🎯 [1단계: 출제의도] 기함수 조건(\(b=d=0\))과 역함수 미분법 \(g'(0) = \frac{1}{f'(0)}\)을 결합하여 삼차함수 \(f(x) = x^3 + 2x\)를 결정하고, 대칭 구간 \([-12, 12]\)에서 기함수·우함수 성질로 적분식을 단순화한 뒤 \(x = f(t)\) 치환적분으로 계산하는 능력을 평가합니다.
🔑 [2단계: 조건 번역 및 핵심 발상] (가)에서 \(f(x) = x^3 + cx\) (\(c > 0\))이고, (나)에서 \(f'(0) - 6g'(0) = c - \frac{6}{c} = -1\)으로부터 \(c = 2\)를 얻습니다. (2)에서 \(f(x), g(x)\)가 모두 기함수이므로 \(x f(x) g(x)\)는 기함수(적분 \(0\))이고 \(2x g(x)\)는 우함수이며, \(f(2) = 12\)임을 이용해 \(x = f(t)\)로 치환합니다.
[1단계] 기함수 성질과 역함수 미분법을 이용한 \(f(x)\)의 결정 (15점)
조건 (가)에서 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = -f(x)\)이므로 이차항과 상수항의 계수는 \(b = 0, d = 0\)이다. 따라서 \(f(x) = x^3 + cx\)이고, 모든 실수 \(x\)에서 \(f'(x) = 3x^2 + c > 0\)이려면 \(c > 0\)이어야 한다.
한편 \(f(0) = 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)도 \(g(0) = 0\)이고, 역함수의 미분법에 의하여 \(g'(0) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{c}\)이다. 조건 (나)의 극한을 미분계수의 정의로 계산하면
\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 6g(x)}{x} = f'(0) - 6g'(0) = c - \frac{6}{c} = -1 \]
양변에 \(c\)를 곱하여 정리하면 \(c^2 + c - 6 = (c - 2)(c + 3) = 0\)이고, \(c > 0\)이므로 \(c = 2\)이다. 따라서
\[ f(x) = x^3 + 2x \]
이다.
[2단계] 대칭 구간의 기함수·우함수 분리 및 \(x = f(t)\) 치환적분 (15점)
\(f(x) = x^3 + 2x\)가 기함수이므로 그 역함수 \(g(x)\)도 기함수(\(g(-x) = -g(x)\))이다. 피적분함수를 전개하면
\[ x\bigl(f(x) + 2\bigr)g(x) = x\,f(x)\,g(x) + 2x\,g(x) \]
여기서 \(f(x)g(x)\)는 우함수이므로 \(x\,f(x)\,g(x)\)는 기함수이고, \(2x\,g(x)\)는 우함수이다. 따라서 대칭 구간 \([-12, 12]\)에서
\[ \int_{-12}^{12} x\bigl(f(x) + 2\bigr)g(x)\,dx = 0 + 2\int_0^{12} 2x\,g(x)\,dx = 4\int_0^{12} x\,g(x)\,dx \]
이다. 이제 \(x = f(t) = t^3 + 2t\)로 치환하면 \(g(x) = t\), \(dx = f'(t)\,dt = (3t^2 + 2)\,dt\)이고, \(x = 0\)일 때 \(t = 0\), \(x = 12\)일 때 \(t^3 + 2t = 12 \implies (t-2)(t^2+2t+6)=0\)에서 \(t = 2\)이다. 따라서
\[ 4\int_0^{12} x\,g(x)\,dx = 4\int_0^2 (t^3 + 2t)\cdot t\cdot (3t^2 + 2)\,dt = 4\int_0^2 (3t^6 + 8t^4 + 4t^2)\,dt \]
\[ = 4\left[\frac{3}{7}t^7 + \frac{8}{5}t^5 + \frac{4}{3}t^3\right]_0^2 = 4\left(\frac{384}{7} + \frac{256}{5} + \frac{32}{3}\right) = \frac{128}{105}(45 + 42 + 10) = \frac{128 \times 97}{105} = \frac{12416}{105} \]
이다.
✅ [4단계: 최종 정답] (1) \(f(x) = x^3 + 2x\), \(\qquad\) (2) \(\dfrac{12416}{105}\)