고려대학교 2027학년도 자연계열 실전모의고사 제6회 해설집

[1단계] 소문항 (1) — 구간별 \(f_1(x)\)의 식과 \(b, c\)의 관계식 도출 (10점)

정의에 따라 \(\sigma(g_1(x))\)와 \(\sigma(h_1(x))\)를 구간별로 정리하면

\[ \sigma(g_1(x)) = \begin{cases} 0 & (x < b-2) \\ x-b+2 & (b-2 \le x < b) \\ 2 & (x \ge b) \end{cases}, \qquad \sigma(h_1(x)) = \begin{cases} 3 & (x < c) \\ -x+c+3 & (c \le x < c+3) \\ 0 & (x \ge c+3) \end{cases} \]

\(b \le c\)이므로 \(b < c\)일 때 두 함수를 더한 \(f_1(x)\)는 구간별로

\[ f_1(x) = \begin{cases} 3 & (x < b-2) \\ x-b+5 & (b-2 \le x < b) \\ 5 & (b \le x < c) \\ -x+c+5 & (c \le x < c+3) \\ 2 & (x \ge c+3) \end{cases} \]

이 경우 좌·우미분계수가 다른 점은 \(x = b-2, b, c, c+3\)의 \(4\)개이다. 미분가능하지 않은 점이 정확히 \(3\)개가 되려면 \(b = c\)가 되어 상수 구간 \([b, c]\)가 한 점으로 합쳐지면서 \(x = b-2, b(=c), b+3\)의 \(3\)개 점에서만 기울기가 변해야 한다. 따라서 구하는 조건은 \(b = c\)이다.

[2단계] 소문항 (2) — 미분불가능점 상쇄 조건과 순서쌍 \((p, q)\) 결정 (10점)

\(g(x) = -\sigma(-x-2)+2\)에 대하여 \(\sigma(g(x))\)는 \(x < -4\)일 때 \(0\), \(-4 \le x < -2\)일 때 \(x+4\), \(x \ge -2\)일 때 \(2\)이다. 대칭성에 의해 \(H(x) = \sigma(g(x)) + \sigma(g(-x)) - 2\)를 정리하면

\[ H(x) = \begin{cases} 0 & (|x| \ge 4) \\ x+4 & (-4 \le x < -2) \\ 2 & (-2 \le x \le 2) \\ -x+4 & (2 < x \le 4) \end{cases} \]

이므로 \(H(x)\)는 \(x = -4, -2, 2, 4\)의 네 점에서 미분불가능하다. 연속함수 \(H(x)\)가 \(x = x_0\)에서 좌·우미분계수가 유한하고 서로 다를 때, 다항함수 \(P(x) = (x-p)(x-q)\)를 곱한 \(f_2(x) = P(x)H(x)\)가 \(x = x_0\)에서 미분가능할 필요충분조건은 \(P(x_0) = 0\)이다. \(f_2(x)\)가 정확히 두 점에서만 미분불가능하려면 \(p, q\)는 집합 \(\{-4, -2, 2, 4\}\)의 서로 다른 두 원소여야 한다. 또한 \(f_2(0) = pq\,H(0) = 2pq > 0\)에서 \(pq > 0\)이므로 \(p, q\)의 부호가 같아야 한다. 따라서 가능한 순서쌍은

\[ (p, q) \in \{(-4, -2),\; (-2, -4),\; (2, 4),\; (4, 2)\} \]

의 \(4\)개이다.

[3단계] 소문항 (3) — 직선 \(y = mx + n\)과 세 점에서 만날 \((m, n)\) 영역의 넓이 (10점)

차함수 \(d(x) = H(x) - (mx+n)\)은 구간 \((-\infty, -4]\), \([-4, -2]\), \([-2, 2]\), \([2, 4]\), \([4, \infty)\)에서 각각 일차함수이다. \(m > 0\)일 때 \(\lim_{x\to-\infty} d(x) = +\infty\), \(\lim_{x\to+\infty} d(x) = -\infty\)이며, \(x \le -4\)와 \(x \ge -2\)에서는 \(d(x)\)가 감소하므로 증가할 수 있는 구간은 \([-4, -2]\) (단, \(0 < m < 1\))뿐이다. 따라서 \(d(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 가지려면 \(0 < m < 1\)이고 \(d(-4) = 4m - n < 0\), \(d(-2) = 2 + 2m - n > 0\)이어야 한다. 즉

\[ 4m < n < 2m + 2 \quad (0 < m < 1) \]

