고려대학교 2027학년도 자연계열 실전모의고사 제7회 해설집

[1단계] 극한 조건 (가)를 이용한 이차함수 \(f(x)\)의 결정 (15점)

조건 (가)-(i)에서 \(\ln(h+2) - \ln h = \ln\left(1 + \dfrac{2}{h}\right)\)이고, \(t = \dfrac{2}{h}\)로 치환하면 \(h \to \infty\)일 때 \(t \to 0+\)이므로

\[ \lim_{h \to \infty} h\bigl\{\ln(h+2) - \ln h\bigr\} = \lim_{t \to 0+} \frac{2\ln(1+t)}{t} = 2 \]

이다. 따라서

\[ \lim_{h \to \infty} \frac{f(h)}{h}\bigl\{\ln(h+2) - \ln h\bigr\} = \lim_{h \to \infty} \frac{f(h)}{h^2} \cdot h\ln\left(1+\frac{2}{h}\right) = 2 \lim_{h \to \infty} \frac{f(h)}{h^2} = 2 \implies \lim_{h \to \infty} \frac{f(h)}{h^2} = 1 \]

이므로 \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수이다. \(f(x) = x^2 + px + q\) (\(p, q\)는 상수)라 하자. 조건 (가)-(ii)의 정적분을 계산하면

\[ \int_{h}^{h+\sin h} (x^2 + px + q)\,dx = \frac{(h+\sin h)^3 - h^3}{3} + \frac{p\bigl\{(h+\sin h)^2 - h^2\bigr\}}{2} + q\sin h \]

양변을 \(h^2\)으로 나누어 \(h \to 0\)의 극한을 취할 때, 첫째 항은 \(h^3\) 차수이므로 \(h^2\)으로 나눈 극한이 \(0\)이고, 둘째 항은

\[ \lim_{h \to 0} \frac{p(2h\sin h + \sin^2 h)}{2h^2} = \frac{p}{2}(2 + 1) = \frac{3}{2}p \]

이다. 이 극한값이 \(9\)로 수렴하려면 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{q\sin h}{h^2}\)이 수렴해야 하므로 \(q = 0\)이어야 하고, \(\dfrac{3}{2}p = 9\)에서 \(p = 6\)이다. 따라서

\[ f(x) = x^2 + 6x \]

이다.

[2단계] 조건 (나), (다)를 이용한 \(b\)와 \(a\)의 관계식 도출 (15점)

조건 (나)에서 이차함수 \(y = x^2 + 6x\)와 두 교점 \((\alpha, f(\alpha))\), \((\beta, f(\beta))\)를 잇는 직선 \(y = k(x)\)로 둘러싸인 넓이는 정적분 넓이 공식에 의하여

\[ \int_{\alpha}^{\beta} \bigl\{k(x) - f(x)\bigr\}\,dx = \frac{(\beta - \alpha)^3}{6} = \frac{9}{2} \implies (\beta - \alpha)^3 = 27 \implies \beta - \alpha = 3 \]

이다. 한편 조건 (다)에서 두 점 \((\alpha, f(\alpha))\), \((\beta, f(\beta))\)는 두 포물선 \(y = x^2 + 6x\)와 \(y = -(x-a)^2 + b\)의 교점이므로, \(\alpha, \beta\)는 이차방정식

\[ x^2 + 6x = -(x^2 - 2ax + a^2) + b \iff 2x^2 + (6 - 2a)x + a^2 - b = 0 \iff x^2 + (3 - a)x + \frac{a^2 - b}{2} = 0 \]

의 두 실근이다. 근과 계수의 관계에 의하여 \(\alpha + \beta = a - 3\), \(\alpha\beta = \dfrac{a^2 - b}{2}\)이므로, 곱셈공식 \((\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta\)에 \(\beta - \alpha = 3\)을 대입하면

\[ 3^2 = (a - 3)^2 - 2(a^2 - b) \implies 9 = a^2 - 6a + 9 - 2a^2 + 2b \implies 2b = a^2 + 6a \]

따라서 \(b = \dfrac{1}{2}a^2 + 3a\)이다.

[1단계] 차함수 \(k(x) = f(x) - g(x)\)의 극값 분석을 통한 교점의 유일성 증명 (10점)

조건 (가), (나)에서 \(g(x)\)는 기울기가 \(g'(a) = f'(a) = 3a^2 - 3\)이고 \(g(a) = f(a) - 2a = a^3 - 5a\)인 직선이므로

\[ g(x) = (3a^2 - 3)(x - a) + a^3 - 5a = (3a^2 - 3)x - 2a^3 - 2a \]

이다. 차함수 \(k(x) = f(x) - g(x)\)를 세우면

\[ k(x) = x^3 - 3a^2 x + 2a^3 + 2a, \qquad k'(x) = 3x^2 - 3a^2 = 3(x + a)(x - a) \]

이다. \(a \ne 0\)이므로 \(k(x)\)는 \(x = -a\)와 \(x = a\)에서 극값을 갖는다.

