고려대학교 2027학년도 자연계열 실전모의고사 제5회 해설집

[1단계] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 \(\overline{A_n C_n}\) 및 \(R_n\) 도출 (10점)

삼각형 \(A_n B_n C_n\)에서 \(\overline{A_n B_n} = 2^n\), \(\overline{B_n C_n} = 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n\), \(\angle A_n B_n C_n = \dfrac{2\pi}{3}\)이므로 코사인법칙에 의하여

\[ \overline{A_n C_n}^2 = (2^n)^2 + (2 \cdot 2^n)^2 - 2 \cdot 2^n \cdot (2 \cdot 2^n)\cos\frac{2\pi}{3} = 4^n + 4 \cdot 4^n - 4 \cdot 4^n \left(-\frac{1}{2}\right) = 7 \cdot 4^n \] \[ \therefore \overline{A_n C_n} = \sqrt{7} \cdot 2^n \]

삼각형 \(A_n B_n C_n\)의 외접원이 곧 원 \(C_n\)이므로 사인법칙에 의하여

\[ 2R_n = \frac{\overline{A_n C_n}}{\sin\frac{2\pi}{3}} = \frac{\sqrt{7} \cdot 2^n}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{21}}{3} \cdot 2^n \implies R_n = \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot 2^n \]

[2단계] 원에 내접하는 사각형의 성질을 이용한 \(S_n\) 도출 (12점)

사각형 \(A_n B_n C_n D_n\)이 원 \(C_n\)에 내접하므로 마주 보는 두 내각의 크기의 합은 \(\pi\)이다. 따라서

\[ \angle A_n D_n C_n = \pi - \angle A_n B_n C_n = \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \]

조건 (나)에서 \(\overline{C_n D_n} = \overline{D_n A_n}\)인 이등변삼각형 \(A_n C_n D_n\)의 꼭짓각이 \(\dfrac{\pi}{3}\)이므로, 삼각형 \(A_n C_n D_n\)은 한 변의 길이가 \(\overline{A_n C_n} = \sqrt{7} \cdot 2^n\)인 정삼각형이다!

• \(\triangle A_n B_n C_n\)의 넓이 : \(\dfrac{1}{2} \cdot 2^n \cdot 2^{n+1} \sin\dfrac{2\pi}{3} = 4^n \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4^n\)
• \(\triangle A_n C_n D_n\)의 넓이 : \(\dfrac{\sqrt{3}}{4} \overline{A_n C_n}^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 7 \cdot 4^n = \dfrac{7\sqrt{3}}{4} \cdot 4^n\)

따라서 사각형 \(A_n B_n C_n D_n\)의 넓이 \(S_n\)은

\[ S_n = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4^n + \frac{7\sqrt{3}}{4} \cdot 4^n = \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot 4^n \]

[3단계] 극한값 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{R_n^2}\) 계산 (8점)

\(R_n^2 = \left(\dfrac{\sqrt{21}}{3} \cdot 2^n\right)^2 = \dfrac{21}{9} \cdot 4^n = \dfrac{7}{3} \cdot 4^n\)이므로

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{R_n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot 4^n}{\frac{7}{3} \cdot 4^n} = \frac{27\sqrt{3}}{28} \]

[1단계] 우함수 대칭성 증명 및 정적분 계산 (12점)

임의의 실수 \(x\)에 대하여

\[ f(-x) = \ln(1 + e^{-2x}) - (-x) = \ln\!\left(\frac{e^{2x} + 1}{e^{2x}}\right) + x = \ln(1 + e^{2x}) - \ln(e^{2x}) + x = \ln(1 + e^{2x}) - 2x + x = f(x) \]

이므로 \(f(-x) = f(x)\)가 성립한다 (우함수).

한편 곱의 미분법에 의하여 \(\dfrac{d}{dx}\bigl(x f(x)\bigr) = f(x) + x f'(x)\)이므로

\[ \int_{-1}^{1} \bigl(x f'(x) + f(x)\bigr)\,dx = \Bigl[x f(x)\Bigr]_{-1}^{1} = 1 \cdot f(1) - (-1) \cdot f(-1) = 2f(1) \]

\(f(1) = \ln(1 + e^2) - 1\)이므로 구하는 정적분의 값은 \(2\ln(1 + e^2) - 2\)이다.

[2단계] 구간 \([0, 1]\)에서의 단조증가성 증명 (8점)

\(f(x) = \ln(1 + e^{2x}) - x\)를 미분하면

\[ f'(x) = \frac{2e^{2x}}{1 + e^{2x}} - 1 = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} \]

\(x \in [0, 1]\)일 때 \(e^{2x} \ge 1\)이므로 \(f'(x) \ge 0\)이다. 따라서 \(f(x)\)는 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 증가하므로

\[ f(0) \le f(x) \le f(1) \implies \ln 2 \le f(x) \le \ln(1 + e^2) - 1 \]

이 성립한다.

[3단계] 부분적분법과 조임정리(샌드위치 정리)를 이용한 \(\lim_{n \to \infty} n I_n\) 도출 (10점)

\(n I_n = \int_{0}^{1} n x^{n-1} f(x)\,dx\)에서 \((x^n)' = n x^{n-1}\)이므로 부분적분법을 적용하면

\[ n I_n = \Bigl[x^n f(x)\Bigr]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^n f'(x)\,dx = f(1) - \int_{0}^{1} x^n f'(x)\,dx \]

구간 \([0, 1]\)에서 \(0 \le f'(x) = \dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} < 1\)이므로 모든 \(x \in [0, 1]\)에 대하여 \(0 \le x^n f'(x) \le x^n\)이다. 각 변을 \(0\)부터 \(1\)까지 정적분하면

\[ 0 \le \int_{0}^{1} x^n f'(x)\,dx \le \int_{0}^{1} x^n\,dx = \frac{1}{n + 1} \]

\(\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n+1} = 0\)이므로 함수의 극한의 대소 관계(조임정리)에 의하여 \(\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} x^n f'(x)\,dx = 0\)이다.