이고, 우함수 대칭성에 의해 \(m < 0\)일 때의 조건은

\[ -4m < n < -2m + 2 \quad (-1 < m < 0) \]

이다. 좌표평면 \((m, n)\)에서 \(0 < m < 1\), \(4m < n < 2m+2\)는 세 점 \((0, 0)\), \((0, 2)\), \((1, 4)\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형이므로 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1\)이다. \(m < 0\)인 영역도 대칭인 삼각형으로 넓이가 \(1\)이므로, 전체 영역의 넓이는 \(1 + 1 = 2\)이다.

[1단계] 변곡점 접선 조건을 이용한 \(p, q, r\)의 정수 매개변수 표현 및 \(pqr\) 최솟값 (12점)

\(f(x) = x^3 + px^2 + qx + r\)를 두 번 미분하면 \(f'(x) = 3x^2 + 2px + q\), \(f''(x) = 6x + 2p\)이다. \(f''(x) = 0\)에서 변곡점의 \(x\)좌표는 \(x = -\dfrac{p}{3}\)이다.

조건 (나)에서 변곡점에서의 접선이 \(y = -2x\)이므로 \(f'\left(-\dfrac{p}{3}\right) = -2\)이고 \(f\left(-\dfrac{p}{3}\right) = \dfrac{2p}{3}\)이다.

\[ f'\left(-\frac{p}{3}\right) = \frac{p^2}{3} - \frac{2p^2}{3} + q = -\frac{p^2}{3} + q = -2 \implies p^2 = 3(q + 2) \]

\(p, q\)가 정수이고 \(p^2\)이 \(3\)의 배수이므로 \(p\)도 \(3\)의 배수이다. \(p \ne 0\)이므로 \(0\)이 아닌 정수 \(k\)에 대하여 \(p = 3k\)로 놓으면

\[ q = 3k^2 - 2 \]

이고, 변곡점의 \(x\)좌표는 \(-k\)이다. \(f(-k) = 2k\)에 대입하면

\[ (-k)^3 + 3k(-k)^2 + (3k^2-2)(-k) + r = 2k \implies -k^3 + 3k^3 - 3k^3 + 2k + r = 2k \implies r = k^3 \]

따라서 세 계수의 곱은 \(pqr = (3k)(3k^2-2)(k^3) = 3k^4(3k^2-2)\)이다. \(k\)는 \(0\)이 아닌 정수이므로 \(k^2 \ge 1\)이고, \(k^2 = 1\) (\(k = \pm 1\))일 때 \(pqr\)은 최솟값 \(3 \times 1 \times 1 = 3\)을 갖는다. 이때의 삼차함수 \(f(x)\)는

\[ f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 1 \quad (k=1), \qquad f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1 \quad (k=-1) \]

이다.

[2단계] 극한값 \(\lim_{p \to \infty} \dfrac{pq}{r}\)의 계산 (8점)

\(p = 3k \to \infty\)일 때 \(k \to \infty\)이므로

\[ \lim_{p \to \infty} \frac{pq}{r} = \lim_{k \to \infty} \frac{3k(3k^2 - 2)}{k^3} = \lim_{k \to \infty} \left(9 - \frac{6}{k^2}\right) = 9 \]

이다.

[3단계] 점 \((-3, 2)\)에서 그은 접선이 \(3\)개가 되도록 하는 자연수 \(p\)의 결정 (10점)

\(f(x) = (x+k)^3 - 2x\)이므로 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 방정식은

\[ y - \{(t+k)^3 - 2t\} = \{3(t+k)^2 - 2\}(x - t) \]

이 직선이 점 \((-3, 2)\)를 지나므로 \(x = -3, y = 2\)를 대입하고 \(u = t + k\) (\(-3 - t = k - 3 - u\))로 치환하면

\[ 2 - u^3 + 2(u-k) = (3u^2 - 2)(k - 3 - u) = 3(k-3)u^2 - 3u^3 - 2(k-3) + 2u \] \[ \implies 2u^3 - 3(k-3)u^2 - 4 = 0 \]

