| 회차 | 출제 기준 및 대표 모집단위 매핑 | 문항 배점 구성 |
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| 제7회 | 2023학년도 자연계 모의논술 기출 완벽 변형 (로그·정적분 극한·삼차함수 교점극한·반원 대칭벡터·회로 조건부확률) | 문항1(30점) / 문항2(30점) / 문항3(20점) / 문항4(20점) |
이차함수 \(y = f(x)\)와 두 실수 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha < \beta\)), 그리고 두 실수 \(a, b\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 이차함수 \(f(x)\)는 다음 두 극한 조건을 만족시킨다.
\[ \text{(i) } \lim_{h \to \infty} \frac{f(h)}{h}\bigl\{\ln(h+2) - \ln h\bigr\} = 2, \qquad \text{(ii) } \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^2} \int_{h}^{h+\sin h} f(x)\,dx = 9 \](나) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 두 점 \((\alpha, f(\alpha))\), \((\beta, f(\beta))\)를 지나는 직선의 방정식을 \(y = k(x)\)라 할 때, \(\int_{\alpha}^{\beta} \bigl\{k(x) - f(x)\bigr\}\,dx = \dfrac{9}{2}\)이다.
(다) 포물선 \(y = -(x-a)^2 + b\)가 두 점 \((\alpha, f(\alpha))\), \((\beta, f(\beta))\)를 지난다.
다음 물음에 답하시오. [30점]
(1) 이차함수 \(f(x)\)를 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (15점)
(2) 실수 \(b\)를 \(a\)에 대한 식(\(\alpha, \beta\)를 포함하지 않는 식)으로 나타내고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (15점)
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x\)와 \(0\)이 아닌 실수 \(a\)에 대하여 함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(g(x)\)는 일차함수 또는 상수함수이다.
(나) \(f(a) - g(a) = 2a\)이고, \(f'(a) - g'(a) = 0\)이다.
다음 물음에 답하시오. [30점]
(1) \(0\)이 아닌 임의의 실수 \(a\)에 대하여 두 함수 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)의 그래프는 오직 한 점에서만 만남을 증명하시오. (10점)
(2) 두 그래프 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)의 유일한 교점의 \(x\)좌표를 \(h(a)\)라 할 때, \(0\)이 아닌 모든 실수 \(a\)에 대하여 부등식 \(-a\,h(a) > a^2\)이 성립함을 증명하시오. (10점)
(3) 극한값 \(\lim_{a \to \infty} \dfrac{h(a)}{a}\)를 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (10점)
좌표평면 위에서 지름이 \(AB_4 = 4\) (반지름 \(R = 2\))인 반원의 호 위에
\[ \widehat{AB_1} = \widehat{B_1 B_2} = \widehat{B_2 B_3} = \widehat{B_3 B_4} \]를 만족시키는 네 점 \(B_1, B_2, B_3, B_4\)가 순서대로 놓여 있다. 다음 물음에 답하시오. [20점]
(1) 세 벡터 \(\overrightarrow{AB_1}, \overrightarrow{AB_2}, \overrightarrow{AB_3}\)의 크기를 각각 구하고, 직선 \(AB_1\)이 지름 \(AB_4\)와 이루는 예각의 크기를 구하시오. (8점)
(2) 실수 \(t\)가 실수 전체의 집합에서 변할 때, \(\bigl(|\overrightarrow{AB_2} - t\overrightarrow{AB_1}| + |\overrightarrow{AB_3} - t\overrightarrow{AB_1}|\bigr)^2\)의 최솟값을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (12점)
세 부품 \(A, B, C\)가 연결되어 작동하는 전자 회로가 있다. 이 회로는 병렬로 연결된 두 부품 \(A, B\) 중 적어도 하나가 정상이고, 이와 직렬로 연결된 부품 \(C\)가 정상일 때에만 전체 회로가 정상 작동한다. 새로 생산된 각 부품이 불량일 확률은
\[ \text{부품 } A : 10\%, \qquad \text{부품 } B : 20\%, \qquad \text{부품 } C : 5\% \]이고, 세 부품 \(A, B, C\)가 불량인 사건은 서로 독립이다. 다음 물음에 답하시오. [20점]
(1) 새로 생산된 세 부품 \(A, B, C\)를 연결하였을 때 전체 회로가 정상 작동하지 않을 확률을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (10점)
(2) 새로 생산된 세 부품 \(A, B, C\)를 연결하였을 때 전체 회로가 정상 작동하지 않았다고 할 때, 부품 \(A\)가 불량이었을 조건부확률을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (10점)