• \(a > 0\)일 때: \(k(x)\)는 \(x = -a\)에서 극댓값 \(k(-a) = 4a^3 + 2a > 0\), \(x = a\)에서 극솟값 \(k(a) = 2a > 0\)을 갖는다. 극댓값과 극솟값이 모두 양수이므로 방정식 \(k(x) = 0\)은 오직 하나의 실근만을 갖는다.
• \(a < 0\)일 때: \(k(x)\)는 \(x = a\)에서 극댓값 \(k(a) = 2a < 0\), \(x = -a\)에서 극솟값 \(k(-a) = 4a^3 + 2a < 0\)을 갖는다. 극댓값과 극솟값이 모두 음수이므로 방정식 \(k(x) = 0\)은 오직 하나의 실근만을 갖는다.

따라서 \(0\)이 아닌 모든 실수 \(a\)에 대하여 두 그래프는 오직 한 점에서만 만난다.

[2단계] 부등식 \(-a\,h(a) > a^2\)의 증명 (10점)

교점의 \(x\)좌표 \(h(a)\)는 \(k(h(a)) = 0\)을 만족시킨다.

• \(a > 0\)일 때: 구간 \([-a, \infty)\)에서 \(k(x)\)의 최솟값은 \(k(a) = 2a > 0\)이므로 \(x \ge -a\)에서는 \(k(x) > 0\)이다. 반면 \(\lim_{x\to-\infty} k(x) = -\infty\)이고 구간 \((-\infty, -a]\)에서 \(k(x)\)는 순증가하므로 유일한 실근 \(h(a)\)는 \(h(a) < -a\)를 만족시킨다. 양변에 음수 \(-a < 0\)을 곱하면 부등호 방향이 바뀌어 \(-a\,h(a) > a^2\)이 성립한다.
• \(a < 0\)일 때: 구간 \((-\infty, -a]\)에서 \(k(x)\)의 최댓값은 \(k(a) = 2a < 0\)이므로 \(x \le -a\)에서는 \(k(x) < 0\)이다. 반면 \(\lim_{x\to\infty} k(x) = +\infty\)이고 구간 \([-a, \infty)\)에서 \(k(x)\)는 순증가하므로 유일한 실근 \(h(a)\)는 \(h(a) > -a\)를 만족시킨다. 양변에 양수 \(-a > 0\)을 곱하면 \(-a\,h(a) > a^2\)이 성립한다.

따라서 \(0\)이 아닌 모든 실수 \(a\)에 대하여 \(-a\,h(a) > a^2\)이다.

[3단계] 극한값 \(\lim_{a \to \infty} \dfrac{h(a)}{a}\)의 계산 (10점)

\(k(h(a)) = \{h(a)\}^3 - 3a^2 h(a) + 2a^3 + 2a = 0\)의 양변을 \(a^3\) (\(a > 0\))으로 나누면

\[ \left\{\frac{h(a)}{a}\right\}^3 - 3\left\{\frac{h(a)}{a}\right\} + 2 + \frac{2}{a^2} = 0 \]

\(X = \lim_{a \to \infty} \dfrac{h(a)}{a}\)라 하고 \(a \to \infty\)의 극한을 취하면 \(\dfrac{2}{a^2} \to 0\)이므로

\[ X^3 - 3X + 2 = (X - 1)^2(X + 2) = 0 \]

한편 소문항 (2)에서 \(a > 0\)일 때 \(\dfrac{h(a)}{a} < -1\)이므로 극한값은 \(X \le -1\)을 만족해야 한다. 따라서 \(X = -2\), 즉 \(\lim_{a \to \infty} \dfrac{h(a)}{a} = -2\)이다.

[1단계] 현의 길이 \(|\overrightarrow{AB_k}|\) 및 원주각 계산 (8점)

반원의 중심을 \(O\), 반지름을 \(R = 2\)라 하면 호 \(AB_4\)가 \(4\)등분되므로 중심각은 \(\angle AOB_k = \dfrac{k\pi}{4}\) (\(k=1, 2, 3, 4\))이다. 지름 \(AB_4 = 4\)에 대한 원주각은 \(\angle AB_k B_4 = \dfrac{\pi}{2}\)이고, 호 \(B_k B_4\)에 대한 원주각은 \(\angle B_k A B_4 = \dfrac{(4-k)\pi}{8}\)이다. 따라서 직각삼각형 \(AB_k B_4\)에서

• \(|\overrightarrow{AB_1}| = 4\cos\dfrac{3\pi}{8} = 4\sin\dfrac{\pi}{8}\)이고, 직선 \(AB_1\)이 지름 \(AB_4\)와 이루는 예각은 \(\angle B_1 A B_4 = \dfrac{3\pi}{8}\)이다.
• \(|\overrightarrow{AB_2}| = 4\cos\dfrac{2\pi}{8} = 4\cos\dfrac{\pi}{4} = 2\sqrt{2}\) (\(\angle B_2 A B_4 = \dfrac{\pi}{4}\))이다.
• \(|\overrightarrow{AB_3}| = 4\cos\dfrac{\pi}{8}\) (\(\angle B_3 A B_4 = \dfrac{\pi}{8}\))이다.

