고려대학교 2027학년도 자연계열 실전모의고사 제9회 해설집

[1단계] 정적분으로 정의된 함수 \(g(x)\)의 미분과 \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\)의 결정 (6점)

조건 (다)의 함수 \(g(x) = \int_0^x \bigl(1 - f(t)\bigr)\,dt + 2\int_x^1 f(t)\,dt\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면

\[ g'(x) = \bigl(1 - f(x)\bigr) - 2f(x) = 1 - 3f(x) \]

이다. 함수 \(g(x)\)가 열린구간 \((0, 1)\)의 점 \(x = \dfrac{1}{2}\)에서 극댓값을 가지므로 \(g'\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0\)이다. 따라서

\[ 1 - 3f\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \implies f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3} \]

이다.

[2단계] 부분적분과 극댓값 조건을 이용한 \(\int_0^1 \left|f(x) - \dfrac{1}{3}\right|\,dx\) 계산 (12점)

\(A = \int_0^{1/2} f(x)\,dx\), \(B = \int_{1/2}^1 f(x)\,dx\)라 하자. 조건 (나)에서 부분적분법을 적용하면

\[ \frac{1}{18} = \int_0^{1/2} x\,f'(x)\,dx = \Bigl[x\,f(x)\Bigr]_0^{1/2} - \int_0^{1/2} f(x)\,dx = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} - A = \frac{1}{6} - A \implies A = \frac{1}{6} - \frac{1}{18} = \frac{1}{9} \]

이다. 또한 조건 (다)에서 \(g\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{37}{36}\)이므로

\[ g\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^{1/2} \bigl(1 - f(t)\bigr)\,dt + 2\int_{1/2}^1 f(t)\,dt = \frac{1}{2} - A + 2B = \frac{1}{2} - \frac{1}{9} + 2B = \frac{7}{18} + 2B = \frac{37}{36} \]

에서 \(2B = \dfrac{37}{36} - \dfrac{14}{36} = \dfrac{23}{36}\)이므로 \(B = \dfrac{23}{72}\)이다. 한편 \(f'(x) > 0\)이므로 \(f(x)\)는 순증가하고, \(0 \le x \le \dfrac{1}{2}\)에서 \(f(x) \le \dfrac{1}{3}\), \(\dfrac{1}{2} \le x \le 1\)에서 \(f(x) \ge \dfrac{1}{3}\)이다. 따라서

\[ \int_0^1 \left|f(x) - \frac{1}{3}\right|\,dx = \int_0^{1/2} \left(\frac{1}{3} - f(x)\right)\,dx + \int_{1/2}^1 \left(f(x) - \frac{1}{3}\right)\,dx \] \[ = \left(\frac{1}{6} - A\right) + \left(B - \frac{1}{6}\right) = B - A = \frac{23}{72} - \frac{8}{72} = \frac{15}{72} = \frac{5}{24} \]

이다.

[3단계] 정적분과 급수의 합 및 치환적분을 이용한 극한값 계산 (12점)

정적분과 급수의 합에 의하여 주어진 극한값을 정적분으로 변환하면

\[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left|f\left(f\left(\frac{k}{n}\right)\right) - \frac{k}{n}\right| f'\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 \bigl|f(f(x)) - x\bigr|\,f'(x)\,dx \]

이다. 조건 (가)에서 모든 \(u \in [0, 1]\)에 대하여 \(f(u) \le u\)이고 \(f\)가 증가함수이므로 \(f(f(x)) \le f(x) \le x\)이다. 따라서 \(|f(f(x)) - x| = x - f(f(x))\)이므로

\[ L = \int_0^1 \bigl\{x - f(f(x))\bigr\}\,f'(x)\,dx = \int_0^1 x\,f'(x)\,dx - \int_0^1 f(f(x))\,f'(x)\,dx \]