삼차함수 \(g(u) = 2u^3 - 3(k-3)u^2 - 4\)가 서로 다른 세 실근을 가지려면 \(g'(u) = 6u\{u - (k-3)\} = 0\)의 두 극점 \(u = 0\)과 \(u = k-3\) (\(k \ne 3\))에서 극댓값과 극솟값의 부호가 서로 반대여야 한다. \(g(0) = -4 < 0\)이므로 다른 극값 \(g(k-3)\)이 양수(\(>0\))여야 한다.

\[ g(k-3) = 2(k-3)^3 - 3(k-3)^3 - 4 = -(k-3)^3 - 4 > 0 \iff (k-3)^3 < -4 \]

\(k\)는 자연수(\(p = 3k \ge 3\))이므로 \((k-3)^3 < -4\)를 만족하는 자연수 \(k\)는 \(k - 3 \le -2\), 즉 \(k = 1\) (\((-2)^3 = -8 < -4\))뿐이다. (\(k = 2\)일 때는 \((-1)^3 = -1 > -4\)이므로 불만족.) 따라서 구하는 자연수 \(p\)의 값은 \(p = 3k = 3\)이다.

[1단계] 현 벡터 \(\vec{b}_i\)의 크기와 사이각 공식 유도 및 \(n=7\)일 때 \(\vec{b}_2 \cdot \vec{b}_5\) 계산 (8점)

원의 중심을 \(O\), 반지름을 \(R = 2\)라 하면 점 \(A, B_1, \dots, B_n\)은 원주를 \((n+1)\)등분하므로 중심각은 \(\angle AOB_i = \dfrac{2i\pi}{n+1}\)이다. 이등변삼각형 \(OAB_i\)에서 현 \(AB_i\)의 길이는

\[ |\vec{b}_i| = 2R\sin\frac{i\pi}{n+1} = 4\sin\frac{i\pi}{n+1} \quad (1 \le i \le n) \]

또한 원주각의 성질에 의하여 두 벡터 \(\vec{b}_i = \overrightarrow{AB_i}\)와 \(\vec{b}_j = \overrightarrow{AB_j}\) (\(i \le j\))가 이루는 각의 크기 \(\theta_{ij}\)는 호 \(B_i B_j\)에 대한 원주각이므로 \(\theta_{ij} = \dfrac{(j-i)\pi}{n+1}\)이다. 따라서 내적은

\[ \vec{b}_i \cdot \vec{b}_j = 16\sin\frac{i\pi}{n+1}\sin\frac{j\pi}{n+1}\cos\frac{(j-i)\pi}{n+1} \]

이다. \(n = 7\)일 때 \(n+1 = 8\)이므로 \(i = 2, j = 5\)를 대입하면

\[ \vec{b}_2 \cdot \vec{b}_5 = 16\sin\frac{2\pi}{8}\sin\frac{5\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8} = 16\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{3\pi}{8}\sin\frac{3\pi}{8} \]

배각공식 \(2\sin\dfrac{3\pi}{8}\cos\dfrac{3\pi}{8} = \sin\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)과 \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)를 대입하면

\[ \vec{b}_2 \cdot \vec{b}_5 = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \]

이다.

[2단계] 정적분과 급수의 합 및 조임정리를 이용한 극한값 계산 (12점)

일반항 \(\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_i = 16\sin\dfrac{\pi}{n+1}\sin\dfrac{i\pi}{n+1}\cos\dfrac{(i-1)\pi}{n+1}\)에서 덧셈정리 \(\cos\dfrac{(i-1)\pi}{n+1} = \cos\dfrac{i\pi}{n+1}\cos\dfrac{\pi}{n+1} + \sin\dfrac{i\pi}{n+1}\sin\dfrac{\pi}{n+1}\)를 대입하여 정리하면

\[ \vec{b}_1 \cdot \vec{b}_i = 4\sin\frac{2\pi}{n+1}\sin\frac{2i\pi}{n+1} + 16\sin^2\frac{\pi}{n+1}\sin^2\frac{i\pi}{n+1} \]

이다. 이를 \(i = 1\)부터 \(n\)까지 합하면

\[ \vec{b}_1 \cdot \left(\sum_{i=1}^{n} \vec{b}_i\right) = 4(n+1)\sin\frac{2\pi}{n+1} \cdot \frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}\sin\frac{2i\pi}{n+1} + 16\sin^2\frac{\pi}{n+1}\sum_{i=1}^{n}\sin^2\frac{i\pi}{n+1} \]

