[1줄: 공식선언 (30%)] 지수법칙 \((xy)^n = x^n y^n\), \((x^p)^q = x^{pq}\), \(x^p x^q = x^{p+q}\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(8a^9 b^6 \times 9a^4 b^8 = 72 a^{9+4} b^{6+8} = 72 a^{13} b^{14}\)이므로 \(k = 72,\; m = 13,\; n = 14\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(a^{13} = 2,\; b^{14} = 3\)이므로 \(\dfrac{72 a^{13} b^{14}}{72} = 2 \times 3 = 6\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 로그 \(\log_a N\)이 정의되기 위한 필요충분조건은 밑 조건 \(a \gt 0,\; a \ne 1\)과 진수 조건 \(N \gt 0\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 밑 조건에서 \(x - 2 \gt 0,\; x - 2 \ne 1 \implies x \gt 2,\; x \ne 3\)이고, 진수 조건에서 \(x^2 - 9x + 14 = (x-2)(x-7) \lt 0 \implies 2 \lt x \lt 7\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(2 \lt x \lt 3\) 또는 \(3 \lt x \lt 7\)이므로 정수 \(x = 4, 5, 6\)의 합은 \(4 + 5 + 6 = 15\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 밑이 \(2 \gt 1\)인 지수함수 \(t = 2^x\)는 증가함수이므로 \(0 \le x \le 3\)에서 \(1 \le t \le 8\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(g(t) = t^2 - 6t + 11 = (t - 3)^2 + 2\)이고 꼭짓점 \(t = 3\)은 구간 \([1, 8]\)에 속한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(t = 8\;(x = 3)\)일 때 최댓값 \(M = 25 + 2 = 27\)이고, \(t = 3\;(x = \log_2 3)\)일 때 최솟값 \(m = 2\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 제\(3\)사분면의 각 \(\theta\)의 일반각 범위는 \(2n\pi + \pi \lt \theta \lt 2n\pi + \dfrac{3\pi}{2}\) (\(n\)은 정수)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 각 변을 \(2\)로 나누면 \(n\pi + \dfrac{\pi}{2} \lt \dfrac{\theta}{2} \lt n\pi + \dfrac{3\pi}{4}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(n = 2k\)일 때 \(2k\pi + \dfrac{\pi}{2} \lt \dfrac{\theta}{2} \lt 2k\pi + \dfrac{3\pi}{4}\) (제\(2\)사분면), \(n = 2k+1\)일 때 \(2k\pi + \dfrac{3\pi}{2} \lt \dfrac{\theta}{2} \lt 2k\pi + \dfrac{7\pi}{4}\) (제\(4\)사분면)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 귀납적 정의로부터 \(\{a_n\}\)은 등차수열, \(\{b_n\}\)은 양수인 등비수열임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_5 = 2 + 4d = 14 \implies d = 3\)이고, \(b_4 = 2r^3 = 54 \implies r^3 = 27\)에서 \(r = 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(a_{10} = 2 + 9 \times 3 = 29\)이고 \(b_5 = 2 \times 3^4 = 162\)이므로 \(a_{10} + b_5 = 29 + 162 = 191\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \ne a\)일 때 분자·분모의 공통인수 \(x - a\)를 약분하여 극한값을 구하는 원리와 곱셈 공식 \(x^3 + 3^3 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(L_1 = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2} = 5\)이고, \(L_2 = \lim_{x \to -3} (x^2 - 3x + 9) = 9 + 9 + 9 = 27\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(L_1 + L_2 = 5 + 27 = 32\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속일 조건은 \(\lim_{x \to 2-} f(x) = \lim_{x \to 2+} f(x) = f(2)\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(2) = \lim_{x \to 2+} (3x - 5) = 1\)이고, \(\lim_{x \to 2-} (x^2 - ax + 3) = 7 - 2a\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(7 - 2a = 1\)에서 \(a = 3\)이므로 \(x = -2 \lt 2\)일 때 \(f(-2) = (-2)^2 - 3(-2) + 3 = 13\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 평균변화율 \(\dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = 7\)과 미분계수의 정의 \(f'(3) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(3+h) - f(3)}{h}\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(4) = 33 + 4a\), \(f(1) = 3 + a\)이므로 \(\dfrac{30 + 3a}{3} = 10 + a = 7\)에서 \(a = -3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\)이므로 \(f'(3) = \lim_{h \to 0} \dfrac{2(3+h)^2 - 3(3+h) + 1 - 10}{h} = \lim_{h \to 0} (9 + 2h) = 9\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x + 1\)에 대하여 점 \((2, 3)\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(2)\)이고 접선은 \(y - 3 = f'(2)(x - 2)\)임을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3x^2 - 8x + 5\)이므로 \(f'(2) = 12 - 16 + 5 = 1\)이고, 접선의 방정식은 \(y = x + 1\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 접선 \(y = x + 1\)의 \(x\)절편은 \(-1\), \(y\)절편은 \(1\)이므로 삼각형의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times |-1| \times 1 = \dfrac{1}{2}\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 부정적분의 성질 \(f(x) = \int (-3x^2 + 8x - 3)\,dx = -x^3 + 4x^2 - 3x + C\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(1) = -1 + 4 - 3 + C = 4\)에서 적분상수 \(C = 4\)이므로 \(f(x) = -x^3 + 4x^2 - 3x + 4\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(2) = -8 + 16 - 6 + 4 = 6\)이고 \(f(0) = 4\)이므로 \(f(2) - f(0) = 6 - 4 = 2\)이다.