에서 \(f'(x) \ge 0\)이므로 증가하는 구간은 \([1, 3]\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(x = 3\)에서 극댓값 \(M = f(3) = -27 + 54 - 27 + 5 = 5\), \(x = 1\)에서 극솟값 \(m = f(1) = -1 + 6 - 9 + 5 = 1\)이므로 \(M - m = 4\)이다.

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [9-1] (5점)	• \(f'(x) = -3(x-1)(x-3)\) 인수분해 +3점 / 증가구간 \([1, 3]\) 도출 +2점
소문항 [9-2] (5점)	• \(M = 5,\; m = 1\) 산출 +3점 / \(M - m = 4\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 최고차항의 계수가 음수(\(-1\))이므로 \(x = 1\)에서 극소, \(x = 3\)에서 극대가 됨에 주의하세요.

[문항 10] 정적분의 기본 정리와 정적분 계산

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 10점 (5점+5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 문제 1 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

다항함수의 정적분의 정의를 이용하여 다음 두 정적분의 값을 구하시오.

[10-1] (5점) \(I_1 = \int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 1)\,dx\)의 값을 구하시오.

[10-2] (5점) \(I_2 = \int_{-1}^{2} (2x + 1)(x - 2)\,dx\)의 값을 구하고, \(I_1 + 2I_2\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [10-1] \(I_1 = 12\) | [10-2] \(I_2 = -\dfrac{9}{2},\; I_1 + 2I_2 = 3\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(F'(x) = f(x)\)일 때 \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(I_1 = \left[x^3 - 2x^2 + x\right]_{1}^{3} = (27 - 18 + 3) - (1 - 2 + 1) = 12\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(I_2 = \int_{-1}^{2} (2x^2 - 3x - 2)\,dx = \left[\dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{3}{2}x^2 - 2x\right]_{-1}^{2} = -\dfrac{9}{2}\)이므로 \(I_1 + 2I_2 = 12 - 9 = 3\)이다.

배점 단계	고려대학교(세종) 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [10-1] (5점)	• 부정적분 \(x^3 - 2x^2 + x\) 대입 +3점 / \(I_1 = 12\) 산출 +2점
소문항 [10-2] (5점)	• 전개 후 적분하여 \(I_2 = -\dfrac{9}{2}\) 산출 +3점 / \(I_1 + 2I_2 = 3\) 도출 +2점

💡 감점 방어 클리닉: 곱의 꼴 \((2x+1)(x-2)\)는 먼저 \(2x^2 - 3x - 2\)로 전개한 뒤 항별로 적분해야 합니다.