| 회차 | 출제 기준 및 대표 모집단위 매핑 | 문항 배점 구성 |
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| 제5회 | 2027학년도 신유형 파이널 고난도 융합 (삼각함수·수열극한·초월함수 적분·공간도형 정사영·확률분포) | 문항1(30점) / 문항2(30점) / 문항3(20점) / 문항4(20점) |
자연수 \(n\)에 대하여 반지름의 길이가 \(R_n\)인 원 \(C_n\)에 내접하는 사각형 \(A_n B_n C_n D_n\)이 다음 세 조건을 만족시킨다.
(가) \(\overline{A_n B_n} = 2^n\), \(\overline{B_n C_n} = 2^{n+1}\), \(\angle A_n B_n C_n = \dfrac{2\pi}{3}\)이다.
(나) \(\overline{C_n D_n} = \overline{D_n A_n}\)이다.
(다) 사각형 \(A_n B_n C_n D_n\)의 넓이를 \(S_n\)이라 하자.
이때 외접원의 반지름 \(R_n\)과 사각형의 넓이 \(S_n\)을 각각 \(n\)에 대한 식으로 나타내고, 극한값 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{R_n^2}\)을 구하는 과정을 논리적으로 서술하시오. [30점]
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \ln(1 + e^{2x}) - x\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x)\)가 성립함을 보이고, 정적분 \(\int_{-1}^{1} \bigl(x f'(x) + f(x)\bigr)\,dx\)의 값을 구하시오.
(2) 자연수 \(n\)에 대하여 정적분 \(I_n = \int_{0}^{1} x^{n-1} f(x)\,dx\)라 할 때, 모든 실수 \(x \in [0, 1]\)에서 부등식 \(\ln 2 \le f(x) \le \ln(1 + e^2) - 1\)이 성립함을 보이고, 이를 이용하여 극한값 \(\lim_{n \to \infty} n I_n\)을 구하는 과정을 논리적으로 서술하시오. [30점]
좌표공간에서 중심이 \(C(0, 0, 5)\)이고 반지름의 길이가 \(5\)인 구 \(S : x^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 25\)가 평면 \(\alpha : z = 2\)와 만나서 생기는 원을 \(C_1\)이라 하자. 원 \(C_1\) 위의 점 \(A(0, 4, 2)\)에서 구 \(S\)에 접하는 평면을 \(\gamma\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) 원 \(C_1\)의 넓이를 구하시오.
(2) 구 \(S\)의 중심 \(C(0, 0, 5)\)와 점 \(A(0, 4, 2)\)에서의 구 \(S\)의 접평면 \(\gamma\)에 대하여, 원 \(C_1\)의 평면 \(\gamma\) 위로의 정사영의 넓이를 구하고 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]
한 개의 주사위를 던져 \(3\)의 배수의 눈이 나오면 \(+3\)점을 얻고, \(3\)의 배수가 아닌 눈이 나오면 \(-1\)점을 얻는 게임을 한다. 이 주사위를 \(72\)번 반복하여 던질 때, \(3\)의 배수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 \(X\), \(72\)번의 시행 후 얻는 총점수를 확률변수 \(Y\)라 하자.
(1) 확률변수 \(Y\)를 \(X\)에 대한 일차식으로 나타내고, \(Y\)의 평균 \(\mathrm{E}(Y)\)와 표준편차 \(\sigma(Y)\)를 각각 구하시오.
(2) 확률변수 \(X\)가 충분히 큰 시행 횟수에 의해 근사적으로 정규분포를 따른다고 할 때, 총점수 \(Y\)가 \(48\)점 이상일 확률 \(\mathrm{P}(Y \ge 48)\)을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]
[표준정규분포표] 표준정규분포를 따르는 확률변수 \(Z\)에 대하여 \(\mathrm{P}(0 \le Z \le z)\)의 값:
\(\mathrm{P}(0 \le Z \le 1.0) = 0.3413\), \(\quad \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332\), \(\quad \mathrm{P}(0 \le Z \le 2.0) = 0.4772\)