| 회차 | 출제 기준 및 대표 모집단위 매핑 | 문항 배점 구성 |
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| 제6회 | 2024학년도 자연계 모의논술 기출 완벽 변형 (활성화 합성함수·변곡점 정수계수·원 등분 벡터급수·상금 기댓값) | 문항1(30점) / 문항2(30점) / 문항3(20점) / 문항4(20점) |
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(\sigma(x)\)를
\[ \sigma(x) = \begin{cases} x & (x \ge 0) \\ 0 & (x < 0) \end{cases} \]이라 하자. 다음 물음에 답하시오. [30점]
(1) \(b \le c\)인 두 실수 \(b, c\)에 대하여 \(g_1(x) = -\sigma(-x+b)+2\), \(h_1(x) = -\sigma(x-c)+3\)이라 하자. 함수 \(f_1(x) = \sigma(g_1(x)) + \sigma(h_1(x))\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하지 않은 점의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 \(b\)와 \(c\) 사이의 관계식을 구하고, 그 이유를 논리적으로 서술하시오. (10점)
(2) 함수 \(g(x) = -\sigma(-x-2)+2\)와 사다리꼴 모양의 함수 \(H(x) = \sigma(g(x)) + \sigma(g(-x)) - 2\)에 대하여, 함수 \(f_2(x) = (x-p)(x-q)\,H(x)\)가 실수 전체의 집합에서 오직 두 점에서만 미분가능하지 않고 \(f_2(0) > 0\)을 만족시키도록 하는 두 실수 \(p, q\)의 순서쌍 \((p, q)\)를 모두 구하시오. (10점)
(3) 위 (2)의 함수 \(y = H(x)\)의 그래프와 직선 \(y = mx + n\)이 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 두 실수 \(m, n\)에 대하여, 순서쌍 \((m, n)\)이 좌표평면에서 나타내는 영역의 넓이를 구하시오. (10점)
삼차함수 \(f(x) = x^3 + px^2 + qx + r\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(p, q, r\)은 정수이고 \(p \ne 0\)이다.
(나) 곡선 \(y = f(x)\)의 변곡점에서의 접선의 방정식은 \(y = -2x\)이다.
다음 물음에 답하시오. [30점]
(1) 세 정수 \(p, q, r\)의 곱 \(pqr\)이 최솟값을 갖도록 하는 삼차함수 \(f(x)\)를 모두 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (12점)
(2) 극한값 \(\lim_{p \to \infty} \dfrac{pq}{r}\)을 구하고, 그 이유를 서술하시오. (8점)
(3) 점 \((-3, 2)\)를 지나고 곡선 \(y = f(x)\)에 접하는 직선이 서로 다른 \(3\)개가 되도록 하는 자연수 \(p\)의 값을 모두 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (10점)
좌표평면 위에서 반지름의 길이가 \(2\)인 원 위에 호의 길이가
\[ \widehat{AB_1} = \widehat{B_1 B_2} = \widehat{B_2 B_3} = \cdots = \widehat{B_{n-1} B_n} = \widehat{B_n A} \]를 만족시키도록 점 \(A\)와 \(n\)개의 점 \(B_1, B_2, \dots, B_n\)이 시계 반대 방향으로 순서대로 놓여 있다. 벡터 \(\vec{b}_i = \overrightarrow{AB_i}\) (\(1 \le i \le n\))이라 할 때, 다음 물음에 답하시오. [20점]
(1) \(n = 7\)일 때, 두 벡터의 내적 \(\vec{b}_2 \cdot \vec{b}_5\)의 값을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (8점)
(2) 극한값 \(\lim_{n \to \infty} \left\{ \vec{b}_1 \cdot \left(\sum_{i=1}^{n} \vec{b}_i\right) \right\}\)를 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (12점)
경품 추첨 행사에서 진홍색 공 \(5\)개와 파란색 공 \(5\)개가 들어 있는 주머니가 준비되어 있다. 한 사람이 이 주머니에서 공을 한 개씩 총 네 번 뽑을 기회가 주어지며, 한 번 뽑은 공은 다시 주머니에 넣지 않는다(비복원추출). 다음 물음에 답하시오. [20점]
(1) 네 번째 기회에서 진홍색 공을 뽑을 확률을 구하고, 그 이유를 논리적으로 서술하시오. (8점)
(2) 첫 번째 기회에서 진홍색 공을 뽑으면 \(100\)만 원, 네 번째 기회에서 진홍색 공을 뽑으면 \(300\)만 원의 상금을 받는다(두 번 모두 진홍색 공을 뽑으면 두 상금을 합산하여 받는다). 공을 네 번 뽑았을 때 받게 되는 총상금액(단위: 만 원)을 확률변수 \(X\)라 할 때, \(X\)의 확률분포를 구하고 기댓값 \(\mathrm{E}(X)\)를 구하시오. (12점)