첫째 항에서 \(\lim_{n\to\infty} 4(n+1)\sin\dfrac{2\pi}{n+1} = 8\pi\)이고, 정적분과 급수의 합에 의하여

\[ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}\sin\frac{2i\pi}{n+1} = \int_0^1 \sin(2\pi x)\,dx = \left[-\frac{\cos(2\pi x)}{2\pi}\right]_0^1 = 0 \]

이므로 첫째 항의 극한은 \(8\pi \times 0 = 0\)이다. 둘째 항을 \(T_n\)이라 하면 \(0 \le \sin^2\dfrac{i\pi}{n+1} \le 1\)이므로

\[ 0 \le T_n \le 16n\sin^2\frac{\pi}{n+1} = \frac{16n\pi^2}{(n+1)^2}\left(\frac{\sin\frac{\pi}{n+1}}{\frac{\pi}{n+1}}\right)^2 \xrightarrow{n\to\infty} 0 \]

조임정리에 의하여 \(\lim_{n\to\infty} T_n = 0\)이다. 따라서 구하는 극한값은 \(0 + 0 = 0\)이다.

[1단계] 비복원추출에서 네 번째 기회에 진홍색 공을 뽑을 확률 (8점)

\(10\)개의 공에 \(1\)부터 \(10\)까지 번호를 붙여 비복원추출로 \(4\)개를 순서대로 뽑는 모든 경우의 수는 \(\_{10}\mathrm{P}_4\)이고 각 근원사건은 동등하게 일어날 가능성이 있다. 네 번째 자리에 진홍색 공(\(5\)개 중 하나)이 오고 나머지 첫째, 둘째, 셋째 자리에 남은 \(9\)개의 공 중 \(3\)개가 순서대로 나열되는 경우의 수는 \(5 \times \_9\mathrm{P}_3\)이다. 따라서 구하는 확률은

\[ P(\text{4번째 진홍색}) = \frac{5 \times \_9\mathrm{P}_3}{\_{10}\mathrm{P}_4} = \frac{5 \times 9 \times 8 \times 7}{10 \times 9 \times 8 \times 7} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]

이다.

[2단계] 총상금액 \(X\)의 확률분포와 기댓값 \(\mathrm{E}(X)\) 계산 (12점)

첫 번째 기회에 진홍색 공을 뽑는 사건을 \(A\), 네 번째 기회에 진홍색 공을 뽑는 사건을 \(B\)라 하자. 확률변수 \(X\)가 가질 수 있는 값은 \(0, 100, 300, 400\) (단위: 만 원)이다. 첫 번째와 네 번째 자리에 놓이는 공의 순서쌍 경우의 수는 전체 \(10\)개 중 \(2\)개를 뽑아 나열하는 \(\_{10}\mathrm{P}_2 = 10 \times 9 = 90\)가지와 동등하므로,

• \(P(X = 0) = P(A^c \cap B^c) = \dfrac{5 \times 4}{10 \times 9} = \dfrac{20}{90} = \dfrac{2}{9}\)
• \(P(X = 100) = P(A \cap B^c) = \dfrac{5 \times 5}{10 \times 9} = \dfrac{25}{90} = \dfrac{5}{18}\)
• \(P(X = 300) = P(A^c \cap B) = \dfrac{5 \times 5}{10 \times 9} = \dfrac{25}{90} = \dfrac{5}{18}\)
• \(P(X = 400) = P(A \cap B) = \dfrac{5 \times 4}{10 \times 9} = \dfrac{20}{90} = \dfrac{2}{9}\)

(검산: \(\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{18} + \dfrac{5}{18} + \dfrac{2}{9} = 1\).) 따라서 확률변수 \(X\)의 기댓값 \(\mathrm{E}(X)\)는

\[ \mathrm{E}(X) = 0 \times \frac{2}{9} + 100 \times \frac{5}{18} + 300 \times \frac{5}{18} + 400 \times \frac{2}{9} = \frac{500 + 1500 + 1600}{18} = \frac{3600}{18} = 200\text{ (만 원)} \]

이다.