첫째 적분을 부분적분하면

\[ \int_0^1 x\,f'(x)\,dx = \Bigl[x\,f(x)\Bigr]_0^1 - \int_0^1 f(x)\,dx = 1 - (A + B) \]

이고, 둘째 적분에서 \(u = f(x)\)로 치환하면 \(du = f'(x)\,dx\), \(x = 0 \to u = 0\), \(x = 1 \to u = 1\)이므로

\[ \int_0^1 f(f(x))\,f'(x)\,dx = \int_0^1 f(u)\,du = A + B \]

이다. 여기서 \(A + B = \dfrac{1}{9} + \dfrac{23}{72} = \dfrac{8 + 23}{72} = \dfrac{31}{72}\)이므로

\[ L = 1 - 2(A + B) = 1 - 2 \times \frac{31}{72} = 1 - \frac{31}{36} = \frac{5}{36} \]

이다.

[1단계] 매개변수 미분법을 이용한 접선 \(\ell_a\)의 방정식과 \(a = 1\)일 때의 접선 (10점)

\(0 < t < \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(x'(t) = -6\cos^2 t \sin t\), \(y'(t) = 12\sin^2 t \cos t\)이므로 매개변수 미분법에 의하여

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)} = \frac{12\sin^2 t \cos t}{-6\cos^2 t \sin t} = -2\tan t \]

이다. 곡선 위의 점 \(\bigl(2\cos^3 t, 4\sin^3 t\bigr)\)에서의 접선의 방정식은

\[ y - 4\sin^3 t = -2\tan t\bigl(x - 2\cos^3 t\bigr) = -2(\tan t)x + 4\sin t \cos^2 t \] \[ \implies y = -2(\tan t)x + 4\sin t(\sin^2 t + \cos^2 t) = -2(\tan t)x + 4\sin t \]

이 직선이 점 \(A(a, 0)\)을 지나므로 \(0 = -2(\tan t)a + 4\sin t\)에서 \(\sin t > 0\)을 약분하면

\[ a = 2\cos t \implies \cos t = \frac{a}{2} \]

이다. 따라서 \(a = 1\)일 때 \(\cos t = \dfrac{1}{2}\), 즉 \(t = \dfrac{\pi}{3}\)이므로 \(\tan t = \sqrt{3}\), \(\sin t = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)이다. 그러므로 \(a = 1\)일 때 접선 \(\ell_1\)의 방정식은

\[ y = -2\sqrt{3}\,x + 2\sqrt{3} \]

이다.

[2단계] \(a^3 \tan\theta(a)\)의 최댓값 계산 (10점)

접선 \(\ell_a\)의 기울기가 \(-2\tan t\) (\(0 < t < \dfrac{\pi}{2}\))이므로 \(x\)축과 이루는 예각 \(\theta(a)\)에 대하여 \(\tan\theta(a) = 2\tan t\)이다. \(a = 2\cos t\)를 대입하면

\[ h(t) = a^3 \tan\theta(a) = (8\cos^3 t)(2\tan t) = 16\sin t \cos^2 t = 16\sin t(1 - \sin^2 t) \]

\(s = \sin t\) (\(0 < s < 1\))라 하면 \(H(s) = 16(s - s^3)\)이고, 미분하면 \(H'(s) = 16(1 - 3s^2) = 0\)에서 \(s = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)일 때 극대이자 최대가 된다. 따라서 최댓값은

\[ H\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 16 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \times \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{32}{3\sqrt{3}} = \frac{32\sqrt{3}}{9} \]

이다.

