| 회차 | 출제 기준 및 대표 모집단위 매핑 | 문항 배점 구성 |
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| 제8회 | 2026·2025 자연계 핵심 기출 고난도 변형 I (포물선 할선 극한·역함수 대칭적분·타원 내접원·중복조합 여사건) | 문항1(30점) / 문항2(30점) / 문항3(20점) / 문항4(20점) |
xy평면 위의 이차곡선 \(y = x^2\)과 y절편이 \(3\)인 두 직선 \(L_n : y = a_n x + 3\), \(M_n : y = b_n x + 3\) (\(0 < a_n < b_n\))에 대하여 다음 두 성질이 성립한다.
(가) 임의의 자연수 \(n \ge 10\)에 대하여 이차곡선 \(y = x^2\)과 직선 \(L_n\)이 이루는 폐영역의 넓이는 \(\dfrac{9}{2}n\)이다.
(나) 임의의 자연수 \(n \ge 10\)에 대하여 이차곡선 \(y = x^2\)이 직선 \(M_n\)에 의해 잘려 생기는 선분(현)의 길이는 \(\sqrt{3}\,n\)이다.
아래 세 소문항의 극한값을 각각 구하고 풀이 과정을 서술하시오. [30점]
(1) \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n^2}{\sqrt[3]{n^2}}\)의 값을 구하시오. (10점)
(2) \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{b_n}{\sqrt{n}}\)의 값을 구하시오. (10점)
(3) \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{n}\,a_n(a_{n+1} - a_n)\)의 값을 구하시오. (10점)
최고차항 계수가 \(1\)인 삼차다항함수 \(f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d\) (\(b, c, d\)는 상수)가 아래 두 성질을 만족한다.
(가) 실수 전체의 집합에서 도함수 \(f'(x) > 0\)이고, 원점 대칭 관계식 \(f(-x) = -f(x)\)가 항등적으로 성립한다.
(나) 일대일대응인 \(f(x)\)의 역함수를 \(g(x)\)라 두면 극한 등식 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - 6g(x)}{x} = -1\)이 성립한다.
아래 두 소문항의 답을 구하고 풀이 과정을 서술하시오. [30점]
(1) 다항함수 \(f(x)\)의 식을 결정하시오. (15점)
(2) 대칭구간 정적분 \(\int_{-12}^{12} x\bigl(f(x) + 2\bigr)g(x)\,dx\)를 계산하시오. (15점)
타원 방정식 \(C : \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{25-c^2} = 1\) (\(0 < c < 5\))의 두 초점을 \(F(c, 0)\), \(F'(-c, 0)\)이라 하자. 제1사분면에 위치한 타원 \(C\) 위의 한 점 \(P\)에서 두 초점까지 이르는 거리 비가 \(\overline{PF} : \overline{PF'} = 2 : 3\)이며, 원점 \(O\)로부터 점 \(P\)까지의 거리는 \(\overline{OP} = \sqrt{10}\)이다. 아래 물음에 답하고 과정을 서술하시오. [20점]
(1) 초점 좌표 상수 \(c\)를 결정하시오. (10점)
(2) 초점삼각형 \(PF'F\)의 면적 \(S\)와 그 내접원의 반지름 \(r\)를 구하시오. (10점)
네 개의 음이 아닌 정수 \(x_1, x_2, x_3, x_4\)로 이루어진 순서쌍 \((x_1, x_2, x_3, x_4)\)에 대하여 아래 세 제약식이 주어져 있다. 각 소문항의 순서쌍 개수를 구하고 풀이 과정을 서술하시오. [20점]
(가) 네 정수의 총합은 \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 16\)이다.
(나) 앞의 세 정수 \(x_1, x_2, x_3\) 가운데 홀수가 최소 1개 이상 포함된다.
(다) 네 번째 정수 \(x_4\)는 \(4\)의 배수(\(0, 4, 8, \dots\))이다.
(1) 제약식 (가)와 (다)만 동시에 충족하는 해의 가짓수를 구하시오. (10점)
(2) 세 제약식 (가), (나), (다)를 모두 충족하는 해의 가짓수를 구하시오. (10점)