| 회차 | 출제 기준 및 대표 모집단위 매핑 | 문항 배점 구성 |
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| 제9회 | 2026·2025 자연계 핵심 기출 고난도 변형 II (정적분 함수 리만합·아스트로이드 접선·원 위 벡터 내분·망원급수) | 문항1(30점) / 문항2(30점) / 문항3(20점) / 문항4(20점) |
폐구간 \([0, 1]\)에서 도함수 \(f'(x)\)가 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(f(0) = 0\), \(f(1) = 1\)이고, 구간 \([0, 1]\)에서 \(f'(x) > 0\)이며 \(f(x) \le x\)이다.
(나) \(\int_0^{1/2} x\,f'(x)\,dx = \dfrac{1}{18}\)
(다) 구간 \([0, 1]\)에서 정의된 함수 \(g(x) = \int_0^x \bigl(1 - f(t)\bigr)\,dt + 2\int_x^1 f(t)\,dt\)는 \(x = \dfrac{1}{2}\)에서 극댓값 \(\dfrac{37}{36}\)을 갖는다.
다음 물음에 답하시오. [30점]
(1) \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\)의 값을 구하고, 그 이유를 서술하시오. (6점)
(2) 정적분 \(\int_0^1 \left|f(x) - \dfrac{1}{3}\right|\,dx\)의 값을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (12점)
(3) 극한값 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left|f\left(f\left(\dfrac{k}{n}\right)\right) - \dfrac{k}{n}\right| f'\left(\dfrac{k}{n}\right)\)을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (12점)
좌표평면의 제1사분면에서 아래로 볼록인 곡선 \(y = f(x)\) (\(0 \le x \le 2\))가 매개변수 \(t\) (\(0 \le t \le \dfrac{\pi}{2}\))로 다음과 같이 나타내어진다.
\[ x(t) = 2\cos^3 t, \qquad y(t) = 4\sin^3 t \quad \left(0 \le t \le \frac{\pi}{2}\right) \]실수 \(a\) (\(0 < a < 2\))에 대하여 점 \(A(a, 0)\)을 지나고 이 곡선에 접하는 직선이 오직 하나 존재하며(단, 양 끝점은 접점이 아니다), 이 접선을 \(\ell_a\)라 하자. 다음 물음에 답하시오. [30점]
(1) \(a = 1\)일 때, 접선 \(\ell_a\)의 방정식을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (10점)
(2) 접선 \(\ell_a\)가 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 예각의 크기를 \(\theta(a)\)라 할 때, \(a^3 \tan\theta(a)\)의 최댓값을 구하시오. (10점)
(3) 곡선 \(y = f(x)\)와 접선 \(\ell_a\), 그리고 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_1(a)\), 곡선 \(y = f(x)\)와 접선 \(\ell_a\), 그리고 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_2(a)\)라 할 때, \(S_1(a) + S_2(a)\)가 최소가 되도록 하는 \(a\)의 값을 구하시오. (10점)
좌표평면 위에 두 점 \(O(0, 0)\), \(A(6, 6)\)과 중심이 \(C(10, 6)\)이고 반지름의 길이가 \(2\)인 원 \(\Omega : (x - 10)^2 + (y - 6)^2 = 4\)가 있다. 선분 \(OA\)를 삼등분하는 점을 \(O\)에 가까운 점부터 차례로 \(A_1, A_2\)라 하고 \(A_3 = A\)라 하자. 점 \(P\)가 원 \(\Omega\) 위를 움직일 때, 다음 물음에 답하시오. [20점]
(1) \(|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OP}|^2\)의 최솟값과 그때의 점 \(P\)의 좌표를 각각 구하시오. (10점)
(2) \(|\overrightarrow{A_1 P} + 4\overrightarrow{A_2 P} + \overrightarrow{A_3 P}|^2\)의 최솟값이 \(p + q\sqrt{10}\) (\(p, q\)는 정수)일 때, 순서쌍 \((p, q)\)를 구하고 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (10점)
자연수 \(n\)에 대하여 주머니 안에 파란색 공 \(n\)개, 노란색 공 \(2n - 2\)개, 진홍색 공 \(2n + 2\)개가 들어 있다. 이 주머니에서 \(2n\)개의 공을 택하는 경우의 수를 \(a_n\)이라 하자. (단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않는다.) 다음 물음에 답하시오. [20점]
(1) \(a_2\)의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (5점)
(2) 일반항 \(a_n\)을 \(n\)에 대한 식으로 나타내고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (10점)
(3) 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a_n + 5n + 11}\)의 합을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (5점)