[3단계] \(S_1(a) + S_2(a)\)가 최소가 되는 \(a\)의 값 결정 (10점)

접선 \(\ell_a\)의 \(x\)절편은 \(a = 2\cos t\), \(y\)절편은 \(b = 4\sin t\)이다. 곡선 \(y = f(x)\)는 제1사분면에서 아래로 볼록이므로 접선 \(\ell_a\)는 곡선보다 아래쪽에 위치한다. 따라서 곡선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 제1사분면 전체 도형의 넓이를 \(S_{\text{전체}}\) (일정한 상수)라 하면,

\[ S_1(a) + S_2(a) = S_{\text{전체}} - (\text{접선 }\ell_a\text{와 }x\text{축, }y\text{축으로 둘러싸인 직각삼각형의 넓이}) = S_{\text{전체}} - \frac{1}{2}ab \]

이다. 그러므로 \(S_1(a) + S_2(a)\)가 최소가 되려면 직각삼각형의 넓이 \(T(t) = \dfrac{1}{2}ab\)가 최대가 되어야 한다.

\[ T(t) = \frac{1}{2}(2\cos t)(4\sin t) = 4\sin t \cos t = 2\sin 2t \]

\(0 < t < \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(\sin 2t\)는 \(2t = \dfrac{\pi}{2}\), 즉 \(t = \dfrac{\pi}{4}\)일 때 최댓값 \(1\)을 갖는다. 따라서 \(S_1(a) + S_2(a)\)가 최소가 되는 \(a\)의 값은

\[ a = 2\cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{2} \]

이다.

[1단계] \(|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OP}|^2\)의 최솟값과 그때의 점 \(P\)의 좌표 (10점)

점 \(A(6, 6)\)을 원점 \(O\)에 대하여 대칭이동한 점을 \(A'(-6, -6)\)이라 하면 \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{A'O}\)이므로

\[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{A'O} + \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{A'P} \]

이다. 점 \(P\)는 중심이 \(C(10, 6)\)이고 반지름이 \(r = 2\)인 원 \(\Omega\) 위의 점이므로, 선분 \(A'P\)의 길이는 점 \(P\)가 선분 \(A'C\)와 원 \(\Omega\)의 교점일 때 최솟값 \(\overline{A'C} - r\)를 갖는다.

\[ \overline{A'C} = \sqrt{(10 - (-6))^2 + (6 - (-6))^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = 20 \]

이므로 \(|\overrightarrow{A'P}|\)의 최솟값은 \(20 - 2 = 18\)이고, 따라서 \(|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OP}|^2\)의 최솟값은 \(18^2 = 324\)이다. 이때 점 \(P\)는 선분 \(A'C\)를 \(18 : 2 = 9 : 1\)로 내분하는 점이므로

\[ P = \left(\frac{9 \times 10 + 1 \times (-6)}{10},\; \frac{9 \times 6 + 1 \times (-6)}{10}\right) = \left(\frac{84}{10},\; \frac{48}{10}\right) = \left(\frac{42}{5},\; \frac{24}{5}\right) \]

이다.

[2단계] 가중 벡터합 \(|\overrightarrow{A_1 P} + 4\overrightarrow{A_2 P} + \overrightarrow{A_3 P}|^2\)의 최솟값 계산 (10점)

선분 \(OA\)의 삼등분점의 좌표는 \(A_1(2, 2)\), \(A_2(4, 4)\), \(A_3(6, 6)\)이다. 점 \(A_2\)는 선분 \(A_1 A_3\)의 중점이므로 \(\overrightarrow{A_1 P} + \overrightarrow{A_3 P} = 2\overrightarrow{A_2 P}\)가 성립한다. 따라서

\[ \overrightarrow{A_1 P} + 4\overrightarrow{A_2 P} + \overrightarrow{A_3 P} = 6\overrightarrow{A_2 P} \implies \bigl|\overrightarrow{A_1 P} + 4\overrightarrow{A_2 P} + \overrightarrow{A_3 P}\bigr|^2 = 36\,\overline{A_2 P}^2 \]

이다. 점 \(A_2(4, 4)\)에서 원 \(\Omega\)의 중심 \(C(10, 6)\)까지의 거리는

\[ \overline{A_2 C} = \sqrt{(10 - 4)^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

이므로 \(\overline{A_2 P}\)의 최솟값은 \(2\sqrt{10} - 2\)이다. 따라서 구하는 최솟값은

\[ 36(2\sqrt{10} - 2)^2 = 36(40 - 8\sqrt{10} + 4) = 36(44 - 8\sqrt{10}) = 1584 - 288\sqrt{10} \]

이므로 \(p = 1584\), \(q = -288\)이다.