[2단계] 직선 \(AB_1\) 대칭이동과 코사인법칙을 이용한 최솟값 계산 (12점)

\(\overrightarrow{AP} = t\overrightarrow{AB_1}\)이라 하면 점 \(P\)는 직선 \(AB_1\) 위를 움직이는 점이고, 주어진 식은 \((\overline{PB_2} + \overline{PB_3})^2\)이다. 두 점 \(B_2, B_3\)은 직선 \(AB_1\)에 대하여 같은 쪽에 놓여 있으므로, 점 \(B_3\)을 직선 \(AB_1\)에 대하여 대칭이동한 점을 \(B_3'\)이라 하면 삼각형의 결정조건에 의하여

\[ \overline{PB_2} + \overline{PB_3} = \overline{PB_2} + \overline{PB_3'} \ge \overline{B_2 B_3'} \]

이고, 등호는 점 \(P\)가 선분 \(B_2 B_3'\)과 직선 \(AB_1\)의 교점일 때 성립한다. 이때 \(\overline{AB_3'} = \overline{AB_3} = 4\cos\dfrac{\pi}{8}\)이고,

\[ \angle B_1 A B_2 = \frac{3\pi}{8} - \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{8}, \qquad \angle B_1 A B_3' = \angle B_1 A B_3 = \frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \]

이므로 두 선분 \(AB_2\)와 \(AB_3'\)이 이루는 각은 \(\angle B_2 A B_3' = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{8}\)이다. 삼각형 \(AB_2 B_3'\)에서 코사인법칙에 의하여

\[ \overline{B_2 B_3'}^2 = \overline{AB_2}^2 + \overline{AB_3'}^2 - 2\,\overline{AB_2}\,\overline{AB_3'}\cos\frac{3\pi}{8} = (2\sqrt{2})^2 + 16\cos^2\frac{\pi}{8} - 16\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8} \]

반각공식 \(\cos^2\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1 + \cos\frac{\pi}{4}}{2} = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}\)에서 \(16\cos^2\dfrac{\pi}{8} = 8 + 4\sqrt{2}\)이고, \(\cos\dfrac{3\pi}{8} = \sin\dfrac{\pi}{8}\)이므로 배각공식에 의하여

\[ 16\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} = 8\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4} = 8\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \]

이다. 따라서 구하는 최솟값은

\[ \overline{B_2 B_3'}^2 = 8 + (8 + 4\sqrt{2}) - 8 = 8 + 4\sqrt{2} \]

이다.

[1단계] 전체 회로가 정상 작동하지 않을 확률 \(P(W^c)\) 계산 (10점)

세 부품 \(A, B, C\)가 정상인 사건을 각각 \(A, B, C\)라 하면

\[ P(A) = \frac{9}{10},\quad P(A^c) = \frac{1}{10},\qquad P(B) = \frac{4}{5},\quad P(B^c) = \frac{1}{5},\qquad P(C) = \frac{19}{20},\quad P(C^c) = \frac{1}{20} \]

이다. 병렬 부분 \(A \cup B\)가 정상일 확률은 독립사건의 여사건 성질에 의하여

\[ P(A \cup B) = 1 - P(A^c \cap B^c) = 1 - \frac{1}{10} \times \frac{1}{5} = 1 - \frac{1}{50} = \frac{49}{50} \]

이다. 전체 회로가 정상 작동하는 사건을 \(W = (A \cup B) \cap C\)라 하면 독립성에 의하여

\[ P(W) = P(A \cup B)\,P(C) = \frac{49}{50} \times \frac{19}{20} = \frac{931}{1000} \]

이므로, 전체 회로가 정상 작동하지 않을 확률은

\[ P(W^c) = 1 - P(W) = 1 - \frac{931}{1000} = \frac{69}{1000} \]

이다.

[2단계] 회로가 작동하지 않았을 때 부품 \(A\)가 불량일 조건부확률 \(P(A^c \mid W^c)\) 계산 (10점)

부품 \(A\)가 불량(\(A^c\))이면서 전체 회로가 정상 작동하는 사건 \(A^c \cap W\)는 부품 \(A\)는 불량이고 부품 \(B\)와 부품 \(C\)가 모두 정상인 사건 \(A^c \cap B \cap C\)와 같다. 따라서

\[ P(A^c \cap W) = P(A^c)\,P(B)\,P(C) = \frac{1}{10} \times \frac{4}{5} \times \frac{19}{20} = \frac{76}{1000} \]

이다. 그러므로 부품 \(A\)가 불량이면서 전체 회로가 작동하지 않을 확률 \(P(A^c \cap W^c)\)는

\[ P(A^c \cap W^c) = P(A^c) - P(A^c \cap W) = \frac{100}{1000} - \frac{76}{1000} = \frac{24}{1000} \]

이다. 따라서 구하는 조건부확률은

\[ P(A^c \mid W^c) = \frac{P(A^c \cap W^c)}{P(W^c)} = \frac{24/1000}{69/1000} = \frac{24}{69} = \frac{8}{23} \]

이다.