따라서

\[ \lim_{n \to \infty} n I_n = f(1) - 0 = \ln(1 + e^2) - 1 \]

[1단계] 구 \(S\)와 평면 \(\alpha : z = 2\)의 교선인 원 \(C_1\)의 넓이 계산 (7점)

구 \(S\)의 중심 \(C(0, 0, 5)\)에서 평면 \(\alpha : z = 2\)에 내린 수선의 발을 \(H(0, 0, 2)\)라 하면, 중심과 평면 사이의 거리는

\[ d = \overline{CH} = |5 - 2| = 3 \]

구 \(S\)의 반지름의 길이가 \(R = 5\)이므로 피타고라스 정리에 의하여 단면 원 \(C_1\)의 반지름의 길이 \(r_1\)은

\[ r_1 = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 \]

따라서 원 \(C_1\)의 넓이 \(S_1\)은

\[ S_1 = \pi r_1^2 = 16\pi \]

[2단계] 평면 \(\alpha\)와 접평면 \(\gamma\)가 이루는 이면각 \(\theta\)의 코사인값 도출 (8점)

점 \(A(0, 4, 2)\)는 \(0^2 + 4^2 + (2 - 5)^2 = 16 + 9 = 25\)를 만족하므로 구 \(S\) 위의 점이자 동시에 원 \(C_1\) (\(z = 2\)) 위의 점이다.

구 \(S\) 위의 점 \(A(0, 4, 2)\)에서의 접평면 \(\gamma\)는 구의 반지름 선분 \(CA\)에 수직이다. 한편 평면 \(\alpha : z = 2\)는 수선 \(CH\)에 수직이다.

따라서 두 평면 \(\alpha\)와 \(\gamma\)가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 하면, \(\theta\)는 두 직선 \(CH\)와 \(CA\)가 이루는 예각 \(\angle HCA\)와 같다! 직각삼각형 \(CHA\) (\(\angle CHA = \dfrac{\pi}{2}\))에서 \(\overline{CH} = 3\), \(\overline{CA} = 5\)이므로

\[ \cos\theta = \frac{\overline{CH}}{\overline{CA}} = \frac{3}{5} \]

[3단계] 정사영의 넓이 계산 (5점)

원 \(C_1\)을 포함하는 평면 \(\alpha\)와 평면 \(\gamma\)가 이루는 예각이 \(\theta\) (\(\cos\theta = \dfrac{3}{5}\))이므로, 원 \(C_1\)의 평면 \(\gamma\) 위로의 정사영의 넓이 \(S'\)는

\[ S' = S_1 \cos\theta = 16\pi \times \frac{3}{5} = \frac{48}{5}\pi \]

[1단계] 이항분포 \(\mathrm{B}\!\left(72, \dfrac{1}{3}\right)\) 설정 및 \(Y\)의 평균·표준편차 계산 (10점)

주사위를 한 번 던질 때 \(3\)의 배수의 눈(\(3, 6\))이 나올 확률은 \(p = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)이고, 나오지 않을 확률은 \(q = 1 - p = \dfrac{2}{3}\)이다. 따라서 확률변수 \(X\)는 이항분포 \(\mathrm{B}\!\left(72, \dfrac{1}{3}\right)\)을 따르므로

\[ \mathrm{E}(X) = np = 72 \times \frac{1}{3} = 24, \quad \mathrm{V}(X) = npq = 72 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = 16, \quad \sigma(X) = \sqrt{16} = 4 \]

\(72\)번 중 \(3\)의 배수가 \(X\)번 나오면 \(3\)의 배수가 아닌 눈은 \((72 - X)\)번 나오므로 총점수 \(Y\)는

\[ Y = 3X + (-1)(72 - X) = 4X - 72 \]

기댓값과 표준편차의 성질에 의하여

\[ \mathrm{E}(Y) = 4\mathrm{E}(X) - 72 = 4(24) - 72 = 24 \] \[ \sigma(Y) = |4|\sigma(X) = 4 \times 4 = 16 \]

[2단계] 정규분포 근사 및 표준화를 통한 \(\mathrm{P}(Y \ge 48)\) 계산 (10점)

시행 횟수 \(n = 72\)가 충분히 크므로 확률변수 \(X\)는 근사적으로 정규분포 \(\mathrm{N}(24, 4^2)\)을 따르고, 그 일차식인 \(Y = 4X - 72\)는 근사적으로 정규분포 \(\mathrm{N}(24, 16^2)\)을 따른다.

표준정규확률변수 \(Z = \dfrac{Y - 24}{16}\) (또는 \(Y \ge 48 \iff 4X - 72 \ge 48 \iff X \ge 30\)에서 \(Z = \dfrac{X - 24}{4}\))로 표준화하면

\[ \mathrm{P}(Y \ge 48) = \mathrm{P}\!\left(Z \ge \frac{48 - 24}{16}\right) = \mathrm{P}(Z \ge 1.5) \]

표준정규분포 곡선의 대칭성과 주어진 표(\(\mathrm{P}(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332\))에 의하여

\[ \mathrm{P}(Z \ge 1.5) = 0.5 - \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.5) = 0.5 - 0.4332 = 0.0668 \]