[1단계] \(n = 2\)일 때 \(a_2\)의 계산 (5점)

\(n = 2\)일 때 파란색 공은 \(2\)개, 노란색 공은 \(2\)개, 진홍색 공은 \(6\)개이고 택하는 공의 개수는 \(4\)개이다. 택한 파란색, 노란색, 진홍색 공의 개수를 각각 \(x, y, z\)라 하면 \(x + y + z = 4\) (\(0 \le x \le 2\), \(0 \le y \le 2\), \(0 \le z \le 6\))이다.

• \(x = 0\)일 때: \(y + z = 4\)에서 \(y \in \{0, 1, 2\}\)의 \(3\)가지
• \(x = 1\)일 때: \(y + z = 3\)에서 \(y \in \{0, 1, 2\}\)의 \(3\)가지
• \(x = 2\)일 때: \(y + z = 2\)에서 \(y \in \{0, 1, 2\}\)의 \(3\)가지

따라서 \(a_2 = 3 + 3 + 3 = 9\)이다.

[2단계] 일반항 \(a_n\)의 유도 (10점)

일반적인 자연수 \(n \ge 1\)에 대하여 \(x + y + z = 2n\) (\(0 \le x \le n\), \(0 \le y \le 2n - 2\), \(0 \le z \le 2n + 2\))을 만족시키는 음이 아닌 정수해 \((x, y, z)\)의 개수를 구하자. \(z = 2n - x - y \le 2n < 2n + 2\)이므로 \(z \le 2n+2\) 조건은 항상 성립하고, \(z \ge 0 \iff y \le 2n - x\)이다. 따라서 고정된 \(x \in \{0, 1, \dots, n\}\)에 대하여 \(y\)의 범위는 \(0 \le y \le \min(2n - x, 2n - 2)\)이다.

• \(x = 0\)일 때: \(0 \le y \le 2n - 2\)이므로 \((2n - 1)\)가지
• \(x = 1\)일 때: \(0 \le y \le 2n - 2\)이므로 \((2n - 1)\)가지
• \(2 \le x \le n\)일 때: \(2n - x \le 2n - 2\)이므로 \(0 \le y \le 2n - x\)에서 \((2n - x + 1)\)가지

따라서 \(a_n\)은

\[ a_n = 2(2n - 1) + \sum_{x=2}^{n} (2n + 1 - x) = (4n - 2) + \sum_{x=1}^{n} (2n + 1 - x) - 2n \]

등차수열의 합 공식을 적용하면 \(\sum_{x=1}^{n} (2n + 1 - x) = \dfrac{3n^2 + n}{2}\)이므로

\[ a_n = (2n - 2) + \frac{3n^2 + n}{2} = \frac{3n^2 + 5n - 4}{2} \]

이다.

[3단계] 부분분수 분해를 이용한 무한급수의 합 계산 (5점)

일반항 \(a_n = \dfrac{3n^2 + 5n - 4}{2}\)를 분모에 대입하면

\[ a_n + 5n + 11 = \frac{3n^2 + 5n - 4 + 10n + 22}{2} = \frac{3n^2 + 15n + 18}{2} = \frac{3(n + 2)(n + 3)}{2} \]

이므로 일반항의 역수를 부분분수로 변형하면

\[ \frac{1}{a_n + 5n + 11} = \frac{2}{3(n + 2)(n + 3)} = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3}\right) \]

따라서 구하는 무한급수의 합은

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n + 5n + 11} = \frac{2}{3} \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3}\right) = \frac{2}{3} \lim_{N \to \infty} \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{N + 3}\right) = \frac{2}{9} \]

이다.